[理學]量子力學(1)(編輯修改稿)
2025-01-19 12:37 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 振子 常見的諧振子模型： 一維諧振子的本征值問題是處理量子力學 問題的最基本的范例。 分子的振動、晶格的振動、原子核表面 振動以及輻射場的振動等 19 一、勢函數(shù) 選線性諧振子的平衡位置為坐標原點 以坐標原點為零勢能點 則一維線性諧振子的勢能為： mk??m 是粒子的質(zhì)量 k 是諧振子的勁度系數(shù) 是諧振子的角頻率 2222121)( xmkxxV ???20 二、薛定諤方程及解 0)]([2 222??? ?? xVEmx ?dd0]21[2 22222??? ??? xmEmx ?dd或，時，因為 ???? )(|| xVx求解，引進無量綱參數(shù)為化簡上述方程，方便限深勢阱，理想的諧振子是一個無為束縛態(tài)。0)( ?x?,/ ??? m? ?? ?/2 E?,x?? ?21 上述方程可化為 0)()()(dd 222??? ???????這是個 變系數(shù) 常微分方程。 可略去）。（此時行為，求漸近解先討論?? ???)1(0)()(dd 222?? ??????對方程 其解顯然可以寫為 221~)( ??? ?e 因為 )()()(39。39。 2 ??????? ?? )(2 ????),()(39。 ????? ??22 （ 2） 求實際解 2/2dd)( ???? ??????? ??? euu有根據(jù)束縛態(tài)邊界條件，2/222222dd)(dd2)(dd ????????? ??????? ????? euuuu????? ??dd)(dd 2/2/ 22 ueue ?? ???221~)( ??? ?e為何這樣寫？ )()( 2/2 ??? ? ue ??不妨令 有 23 要求中斷為一多項式。為得到有界解，冪級數(shù)方程。這就是所謂的 H e r m i t e不能滿足有界條件。時，當 ,~)(|| 2??? eu??解為無窮級數(shù)。計算表明，一般情況下后附錄）。數(shù)展開來求解（見教材鄰域用冪級為方程的常點，可在 00 ?? ??0)()(dd 222?? ??????代入方程 可得 所滿足的方程 )(?u 0)()1(dd2dd22???? ????? uuu24 0)()1(dd2dd22???? ?????uuu對方程 時可以得出一多項式解可以證明，當 12 ?? n?)()( ?? nn Hu ?????????????????22dd)1()()()21()21(???????eeHuhnnEEnnnnnn? n = 0, 1, 2, … nn ( 1 )階厄米多項式，宇稱為第二式稱作滿足下列遞推關(guān)系此時 25 ????????????0)(2)(2)()(2d)(d111???????nnnnnnHHHn
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