【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 故 ??nye 對(duì) 濾波器 系數(shù)的導(dǎo)數(shù) 不是 遞歸的， 這也 便于運(yùn)算 。 通過(guò) 延遲算子， 表達(dá)式 ()可用更簡(jiǎn) 便的方式來(lái)表達(dá)， 式中，多項(xiàng)式表示時(shí)變?yōu)V波器 ： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?nxqnBndqnAny e , ?? () 且有： ? ? ? ?????? 11,Nmmm qnaqnA ， 1,1 ?? Nm ? () ? ? ? ?????? 10,Mmmm qnbqnB ， 1,1,0 ?? Mm ? () 這里， 不能忽略 的是 )q,n(A 中 是 從 下界 m=1 開(kāi)始 進(jìn)行求和的 ，因此 )q,n(A )n(d 只依靠)n(d 的延遲樣本， 且 在任何瞬 間時(shí)態(tài) 發(fā)現(xiàn)自適應(yīng)濾波器 )q,n(A 的零點(diǎn) 該形式的表達(dá)方法都可以應(yīng)用 。 方程誤差 ? ? ? ? ? ?nyndne ee ?? 同樣是數(shù)字 濾波器系數(shù)的線(xiàn)性函數(shù)，因此， ??nee 的均方函數(shù)是系數(shù)的二次函數(shù)。 假使數(shù)據(jù)的相關(guān) 矩 陣不是 奇異， 而且只有唯一的 最小點(diǎn)， 這 使 得 方程南通大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 7 誤差自適應(yīng) IIR 數(shù)字 濾波器 在很大程度上更加趨向于 自適應(yīng) 的 FIR 數(shù)字 濾波器。 自適應(yīng) FIR數(shù)字 濾波器因 ),( qnA 是 個(gè) 嚴(yán)格 意義上 的全零點(diǎn)模型 ，而 方程誤差自適應(yīng) IIR 濾波器 將反向數(shù)字 濾波器 )],(1/[1 qnA? 級(jí)聯(lián)到 B(n,q)后 面 ， 就成為了 一個(gè)零點(diǎn)－極點(diǎn)模型 ，這是區(qū)別這兩者最主要的特征 。 式 (21)也 可如下表示 ： ? ? ? ?nny eTe ??? () 式 ()具有線(xiàn)性回歸的 特點(diǎn)，其 中 系數(shù)矢量 θ 和信號(hào)矢量 ??ne? 的長(zhǎng)度都是 M+N1， θ 是帶 估量 的參數(shù)， e? 是 回歸矢量 ， 可如下表示 ： ? ? ? ? ? ? ? ?? ?TMN nbnbanan 1011 ??? ??? () ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?Te MnxnxNndndn 111 ?????? ??? () 式 ()、 ()的表達(dá)形式 使得 能夠通過(guò) 參數(shù)估計(jì) 的 方法來(lái)對(duì) 濾波器 系數(shù) θ 進(jìn)行優(yōu)化， 例如使用 LMS 算法 、 RLS 算法 和 最大似然參數(shù)估計(jì)均方誤差 等 方法 。 根據(jù)前面所介紹的 IIR 濾波器的傳遞函數(shù)可表示為： ?? ????zBzAzH ? () 假設(shè)濾波器有 m 個(gè)零點(diǎn)， n 個(gè)極點(diǎn)，且濾波器參數(shù)可調(diào)，這樣 H(z)可寫(xiě)為： ? ?nnkkmmkkkzbzb zazaazH ??????? ???? ? ?111101 () 圖 畫(huà)出了 IR 濾波器的一般結(jié)構(gòu)，其輸入為 x，輸出為 u。 x ????mlllk za0?????nl lkzb11ku 圖 IIR 濾波器的一般結(jié)構(gòu) 因此濾波器輸出可表示為以下形式： ??? ?? ? ??Nl klkMl lkklk ubxau 1 10 () 南通大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 8 有限沖激響應(yīng) (FIR)濾波器 圖 是 FIR 橫向型濾波器的一般結(jié)構(gòu) 。 自 適 應(yīng) 算 法x ( n )x ( n 1 )x ( n 2 ) x ( n N 1 )b ( 0 )b ( 1 )b ( 2 )++++y ( n )w ( n )b ( n 1 )1?z 1?z1?z)(0 nw )(1 nw )(2 nw ?? 圖 橫向型濾波器的結(jié)構(gòu)示意圖 這種結(jié)構(gòu)的 橫向?yàn)V波器，由無(wú)限多的按橫向排列的延遲單元及抽頭系數(shù)構(gòu)成，抽頭間隔等于碼元周期，每個(gè)抽頭的延時(shí)信號(hào)經(jīng)加權(quán)后送入一個(gè)相加電路后輸出。 根據(jù) 延遲級(jí)數(shù)所決定的有限個(gè)存儲(chǔ)單元， 可將這種結(jié)構(gòu)歸為 有限沖激響應(yīng) 濾波器 或橫向?yàn)V波器。 