【文章內(nèi)容簡介】 性能，從而也使 LMS 算法的應用范圍得到擴展。 作為最小均方準則下的信號處理器， LMS 自適應濾波器與維納濾波器二者既有聯(lián)系，又有區(qū)別。最小均方準則下的線性濾波問題解決，是后者所面臨的主要問題，這種方法要求已知平穩(wěn)隨機信號和噪聲信號的函數(shù)或功率譜密度函數(shù)。這在實際中往往由于缺少對 于先驗知識的了解而遇到困難，不能實現(xiàn)最優(yōu)濾波。以均方誤差最小為最優(yōu)，這是 LMS 自適應濾波器的準則，當濾波器的濾波算法收斂時，該濾波器的權(quán)系數(shù)就會與維納濾波器的權(quán)系數(shù)完全相同。但是在實現(xiàn)或設(shè)計中，關(guān)于輸入隨機信號和噪聲的統(tǒng)計先驗知識就無需像其他算法那樣進行了解，它完全不需要或僅需要很少的了解。只要滿足一定的收斂條件，LMS 自適應濾波器就會經(jīng)過自學習和自調(diào)整的過程而達到最優(yōu)狀態(tài)。 LMS 算法原理介紹 LMS 自適應算法就是一種線性自適應濾波算法。一般來說。濾波過程以及自適應過程是 LMS 算法的兩個基本的過 程。在濾波過程中，自適應濾波器通過計算其對輸入的響應，將計算值與期望響應進行比較，就能得到誤差信號，并且在自適應過程當中，系統(tǒng)就根據(jù)比較所得到的估計誤差信號自動對其自身參數(shù)進行調(diào)整，這就形成了一個反饋環(huán)，構(gòu)成一個反饋系統(tǒng)，如圖 21 所示： 圖 21 自適應橫向濾波器的原理框圖 e(n) + d(n) 橫向濾波器 w(n) 自適應權(quán)控制算法 ∑ y(n) x(n) 銅陵學院畢業(yè)論文 (設(shè)計 ) 5 在圖 21 中，濾波過程由橫向自適應濾波器來完成，濾波器權(quán)系數(shù)則由自適應權(quán)值控制算法來進行自適應調(diào)整，自適應濾波器的輸出信號 y(n)為 ? ? ? ? ? ?Tn n n??y w x () T 表示轉(zhuǎn)置矩陣， n 表示時間指針。 自適應濾波器的誤差信號為 ? ? ? ? ? ?e n d n n??y () 誤差序列可寫為 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?Te n d n n d n n n? ? ? ? ?y w x () 其中 y(n)是濾波器的輸出， d(n)是期望信號。使用輸 入向量 x(n)和 e(n)來更新自適應濾波器的最小化標準的相關(guān)系數(shù)。 均方誤差 (MSE)為 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?nynyndndEneEn 222 2 ???? () 將公式 ()中的代入 ()得 ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?nwnxnxnwEnxnwndEndEneEn TTT ??? 222? () 當濾波 器的 系數(shù)固定時，目標函數(shù)又可以 表示 為 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?nRwnwPnwndEn TT ?? 22? () ? ? ? ?E d n n??????Px是 N*1 互相關(guān)向量，指出了期望信號 d(n)和輸入信號向量 x(n)的互相關(guān)矢量。 ? ? ? ?TE n n??????R x x是 N*N 自相關(guān)矩陣，是輸 入信號的自相關(guān)矩陣。 當矢量 P 和矩陣 R 己知時，可以由權(quán)系數(shù)矢量 w 直接求其解。 最優(yōu)解 ? ?0 0 1 1 TN ?? ? ? ?w w w w最小化 MSE，可以由以下公式解得： ?? 0???nw? () 將式 ()對 w 求其偏導數(shù)并令該偏導等于零，假設(shè)矩陣 R 滿秩矩陣，可解得最佳濾波系數(shù)為 10 ???w R P () 所解出來的解就稱為維納解。均方誤差 (MSE)函數(shù)是濾波系數(shù) w 的二次方程，將該函數(shù)在計算機上繪制成圖形，就一個多維的拋物面。當矩陣 R 是正定矩陣時，該誤差性能曲面就是一個碗狀的拋物曲面，而且具有唯一的最小值點。當自適應濾波器的系數(shù)的最初的初始值是位于拋物曲面上某一點時，該點的數(shù)值是任意值，經(jīng)過 它自己的自適應調(diào)節(jié)，使對應于濾波系數(shù)變化的點在拋物面上移動，朝拋物面最小點方向移動，最終到達拋物面的最小點，實現(xiàn)最佳的維納濾波。 我們所說的自適應過程，就是通過在梯度 矢量的負方向連續(xù)的校正濾波系數(shù)的，即在熊偉：基于 LMS 的自適應濾波器的設(shè)計 6 拋物面上沿著最陡下降法的方向移動，向最小點靠攏，逐步地校正濾波系數(shù)，最終到達拋物面的最小點，實現(xiàn)均方誤差為最小，從而獲得最佳濾波。