【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) 5 Symlets 函數(shù)系是由 Daubechies 提出的近似對(duì)稱的小波函數(shù)，它是對(duì) db 函數(shù)的一種改進(jìn)。 Symlets 函數(shù)系通常表示為 symN（ N=2， 3， … ， 8） 的形式。 （ 6） Morlet（ morl） 小波 Morlet 函數(shù)定義為 xCex x 5c o s)( 2/2??? ，它的尺度函數(shù)不存在，且不具有正交性。 （ 7） Mexican Hat（ mexh） 小波 Mexican Hat函數(shù)為 2/24/1 2)1(32)( xexx ?? ??? ? （ ） 它是 Gauss 函 數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，因?yàn)樗衲鞲缑钡慕孛?，所以有時(shí)稱這個(gè)函數(shù)為墨西哥帽函數(shù)。墨西哥帽函數(shù)在時(shí)間域與頻率域都有很好的局部化，并且滿足 0)( ????? dxx? 由于它的尺度函數(shù)不存在，所以不具有正交性。 （ 8） Meyer 函數(shù) Meyer 小波函數(shù) ? 和尺度函數(shù) ? 都是在頻率域中進(jìn)行定義的，是具有緊支撐的正交小波。 ????????????? ??0))123(2c o s ()2())123(2s in ()2()(? 2/2/12/2/1??????????? ??jjee ]38,32[38343432?????????????? （ ） 其中， )(a? 為構(gòu)造 Meyer 小波的輔助函數(shù)，且有 ????????? ??0))123(2c o s ()2()2()(? 2/12/1???????? 34343232??????????? （ ） [1] XX：小波分析在信號(hào)處理中的應(yīng)用 6 傅立葉變換與小波變換 傅立葉變換與小波變換歷史 小波分析是傅立葉分析思想方法的發(fā)展與延拓。它自產(chǎn)生以來(lái)，就一直與傅立葉分析密切相關(guān)。它的存在性證明，小波基的構(gòu)造以及結(jié)果分析都依賴于傅立葉分析 ，二者是相輔相成的。兩者相比較主要有以下不同： （ 1）傅立葉變換的實(shí)質(zhì)是把能量有限信號(hào) f（ t） 分解到以 { tje? }為正交基的空間上去；小波變換的實(shí)質(zhì)是把能量有限信號(hào) )(tf 分解到 jW? （ j=1， 2，?， J）和 jV? 所構(gòu)成的空間上去。 （ 2）傅立葉變換用到基本函數(shù)只有 )e xp(),c os (),s in( titt ??? ，具有唯一性；小波分析用到的函數(shù)（即小波函數(shù) ）則具有不唯一性，同一個(gè)工程問(wèn)題用不同的小波函數(shù)進(jìn)行分析有時(shí)結(jié)果相差甚遠(yuǎn)。小波函數(shù)的選用是小波分析應(yīng)用到實(shí)際中的一個(gè)難點(diǎn)問(wèn)題（也是小波分析研究的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題），目前往往是通過(guò)經(jīng)驗(yàn)或不斷的試驗(yàn)（對(duì)結(jié)果進(jìn)行對(duì)照分析）來(lái)選擇小波函數(shù)。 （ 3）在頻域中，傅立葉變換具有較好的局部化能力，特別是對(duì)于那些頻率成分比較簡(jiǎn)單的確定性信號(hào)，傅立葉變換很容易把信號(hào)表示成各頻率成分的疊加和的形式。例如，)c o s ()s in (3 4 )s in ( 321 ttt ??? ?? ，但在時(shí)域中，傅立葉變換沒(méi)有局部化能力，即無(wú)法從信號(hào) )(tf 的傅立葉變換 )(???f 中看出 )(tf 在任一時(shí)間點(diǎn)附近的性態(tài)。事實(shí)上， ??df )(?? 是關(guān)于頻率為 ? 的諧波分量的振幅，在傅立葉展開(kāi)式中，它是由 )(tf 的整體性態(tài)所決定的。 （ 4）在小波分析中，尺度 a 的值越大相當(dāng)于傅立葉變換中 ? 的值越小。 （ 5）在短時(shí)傅立葉變換中，變換系 數(shù) ),( ??S 主要依賴于信號(hào)在 ],[ ???? ?? 片段中的情況，時(shí)間寬度是 ?2 （因?yàn)?? 是由窗函數(shù) )(tg 唯一確定，所以 ?2 是一個(gè)定值）。在小波變換中，變換系數(shù) ),( baWf 主要依賴于信號(hào)在 ],[ ?? ???? abab 片段中的情況，時(shí)間寬 度是??a2 ，該時(shí)間寬度是隨著尺度 a變化而變化的，所以小波變換具有時(shí)間局部分析能力。 （ 6）若用信號(hào)通過(guò)濾波器來(lái)結(jié)實(shí)，小波變換與短時(shí)傅立葉變換不同之處在于：對(duì)短時(shí)傅立葉變換來(lái)說(shuō)，帶通濾波器的帶寬 f? 與中心頻率 f 無(wú)關(guān)；相反，小波變換帶通濾波器的帶寬 f? 則正比于中心頻率 f ，即 CffQ ??? C為常數(shù) 亦即濾波器有一個(gè)恒定的相對(duì)帶寬，稱之為等 Q 結(jié)構(gòu)（ Q 為濾波器的品質(zhì)因數(shù)，且有帶寬中心頻率?Q ）。 小波理論包括連續(xù)小波和二進(jìn)小波變換，在映射到計(jì)算域的時(shí)候存在很多問(wèn)題 ，因?yàn)閮烧叨即嬖谛畔⑷哂?，在?duì)信號(hào)采樣以后，需要計(jì)算的信息量還是相當(dāng)?shù)拇螅绕涫沁B續(xù)小波變換，因?yàn)橐獙?duì)精度內(nèi)所有的尺度和位移都做計(jì)算，所以計(jì)算量相當(dāng)?shù)拇?。而二進(jìn)小波變換雖然在離散的尺度上進(jìn)行伸縮和平移，但是小波之間沒(méi)有正交性，各個(gè)分量的信息攙雜在一起，為我們的分析帶來(lái)了不便。 小波分析在信號(hào)處理中的應(yīng)用 江 西理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) 7 真正 使小波在應(yīng)用領(lǐng)域得到比較大發(fā)展的是 Meyer 在 1986 年提出的一組小波，其二進(jìn)制伸縮和平移構(gòu)成 )(2 RL 的標(biāo)準(zhǔn)化正交基。在此結(jié)果基礎(chǔ)上， 1988 年 在構(gòu)造正交小波時(shí)提出了多分辨分析的概念，從函數(shù)分析的角度給出了正交小波的數(shù)學(xué)解釋，在空間的概念上形象的說(shuō)明了小波的多分辨率特性，給出了通用的構(gòu)造正交小波的方法，并將之前所有的正交小波構(gòu)造方法統(tǒng)一起來(lái)，并類(lèi)似傅立葉分析中的快速傅立葉算法，給出了小波變換的快速算法 —— Mallat 算法。這樣，在計(jì)算上變得可行以后，小波 變換在各個(gè)領(lǐng)域才發(fā)揮它獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，解決了各類(lèi)問(wèn)題，為人們提供了更多的關(guān)于時(shí)域分析的信息。 形象一點(diǎn)說(shuō)，多分辨分析就是要構(gòu)造一組函數(shù)空間，每組空間的構(gòu)成都有一個(gè)統(tǒng)一的形式，而所有空間的閉包則逼近 )(2 RL 。在每個(gè)空間中，所有的函數(shù)都構(gòu)成該空間的標(biāo)準(zhǔn)化正交基，而所有函數(shù)空間的閉包中的函數(shù)則構(gòu)成 )(2 RL 的標(biāo)準(zhǔn)化正交基，那么，如果對(duì)信號(hào)在這類(lèi)空間上進(jìn)行分解，就可以得到相互正交的時(shí)頻特性。而且由于空間數(shù)目是無(wú)限可數(shù)的，可以很方便地分析我們所關(guān)心 的信號(hào)的某些特性[2]。 傅里葉變換 在信號(hào)處理中重要方法之 — 是傅立葉變換，它架起了時(shí)間域和頻率域之間的橋梁。 對(duì)很多信號(hào)來(lái)說(shuō)， 傅立葉 分析非常有用。