【文章內(nèi)容簡介】 () 第 4 頁 共 17 頁 tDJH ????????? () fD ???? ? () 0???B? () 式中， E? ， H? 分別是電場強度矢量和磁場強度矢量； D? ， B? 分別是電位移矢量和磁感應(yīng)強度矢量；電流密度矢量 J? 和電荷密度 f? 表示電磁場的源，在光纖這種無自由電荷的介質(zhì)中，顯然是 J? =0， f? =0。 介質(zhì)內(nèi)傳輸?shù)碾姶艌鰪姸?E? 和 H? 增大時，電位移矢量 D? 和磁感應(yīng)強度 B? 也隨之增大，它們的關(guān)系通過物質(zhì)關(guān)系聯(lián)系起來 PED ??? ?? 0? () MHB ??? ?? 0? () 式中， 0? 為真空中介電常數(shù)； 0? 為真空中的磁導(dǎo)率； P? ， M? 分別為感應(yīng)電極化強度和磁極化強度，在光纖這樣的無磁性介質(zhì)中 M? =0。 非線性薛定諤方程 描述光纖中光傳輸?shù)牟ǚ匠炭梢詮柠溈怂鬼f方程組得到。其具體步驟是對方程 ()兩邊取旋度，并利用式 ()， ()和 ()，用 E? ， P? 消去 B? ， D? ，可得 2202221 t Pt EcE ?????????????? ? () 式中， 200 /1 c??? ， c 為真空中的光速。 為完整表達光纖中的光波的傳輸，還 需要找到電極化強度 P? 和電場強度 E? 的關(guān)系。當(dāng)光頻與介質(zhì)共振頻率接近時， P? 的計算必須采用量子力學(xué)的方法。但在遠離介質(zhì)的共振頻率處， P? 和 E? 的關(guān)系式可唯象的寫成 ()式，感興趣的～ 2μm波長范圍內(nèi)光纖的 非線性效應(yīng)正是這種情況。若只考慮與 )3(? 有關(guān)的三階非線性效應(yīng)，則感應(yīng)電極化強度由兩部分組成： ),(),(),( trPtrPtrP NLL ?????? ?? () 式中，線性部分 ),( trPL ?? 和非線性部分 ),( trPNL ?? 與場強的普通關(guān)系為 39。39。39。)1(0 ),()( dttrEttP L ??? ??? ???? ?? () 321321321)3( ),(),(),(),( dtdtdttrEtrEtrEttttttP NL ???????? ??? ???? ? ?? ?? () 假設(shè)上述這類介質(zhì)響應(yīng)是局域的，在電偶極子近似下，這些關(guān)系式是有效的。 式 ()～ ()給出了處理光纖中三階非線性效應(yīng)的一般公式。由于它們比較復(fù) 第 5 頁 共 17 頁 雜，需要對它們做一些簡化近似。最主要的簡化就是把方程 ()中的 ),( trPNL ?? 非線性極化處理成總感應(yīng)極化強度的微擾。具體方法是，第一步是在 0),( ?trPNL ?? 時解方程 ()，由于此時方程關(guān)于 E? 是線性的，因此在頻域內(nèi)具有簡單的形式。即方 程 ()變成 0),(~)(),(~ 22 ?????? ????? rEcrE ?? () 式中， ),(~ ?rE? 是 ),( trE?? 的傅立葉變換，定義為 dttitrErE ????? )ex p (),(),(~ ?? ??? () 解方程 ()前可作兩個近似：由于光纖的損耗很小， )(?? 的虛部可忽略，因此在討論中可用 )(2?n 代替 )(?? ；并且在階躍光纖的纖芯和包層中由于折色率與 )(?n 無關(guān)，于是有 EEEE ???? 22)( ????????????? () 光纖中大多數(shù)非線性效應(yīng)的研究涉及到脈寬范圍為 ns10 ～ fs10 的短脈沖的應(yīng)用。當(dāng)這樣的光脈沖在光纖內(nèi)傳輸時，色散和非線性效應(yīng)將影響其形狀和頻譜。光脈沖在非線性色散光纖中傳輸?shù)幕痉匠虖南聦?dǎo)出： 由 ()， ()， ()得傳輸?shù)幕痉匠蹋? 2202202222 1 tPtPt EcE NLL ?????????????? ?? () 為解方程 ()，須做幾個假設(shè)來簡化之。首先，把 NLP? 處理成 LP? 