其顯著優(yōu)點是它的簡單性，不用進行復雜的計算。 LMS 算法梯 度 ??n? 可以 通過假設(shè) e2 (n)作為式 ()的 MSE 來預測。由梯度矢量的定義，梯度預測可以單一化為 ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?nxnenw nenenw nen 222 ???????? () 在 n 時刻的濾波系數(shù)或權(quán)系數(shù)矢量為 w(n)。按照最陡下降法，當 互相關(guān)矢量 P 和相關(guān)矩陣 R已知時，梯 度矢量 ??n? 可以 通過 濾波系數(shù)矢量 w(n)來計算 ，則 在 n+1 時刻的濾波系數(shù)的更新值為： ? ? ? ? ? ? ? ?12n n u e n n? ? ? ? ?w w x () u 是自適應步長，是收斂因子，用來控制收斂率和穩(wěn)定性。又 )()]([ nnE ???? () 故 LMS 算法對性能函數(shù)梯度估計是無偏的。 濾波器的收斂因子 u 應該滿足下列收斂條件 max10 u ??? () max? 為自相關(guān)矩陣 R的最大特征值，且 max? 受限制于 ? ? ? ? ? ?1m a x 0 00NiTr r N r???? ? ??R () ? ? ? ?20r E n??? ??x 是平均輸入功率， Tr[] 為指示矩陣的軌跡。 在 LMS 算法中，每次梯度的估計值都是根據(jù)每次輸入數(shù)據(jù)的樣本來進行計算獲得的，這樣，關(guān)于輸入數(shù)據(jù)的時間常數(shù) ? ?mTmse 就與算法均方誤差的時間常數(shù) ? ?mmse? 相等，即 ? ? ? ? MmTmmm s emm s e ?????? 2,1,0,41??? () 自適應濾波器的自學習過程的長短或收斂的快慢由時間常數(shù)的大小來決定，一般情況下， m? ， m=01? M 并不一定都相等。這樣，各個權(quán)系數(shù)或各個模式的收斂速度并不相等。只有當各個權(quán)系數(shù)都收斂了，整個自適應濾波器才能收斂。 權(quán)向量想要獲得收斂，只有當最緩慢的權(quán)集中于一點，這個最慢的時間 min1???t () 若權(quán)矢量無噪聲并收斂于維納解，則均方誤差達到最小，即 min? 。當權(quán)矢量出現(xiàn)隨機噪聲時，權(quán)矢量穩(wěn)態(tài)解將平均“失解”于其維納解，并造成過量均方誤差，使穩(wěn)態(tài)均方誤差 ss? 大于最小均方誤差 min? 。由式 ()我們可以得到過量平均均方誤差為 銅陵學院畢業(yè)論文 (設(shè)計 ) 7 ][ m i n RTrssss ???? ? () 式 ()和 ()產(chǎn)生 LMS 算法的基本要求 :要想在穩(wěn)態(tài)獲得最小的 MSE，需要收斂 因子 u 達到最小值，但這就會降低收斂率。后面會有進一步討論關(guān)于 LMS 算法的特征。 對于 N 維更新 ? ?u en? 是常數(shù)，誤差信號 e(n)乘以 u 得到 ? ?u en? 。首先計算這個常數(shù)，之后乘以 x(n)，來更新 w(n)。 LMS 算法的實現(xiàn) LMS 算法實現(xiàn)流程圖如圖 22 所示 ： 圖 22 LMS 算法流程圖 在圖 22 中， w(k)為濾波器濾波系數(shù)矢量估值， ( 1) ( ) ( )w k w k u k? ? ? ?， u 是一 個控制因子，用它來控制收斂速度和穩(wěn)定性， u 太大不穩(wěn)定，太小收斂速度很慢。通常取 max10 u ??? ， max? 是 R 中的最大的特征值 。 ()k? 是誤差梯度，直接計算 ()() Jwk w???? 很復雜，一般直接用誤差的平方作為均方誤差 2{| ( )| }E e k 的估計值 ()k?? 。 因為{ ( )} ( )E k k?? ??， 表明 ()k?? 是無偏估計 。 22 ()( ) [ ( ) ] 2 ( ) [ ( ) ] 2 ( ) ( )ekk e k e k e k e k X kw? ?? ? ? ? ? ? ? ?? 其中 ： ( ) [ ( ) ( ) ( ) ][ ( ) ] ( )Te k d k X k w ke k X kww? ? ?? ? ? ? ??? 所以 ， ( 1 ) ( ) 2 ( ) ( )w k w k ue k x k? ? ? 算法步驟： 初始化 ： (0 ) 0。 (0 ) 1。wR??max10 u ??? 更新 ： 1, 1, 2,....k k k? ? ? 熊偉：基于 LMS 的自適應濾波器的設(shè)計 8 ( ) ( ) ( 1 ) ( )Te k d k w k x k? ? ? ( ) ( 1 ) 2 ( ) (