【文章內(nèi)容簡介】 11．若函數(shù) f（ x） =ex（ x2+ax+b）有極值點(diǎn) x1， x2（ x1＜ x2），且 f（ x1） =x1，則關(guān)于 x 的方程 f2（ x） +（ 2+a） f（ x） +a+b=0 的不同實(shí)根個數(shù)為（ ） A． 0 B． 3 C． 4 D． 5 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；根的存在性及根的個數(shù)判斷． 【分析】 求出 f（ x）的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為方程 x2+（ 2+a） x+a+b=0 有兩個不相同的實(shí)數(shù)根，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可． 【解答】 解：函數(shù) f（ x）有兩個不相同的極值點(diǎn)， 即 f′（ x） =ex[x2+（ 2+a） x+a+b]=0 有兩個不相同的實(shí)數(shù)根 x1， x2， 也就是方程 x2+（ 2+a） x+a+b=0 有兩個不相同的實(shí)數(shù)根， 所以 △ =（ 2+a） 2﹣ 4（ a+b） ＞ 0； 由于方程 f2（ x） +（ 2+a） f（ x） +a+b=0 的判別式 △ ′=△ ， 故此方程的兩個解為 f（ x） =x1或 f（ x） =x2． 由于函數(shù) y=f（ x）的圖象和直線 y=x1的交點(diǎn)個數(shù)即為方程 f（ x） =x1的解的個數(shù)， 函數(shù) y=f（ x）的圖象和直線 y=x2的交點(diǎn)個數(shù)即為方程 f（ x） =x2的解的個數(shù)． 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及 f（ x1） =x1， 可知 y=f（ x）的圖象和直線 y=x1的交點(diǎn)個數(shù)為 2， y=f（ x）的圖象和直線 y=x2的交點(diǎn)個數(shù)為 1． 所以 f（ x） =x1或 f（ x） =x2共有三個不同的實(shí)數(shù)根 ， 即關(guān)于 x 的方程 f2（ x） +（ 2+a） f（ x） +a+b=0 的不同實(shí)根個數(shù)為 3， 故選： B． 【點(diǎn)評】 本題難度中等偏上，是導(dǎo)數(shù)單調(diào)性、極值點(diǎn)與解一元 二次方程的綜合題目，求解的關(guān)鍵是判斷出函數(shù)的單調(diào)性，并將方程解的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)個數(shù)問題． 12．定義區(qū)間 [x1， x2]的長度為 x2﹣ x1（ x2＞ x1）單調(diào)遞增），函數(shù)（ a∈ R， a≠ 0）的定義域與值域都是 [m， n]（ n＞ m），則區(qū)間 [m， n]取最大長度時(shí)實(shí)數(shù) a 的值（ ） A． B．﹣ 3 C． 1 D． 3 【考點(diǎn)】 函數(shù)的值域． 【分析】 由題意 求出 f（ x）的定義域并化簡解析式，判斷出區(qū)間的范圍和 f（ x）的單調(diào)性，由題意列出方程組，轉(zhuǎn)化為 m， n 是方程 f（ x）的同號的相異實(shí)數(shù)根，利用韋達(dá)定理表示出 mn 和 m+n，由判別式大于零求出 a 的范圍，表示出 n﹣ m利用配方法化簡后，由二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值和 a 的值． 【解答】 解：由題意得，函數(shù) f（ x）的定義域是 {x|x≠ 0}， ∵ [m， n]是其定義域的子集， ∴ [m， n]?（﹣ ∞ ， 0）或（ 0， +∞ ）． ∵ f（ x） = 在 [m， n]上是增函數(shù)， ∴ 由條件得 ，則 m， n 是方程 f（ x） =x 的同號相異的實(shí)數(shù)根， 即 m， n 是 方程（ ax） 2﹣（ a2+a） x+1=0 同號相異的實(shí)數(shù)根． ∴ mn= ， m+n= = ， 則 △ =（ a2+a） 2﹣ 4a2＞ 0，解得 a＞ 1 或 a＜ ﹣ 3． ∴ n﹣ m= = = = ， ∴ n﹣ m的最大值為 ，此時(shí) ，解得 a=3， 即在區(qū)間 [m， n]的最大長度為 時(shí)， a 的值是 3． 故選 D．． 【點(diǎn)評】 本題考查函數(shù)與方程的關(guān)系及其轉(zhuǎn)化，函數(shù)單調(diào)性、值域，一元二次函數(shù)的性質(zhì)，以及韋達(dá)定理的綜合應(yīng)用，考查化簡、變形能力． 二、填空題（本大題共 4 小題，每小題 5 分，滿分 20 分 .） 13． = ﹣ 4 ． 【考點(diǎn)】 對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)． 