的微擾，實際上，折射率的非線性變化小于 610? ；其次，假定光場沿光纖長度方向其偏振態(tài)不變，因而其標(biāo)量近似有效，事實并非如此，除非采用保偏光纖，但這種近似非常有效；最后，假定光場是準(zhǔn)單色 的，即對中心頻率為 0? 的頻譜，其譜寬為0?? ，且 1/ 0 ??? ?? 。因為 0? 約為 Hz1015 ，最后一項假定對脈寬大于或等于 的脈沖是成立的。在慢變包絡(luò)近似下，把電場的快變化部分分開，寫成 .].)e x p (),([?21),( 0 cctitrExtrE ??? ???? () x? 為假定沿 x 方向偏振的光的單位偏振矢量， ),( trE?? 為時間的慢變化函數(shù) （ 相對于光周期 ） 。類似地，可把極化強度分量 LP? ， NLP? 表示成 .].)e x p (),([?21),( 0 cctitrPxtrP LL ??? ???? () .].)e x p (),([?21),( 0 cctitrPxtrP NLNL ??? ???? () 線性 極化分量 LP? 通過把方程 ()代入 ()得到，并被寫成 第 6 頁 共 17 頁 ? ????????????? ??dtirEdtttitrEtttrPxxL])(e x p [),()(2)](e x p [),[)(),(00)1(039。39。039。39。10????????????????????? () 上式中， ),(~ ?rE? 為類似于方程 ()定義的 的傅立葉變換。 把方程 ()代人方程 ()可得到極化強度的非線性分量 ),( trPNL ?? 。 假定非線性響應(yīng)是瞬時作用的，因而方程 ()中的 )3(? 的時間關(guān)系可由三個 )( 1tt?? 函數(shù)的積得到，這樣方程 ()變成 ),(),(),(),( )3(0 trEtrEtrEtrP NL ????????? ??? () 瞬時非線性響應(yīng)的假定相當(dāng)于忽略了分子振動對 )3(? 的影響 （ 拉曼效應(yīng) ） 。一般地說．電子和原子核對光場的響應(yīng)都是非線性的，原子核的響應(yīng)應(yīng)該比電子的響應(yīng)慢。對石英光纖，振動或拉曼響應(yīng)在 fs60 ～ fs70 時間量級，這樣方程 ()在脈寬大于 ps1 時，基本有效。 把方程 ()代人 ()，發(fā)現(xiàn) ),( trPNL ?? 有一項在 0? 處振蕩，另一項在三次諧波 03? 振蕩，后一項由于需要相位匹配。在光纖中通常被忽略。利用方程 ()得出 ),( trPNL ?? 的表達式 ),(),( 0 trEtrP NLNL ???? ??? () 式中， NL? 為介電常數(shù)的非線性部分，由下式給定 2)3( ),(43 trExxxNL ???? ? () 為得到慢變化振幅 ),( trE?? 的波動方程，在領(lǐng)域內(nèi)進行推導(dǎo)更為方便，但一般是不可能的，因為 NL? 對場強的依賴關(guān)系，方程 ()是非線性的。一種處理辦法是，在推導(dǎo) ),( trE?? 波動方程的過程中，把 NL? 處理成常量，這種方法從慢變包絡(luò)近似以及 NLP? 的擾動特性來看，可認為是合理的。把方程 ()～ ()代人 ()，傅里葉變換為 ),(~ 0???rE ? 為 dtetrErE dti???? ??? )(0 0),(),(~ ???? ?? () 并滿足亥姆霍茲方程 0~)(~ 202 ??? EkE ?? () 式 中， ck /0 ?? ，且 NL????? ?? ??? )(~1)( )1( () 方程 ()可利用變量分離法求解。假定解的形式為 )e x p (),(~),(),(~ 000 zizAyxFrE ????? ??? ?? () 式中， ),(~ ?zA 是 z 的慢變函數(shù)； 0? 是波數(shù)，它將在后面確定。方程 ()分離成兩個關(guān)于 ),( yxF? 和 ),(~ ?zA 的方程 第 7 頁 共 17 頁 0]~)([ 2202222 ???????? FkyFxF ??? ??? () 0~)~(~2 2020 ????? AzAi ??? () 利用方程對方程 ()的變化可得電場強度 .}.)](e x p [),(),({?21),(