量子力學(xué)教程課后習(xí)題答案(編輯修改稿)
2025-10-14 05:00 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 把代入①式左邊，得當(dāng)時(shí)，左邊=右邊。n=3，是線性諧振子的波函數(shù)，其對(duì)應(yīng)的能量為。第三章量子力學(xué)中的力學(xué)量一維諧振子處在基態(tài)，求：(1)勢(shì)能的平均值；(2)動(dòng)能的平均值；(3)動(dòng)量的幾率分布函數(shù)。解：(1)(2)或(3)動(dòng)量幾率分布函數(shù)為，求：(1)r的平均值；(2)勢(shì)能的平均值；(3)最可幾半徑；(4)動(dòng)能的平均值；(5)動(dòng)量的幾率分布函數(shù)。解：(1)(3)電子出現(xiàn)在r+dr球殼內(nèi)出現(xiàn)的幾率為令當(dāng)為幾率最小位置∴是最可幾半徑。(4)(5)動(dòng)量幾率分布函數(shù)證明氫原子中電子運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的電流密度在球極坐標(biāo)中的分量是證：電子的電流密度為在球極坐標(biāo)中為中的和部分是實(shí)數(shù)。∴可見(jiàn)，由上題可知，氫原子中的電流可以看作是由許多圓周電流組成的。(1)求一圓周電流的磁矩。(2)證明氫原子磁矩為原子磁矩與角動(dòng)量之比為這個(gè)比值稱為回轉(zhuǎn)磁比率。解：(1)一圓周電流的磁矩為（為圓周電流，為圓周所圍面積）(2)氫原子的磁矩為在單位制中原子磁矩與角動(dòng)量之比為一剛性轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I，它的能量的經(jīng)典表示式是，L為角動(dòng)量，求與此對(duì)應(yīng)的量子體系在下列情況下的定態(tài)能量及波函數(shù)：(1)轉(zhuǎn)子繞一固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：(2)轉(zhuǎn)子繞一固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)：解：(1)設(shè)該固定軸沿Z軸方向，則有哈米頓算符其本征方程為(無(wú)關(guān)，屬定態(tài)問(wèn)題)令，則取其解為(可正可負(fù)可為零)由波函數(shù)的單值性，應(yīng)有即∴m=0，177。1，177。2，…轉(zhuǎn)子的定態(tài)能量為(m=0，177。1，177。2，…)可見(jiàn)能量只能取一系列分立值，構(gòu)成分立譜。定態(tài)波函數(shù)為A為歸一化常數(shù)，由歸一化條件∴轉(zhuǎn)子的歸一化波函數(shù)為綜上所述，除m=0外，能級(jí)是二重簡(jiǎn)并的。(2)取固定點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則轉(zhuǎn)子的哈米頓算符為無(wú)關(guān)，屬定態(tài)問(wèn)題，其本征方程為(式中設(shè)為的本征函數(shù)，為其本征值)令，則有此即為角動(dòng)量的本征方程，其本征值為其波函數(shù)為球諧函數(shù)∴轉(zhuǎn)子的定態(tài)能量為可見(jiàn)，能量是分立的，且是重簡(jiǎn)并的。設(shè)t=0時(shí)，粒子的狀態(tài)為求此時(shí)粒子的平均動(dòng)量和平均動(dòng)能。解：可見(jiàn)，動(dòng)量的可能值為動(dòng)能的可能值為對(duì)應(yīng)的幾率應(yīng)為上述的A為歸一化常數(shù)，可由歸一化條件，得∴∴動(dòng)量的平均值為一維運(yùn)動(dòng)粒子的狀態(tài)是其中，求：(1)粒子動(dòng)量的幾率分布函數(shù)；(2)粒子的平均動(dòng)量。解：(1)先求歸一化常數(shù)，由∴動(dòng)量幾率分布函數(shù)為(2)，勢(shì)阱的寬度為，如果粒子的狀態(tài)由波函數(shù)描寫(xiě)，A為歸一化常數(shù)，求粒子的幾率分布和能量的平均值。解：由波函數(shù)的形式可知一維無(wú)限深勢(shì)阱的分布如圖示。粒子能量的本征函數(shù)和本征值為動(dòng)量的幾率分布函數(shù)為先把歸一化，由歸一化條件，∴∴∴求氫原子能量、角動(dòng)量平方及角動(dòng)量Z分量的可能值，這些可能值出現(xiàn)的幾率和這些力學(xué)量的平均值。解：在此能量中，氫原子能量有確定值角動(dòng)量平方有確定值為角動(dòng)量Z分量的可能值為其相應(yīng)的幾率分別為，其平均值為，勢(shì)能為求粒子的能級(jí)和定態(tài)函數(shù)。解：據(jù)題意，在的區(qū)域，所以粒子不可能運(yùn)動(dòng)到這一區(qū)域，即在這區(qū)域粒子的波函數(shù)()由于在的區(qū)域內(nèi)。只求角動(dòng)量為零的情況，即，這時(shí)在各個(gè)方向發(fā)現(xiàn)粒子的幾率是相同的。即粒子的幾率分布與角度無(wú)關(guān)，是各向同性的，因此，粒子的波函數(shù)只與有關(guān)，而與無(wú)關(guān)。設(shè)為，則粒子的能量的本征方程為令，得其通解為波函數(shù)的有限性條件知，有限，則A=0∴由波函數(shù)的連續(xù)性條件，有∵∴∴其中B為歸一化，由歸一化條件得∴∴歸一化的波函數(shù)解：粒子處于狀態(tài)式中為常量。當(dāng)粒子的動(dòng)量平均值，并計(jì)算測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系解：①先把歸一化，由歸一化條件，得∴/∴是歸一化的②動(dòng)量平均值為③（奇被積函數(shù)）。解：設(shè)氫原子基態(tài)的最概然半徑為R，則原子半徑的不確定范圍可近似取為由測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系得對(duì)于氫原子，基態(tài)波函數(shù)為偶宇稱，而動(dòng)量算符為奇宇稱，所以又有所以可近似取能量平均值為作為數(shù)量級(jí)估算可近似取則有基態(tài)能量應(yīng)取的極小值，由得代入，得到基態(tài)能量為補(bǔ)充練習(xí)題二1．試以基態(tài)氫原子為例證明：的本征函數(shù)，而是的本征函數(shù)?？梢?jiàn)，可見(jiàn)，是的本征函數(shù)。2．證明：的氫原子中的電子，在的方向上被發(fā)現(xiàn)的幾率最大。解：∴的電子，其∴當(dāng)時(shí)為最大值。即在方向發(fā)現(xiàn)電子的幾率最大。在其它方向發(fā)現(xiàn)電子的幾率密度均在～之間。3．試證明：處于1s，2p和3d態(tài)的氫原子的電子在離原子核的距離分別為的球殼內(nèi)被發(fā)現(xiàn)的幾率最大(為第一玻爾軌道半徑)。證
環(huán)評(píng)公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1