FIR(橫向性濾波器的工作原理，如圖 所示， 其中： )(xn 自適應(yīng)濾波器的輸入 )(wn 自適應(yīng)濾波器的沖激 相應(yīng)： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?1,2,1,0 ?? nwnw ? )(yn 自適應(yīng)濾波器的輸入： ? ? ? ? ? ?nwnxny ?? )()()()()(10 inxnwnXnWnyNi iT ??? ??? () LMS 算法 是普遍使用的一種算法 ， 該算法 容易 實(shí)現(xiàn) 且 性能 穩(wěn)定 且受到 普遍 的應(yīng)用 。 全部濾波 器系數(shù) 更改 算法都是 通過(guò) 使 )(yn 逼近 )(dn ,有差別的 是這種 逼近 的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn) 有差異 。 LMS算法 目的 是 利用對(duì) 系數(shù) 的 調(diào)整 ， 讓 )(en 的值 最小，并 據(jù)此來(lái) 修改權(quán)系數(shù)， LMS 算法 由此得名 。)(en 的均方值 亦稱(chēng) 為 均方誤差 (MSE)。 均方誤差 e 定義為： ?e )]([ 2 neE = ])()([( 2nyndE ? () 對(duì)于橫向結(jié)構(gòu)的濾波器，代入 )(yn 的表達(dá)式為： PnWnRWnWndEe TT )(2)()()]([ 2 ??? (213) 其中 ? ?)()( nXnXER T? 是 輸入信號(hào)采樣值間的相關(guān)性矩陣。 ? ?)()( nXndEP ? 是 1?N 互相關(guān)矢量， 描述了 期望信號(hào) )(nd 與輸入矢量 間的相互關(guān)聯(lián)性 。 南通大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 9 當(dāng) e 的值最小時(shí) ， 可得 最佳 狀態(tài)下的濾波器 權(quán)系數(shù) ? ?TNW * 1*1*0* , ?? ? 。 它符合式 (2.14) 0)( *)( ?? ? ?WnWnW ? 即： 0* ??PRW () 上式為 線(xiàn)性方程組 ，假如 矩陣 R 為滿(mǎn)秩 ， 1?R 存在， 就可獲得濾波器 權(quán)系數(shù)的最佳值 以 滿(mǎn)足PRW 1* ?? ， 可用如下矩陣表示 ： ???????????????????????????????????????????? ?? )1()1()0()0()2()1()2()0()1()1()1()0( 1*)1(*1*0NNNNNwwwxdxdxdxxxxxxxxxN ?????????????????????? () 很明顯，上式 ? ? ? ? ? ?? ?mnxnxEmx ??? 為 ??x 的自相關(guān)值， ? ? ? ? ? ?? ?kndnxERxd ??? 為 ??nx與 ??nd 互相關(guān)值。 這里涉及到 塊對(duì)塊自適應(yīng)算法 ，指在一部分應(yīng)用里 ，把輸入信號(hào)的 樣本數(shù)據(jù) 分成 一樣 的段 (每段稱(chēng)為一幀 )，再 計(jì)算出 R 、 P 的 估值 得到每 段 的最佳權(quán)系數(shù)。 R 、 P 的 運(yùn)算， 需已知 期望值 ??E ， 在實(shí)際計(jì)算 中 較難 實(shí)現(xiàn)， 故此 可通過(guò)下 式 進(jìn)行估 算 ： ? ? ? ?? ???? ?????? 101 mkixd imndinxmK? () ? ?? ???? ?????? 10 )(1 mkix imnxinxmK? () 對(duì)每次 取樣 值 ， 大部分情況下 使用迭代算法 解得 較佳 的 權(quán)系數(shù)，稱(chēng)為采樣值對(duì)采樣值迭代算法。迭代算法 能回避運(yùn)算量很大的 1?R 和 P 的 計(jì) 算，又能 即時(shí) 求得近似解， 所以具有可行性 。LMS 算法是 一種 以最快下降曲線(xiàn)為 準(zhǔn)則 開(kāi)始 迭代 的 算法，即 ? ?1?nW 矢量是 ??nW 矢量按均方誤差性能平面的負(fù)斜率大小調(diào)節(jié)一個(gè)相應(yīng)增量，如下式所示： ? ? ? ? ? ?nunWnW ???? 1 () 式中 u 是由系統(tǒng)穩(wěn)定 和迭代運(yùn)算收斂速度決定的自適應(yīng)步長(zhǎng)。 ??n? 為 n 次迭代的梯度。對(duì)于 LMS 算法 ??n? 為下式 ? ?? ?neE 2 的斜率 ： ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?nXneEnW neEn 22 ?????? () 由上式 可以發(fā)現(xiàn) 求解最佳權(quán)系數(shù) *W 的 有 兩種 不同的 方法， 一個(gè)是 最陡梯度法。 