近代量子力學疑難問題(編輯修改稿)
2025-06-01 22:45 本頁面
【文章內容簡介】 ?? ? ? ???10 三，矛盾分析與結論 [7] 按 QM基本原理，波函數(shù)、動量算符及 Schr246。dinger方程 都應當定義在整個（空間）實軸上，而不是只定義在（有限 空間的）勢阱內。事實上， 正確的邊界條件應當是 ψ(x)＝ 0(|x|≥a)； 而不是 ψ(x)＝ 0(|x|=a)。 如果相反，認為邊界條件可以用后者，并認為物理量算符 可以 “ 只 ” 定義在勢阱 |x|a 內， 這不僅會給 QM基本原理解 釋以及很多算符（比如，動量算符及相關的動能算符、軌道 角動量算符等）厄密性、完備性帶來許多不必要的混亂和麻 煩，理論處理很煩瑣；而且動量波函數(shù)的解有兩種了結果！ 邊界條件的兩種不同提法，對求解阱內坐標波函數(shù)沒甚么 影響，因為阱內坐標波函數(shù)是定域解； 但對求解阱內粒子的 動量波函數(shù)卻有影響。 11 問題的關鍵是： 不象坐標波函數(shù)是定域的， 動量波函數(shù)是非定域的 ！ 即 阱內動量波函數(shù)分布不僅僅依賴于阱 內坐標波函數(shù)的形狀，而且依賴于阱外 坐標波函數(shù)的形狀。換句話說，它還取 決于對阱外坐標波函數(shù)的處理 —— 坐標 波函數(shù)邊界條件的正確擬定。 12 Pauli 錯誤處理了阱外坐標波函數(shù)：由于并不影響阱內坐 標波函數(shù)求解，含糊的 “ 兩端點為零 ” 邊界條件被下意識地推 廣為 “ 周期零點 ” 邊界條件，得到了坐標波函數(shù)的周期解。 Pauli解 正是此周期解的動量分布 —— 這等于將阱內坐標波函 數(shù)向全實軸作了周期性延拓。此周期解的阱外部分顯然不符合 現(xiàn)在阱外要求，其動量分布當然也就不符合阱內現(xiàn)在問題。 可證（見后面附錄）： 當 比值 很大（或 n很大）向經(jīng)典趨近時， Landau 解將 逐漸演變?yōu)?Pauli 解 。這充分說明 Pauli 解是對大阱寬、高激發(fā)態(tài)時的近似解 。 顯然，指數(shù)上的量 177。 πnh/2a 也 不是嚴格的物理動量（特別 當 a 或 n 較小時）。 ?a13 四，設想實驗的佐證 一塊無窮大并足夠厚的 平板，取厚度方向為 z軸，板 上沿 y方向開一條無限長的縫， 沿 x軸的縫寬為 2a。電子束由 板的下方入射。分離掉電子 在 y和 z方向的自由運動，單 就電子在 x方向運動而言， 便是一個（沿 x方向）無限深方阱問題。在板上方放一接收 電子的探測屏，觀察狹縫穿出的電子在此探測屏上沿 x方向 的偏轉，偏轉大小將和電子在 x方向的動量 px 數(shù)值有關。由 此知：
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