【分析】 由 lg8=3lg2， lg125=3lg5 對分子進(jìn)行化簡，再由 = ， = 對分母進(jìn)行化簡，利用 lg2+lg5=1 進(jìn)行求值． 【解答】 解： = = =﹣ 4 故答案為：﹣ 4． 【點(diǎn)評】 本題的考點(diǎn)是對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，即化簡求值，還考查了根式的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的轉(zhuǎn)化，利用 “l(fā)g2+lg5=1”進(jìn)行求值． 14．設(shè)函數(shù) f（ x） = ，則 f（ f（ 3）） = 3 ． 【考點(diǎn)】 分段函數(shù)的應(yīng)用；函數(shù)的值． 【分析】 利用分段函數(shù)直接求解函數(shù)值即可． 【解答】 解：函數(shù) f（ x） = ， 則 f（ f（ 3）） =f（ ） =f（ ） =1﹣ log2（ 2﹣ ） =1+2=3． 故答案為： 3． 【點(diǎn)評】 本題考查函數(shù)值的求法，分段函數(shù)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力． 15．設(shè)函數(shù) f（ x） = 的最大值為 M，最小值為 m，則 M+m= 2 ． 【考點(diǎn)】 函數(shù)的最值及其幾何意義． 【分析】 化 f（ x）為 1+ ，由 g（ x） = ，定義域?yàn)?R，判斷 g（ x）的奇偶性，由圖象性質(zhì)可得 g（ x）的最值之和為 0，進(jìn)而得到所求和． 【解答】 解：函數(shù) f（ x） = = =1+ ， 由 g（ x） = ，定義域?yàn)?R， 可得 g（﹣ x） +g（ x） = + =0， 可得 g（ x） 為奇函數(shù)， 由奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱， 可得 g（ x）的最大值 a 與最小值 b 的和為 0， 則 M+m=a+1+b+1=（ a+b） +2=2． 故答案為： 2． 【點(diǎn)評】 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化法，由奇函數(shù)的性質(zhì)：最值之和為 0，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題． 16．在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，直線 y=x+b 是曲線 y=alnx 的切線，則當(dāng) a＞ 0時(shí)，實(shí)數(shù) b 的最小值是 ﹣ 1 ． 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程． 【分析】 設(shè)出曲線上的一個切點(diǎn)為（ x， y），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的坐標(biāo)，可得 b=alna﹣ a，再求導(dǎo)，求最值即可． 【解答】 解：設(shè)出曲線上的一個切點(diǎn)為（ x， y）， 由 y=alnx，得 y′= ， ∵ 直線 y=x+b 是曲線 y=alnx 的切線， ∴ y′= =1， ∴ x=a， ∴ 切點(diǎn)為（ a， alna）， 代入 y=x+b，可得 b=alna﹣ a， ∴ b′=lna+1﹣ 1=0，可得 a=1， ∴ 函數(shù) b=alna﹣ a 在（ 0， 1）上單調(diào)遞減，在（ 1， +∞ ）上單調(diào)遞增， ∴ a=1 時(shí)， b 取得最小值﹣ 1． 故答案為：﹣ 1． 【點(diǎn)評】 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算求出切線斜率，根據(jù)切線斜率和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系建立 方程進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的運(yùn)算能力． 二、解答題（解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．） 17．（ 12 分）（ 2017?深圳一模）設(shè) p：實(shí)數(shù) x 滿足 x2﹣ 4ax+3a2＜ 0， q：實(shí)數(shù) x滿足 |x﹣ 3|＜ 1． （ 1）若 a=1，且 p∧ q 為真，求實(shí)數(shù) x 的取值范圍； （ 2）若其中 a＞ 0 且￢ p 是￢ q 的充分不必要條件，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍． 【考點(diǎn)】 必要條件、充分條件與充要條件的判斷． 【分析】 （ 1）若 a=1，根據(jù) p∧ q 為真，則 p， q 同時(shí)為真，即可求實(shí)數(shù) x 的取值范圍； （ 2）根據(jù)￢