其方式為 ：南通大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 10 設(shè)計(jì) 起始 權(quán)系數(shù) ??0W ，用 ? ? ? ? ? ?nunWnW ???? 1 計(jì)算， 直 到 ? ?1?nW 與 ??nW 誤差 符合最小誤差規(guī)定 。 ??n? 的 ??E 計(jì)算可用 如下表達(dá)式 ： ? ? ? ?? ? ? ? ? ?inXineKnXneE Ki ??? ???? 101 () 上式 K 的 取值 應(yīng) 滿(mǎn)足 需 要達(dá)到 的數(shù) 值 。 如 諾使 用 ? ? ? ?nXne2? 來(lái) 取代 前面 對(duì)? ? ? ?? ?nXneE2? 的 估算 ，隨機(jī)梯度法 隨之產(chǎn)生 ， 這時(shí) 迭代公式為： ? ? ? ? ? ? ? ?nXnuenWnW 21 ??? () 上式的迭代公式假定濾波器結(jié)構(gòu)為橫向結(jié)構(gòu)。對(duì)于對(duì)稱(chēng)橫向型結(jié)構(gòu)也可推出類(lèi)似的迭代公式，如下式所示： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?121 ?????? NnXnXnuenWnW () IIR 濾波器和 FIR 濾波器的比較 介于上述對(duì)兩種不同類(lèi)型結(jié)構(gòu)的濾波器的介紹 ， FIR 濾波器 沒(méi)有 反饋回路， 所以其 穩(wěn)定性可以 忽略 ； 同時(shí)， 可以任意改變 其幅度的特征 ， 并能 確保 精 準(zhǔn) 的線(xiàn)性相位。 所以 FIR 數(shù)字濾波器的突出 特點(diǎn)是穩(wěn)定性還有現(xiàn)行相位的特性 。 除此之外，它還具有 以下 優(yōu)點(diǎn) ：線(xiàn)性的 設(shè)計(jì)形式，易于 實(shí)現(xiàn) 的 硬件 結(jié)構(gòu) ；與數(shù)字 IR 濾波器 相比 ， FIR 數(shù)字 濾波器的 階次 偏高 ，延遲 也 表 31 兩種濾波器特點(diǎn)比較分析 FIR 濾波器 IIR 濾波器 設(shè)計(jì)方法 一 般無(wú)解析的設(shè)計(jì)公式，要借助計(jì)算機(jī)程序完成 利用 AF 的成果，可簡(jiǎn)單、有效地完成設(shè)計(jì) 設(shè)計(jì)結(jié)果 可得到幅頻特性 (可以多帶 )和線(xiàn)性相位 (最大優(yōu)點(diǎn) ) 只能得到幅頻特性，相頻特性未知，如需要線(xiàn)性相位，須用全通網(wǎng)絡(luò)校準(zhǔn)，但增加濾波器階數(shù)和復(fù)雜性 穩(wěn)定性 極點(diǎn)全部在原點(diǎn) (永遠(yuǎn)穩(wěn)定 )無(wú)穩(wěn)定性問(wèn)題 有穩(wěn)定性問(wèn)題 階數(shù) 高 低 結(jié)構(gòu) 非遞歸系統(tǒng) 遞歸系統(tǒng) 運(yùn)算誤差 一般無(wú)反饋，運(yùn)算誤差小 有反饋，由于運(yùn)算中的四舍五入會(huì)產(chǎn)生極限 環(huán) 南通大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 11 比相同指標(biāo)下的 IR 數(shù)字濾波器大。 IR 數(shù)字 濾波器的首要優(yōu)點(diǎn)是可在相同階數(shù)時(shí)取得更好的濾波效果。但是 IR 數(shù)字 濾波器設(shè)計(jì)方法的一個(gè)缺點(diǎn)是無(wú)法控制濾波器的相位特性。由于極點(diǎn)會(huì)雜散到穩(wěn)定區(qū)域之外，自適應(yīng) IR 數(shù)字 濾波器設(shè)計(jì)中碰到的一個(gè)大問(wèn)題是濾波器可能不穩(wěn)定。 綜上所述 ， FIR 濾波器和 IR 濾波器都具有各自的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)，但 FIR 數(shù)字濾波器很 容易獲得嚴(yán)格的線(xiàn)性相位特性，避免被處理信號(hào)產(chǎn)生相位失真，不會(huì)發(fā)生阻塞現(xiàn)象，能避免強(qiáng)信號(hào)淹沒(méi)弱信號(hào)，無(wú)穩(wěn)定性問(wèn)題。南通大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 12 第三章 自適應(yīng)濾波算法 前面一章 中 對(duì) 自適應(yīng)濾波算法 已有所提及，在自適應(yīng)濾波器中算法是必不可少的一部分，在本章中將對(duì) LMS 和 RLS 做詳盡的分析 。 最小均方誤差 (LMS)算法 最小均方算法即 LMS 算法是 和 Hoff 于 1960 年提出的 。 LMS 算法是 隨機(jī)梯度算法族中的一員 ， 其顯著特點(diǎn)是它的簡(jiǎn)單性， 這算法不需要計(jì)算 有關(guān) 的相關(guān)函數(shù)，也不需要進(jìn)行矩陣