因?yàn)樗芙o出信號(hào)令包含的各種頻率成分。但是、傅立葉變換有著嚴(yán)重的缺點(diǎn)：變換之后使信號(hào)失去了時(shí)間信息，它不能告訴人們?cè)谀扯螘r(shí)間里發(fā)生了什么變化。而很多信號(hào)都包含有人們感興趣的非穩(wěn)態(tài)（或者瞬變）持性，如漂移、趨勢(shì)項(xiàng)、突然變化以及信號(hào)的升始或結(jié)束。這些特性是信號(hào)的最重要部分。因此傅里葉變換不適于分析處理這類(lèi)信號(hào)。 雖然傅立葉變換能夠?qū)⑿盘?hào)的時(shí)域特征和頻域特 征聯(lián)系起來(lái)，能分別從信號(hào)的時(shí)域和頻域觀察，但卻不能把二者有機(jī)地結(jié)合起來(lái)。這是因?yàn)樾盘?hào)的時(shí)域波形中不包含任何頻域信息。而其傅立葉譜是信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性，從其表達(dá)式中也可以看出，它是整個(gè)時(shí)間域內(nèi)的積分，沒(méi)有局部化分析信號(hào)的功能，完全不具備時(shí)域信息，也就是說(shuō)，對(duì)于傅立葉譜中的某一頻率，不知道這個(gè)頻率是在什么時(shí)候產(chǎn)生的。這樣在信號(hào)分析中就面臨一對(duì)最基本的矛盾：時(shí)域和頻域的局部化矛盾。 在實(shí)際的信號(hào)處理過(guò)程中，尤其是對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的處理中，信號(hào)在任一時(shí)刻附近的頻域特征都很重要。如柴油機(jī)缸蓋表面的震動(dòng)信號(hào)就是由撞擊或沖擊產(chǎn)生 的，是一瞬變信號(hào)，僅從時(shí)域或頻域上來(lái)分析是不夠的。這就促使去尋找一種新方法，能夠?qū)r(shí)域和頻域結(jié)合起來(lái)描述觀察信號(hào)的時(shí)頻聯(lián)合特征，構(gòu)成信號(hào)的時(shí)頻譜。這就是所謂的時(shí)頻分析法，也稱為時(shí)頻局部化方法。 由于標(biāo)準(zhǔn)傅立葉變換只在頻域里有局部分析的能力，而在時(shí)域里不存在這種能力，Dennis Gabor 于 1946 年引入了短時(shí)傅立葉變換。短時(shí)傅立葉變換的基本思想是：把信號(hào)劃分成許多小的時(shí)間間隔，用傅立葉變換分析每一個(gè)時(shí)間間隔，以便確定該時(shí)間間隔存在的頻率。其表達(dá)式為 dtegtfS tjR????? ??? ? )()(),( * （ ） 其中 *表示復(fù)共軛， g(t)是有緊支集的函數(shù)， f(t)是進(jìn)入分析的信號(hào)。在這個(gè)變換中， tje?起著頻限的作用， g(t)起著時(shí)限的作用。隨著時(shí)間 ? 的變化， g(t)所確定的“時(shí)間窗”在 t軸上移動(dòng)，是 f（ t） “逐漸”進(jìn)行分析。因此， g（ t） 往往被稱之為窗口函數(shù)， ),( ??S 大致反映了 f（ t） 在時(shí)刻 ? 時(shí)、頻率為 ? 的“信號(hào)成分”的相對(duì)含量。這樣信號(hào)在窗函數(shù)上XX：小波分析在信號(hào)處理中的應(yīng)用 8 的展開(kāi)就可以表示為在 ],[ ???? ?? 、 ],[ ???? ?? 這一區(qū)域內(nèi)的狀態(tài)，并把這一區(qū)域稱為窗口， ? 和 ? 分別稱為窗口的時(shí)寬和頻寬，表示了時(shí)頻分析中的分辨率，窗寬越小則分辨率就越高。很顯然，希望 ? 和 ? 都非常小，以便有更好的時(shí)頻分析效果，但還森堡測(cè)不準(zhǔn)原理指出 ? 和 ? 是互相制約的，兩者不可能同時(shí)都任意?。ㄊ聦?shí)上， ?? ? 21 ，且僅當(dāng)22 24/11)( ??? tetg ? 為高斯函數(shù)時(shí)，等號(hào)成立） 由此可見(jiàn)，短時(shí)傅立葉變換雖然在一定程度上克服了標(biāo)準(zhǔn) 傅立葉不具有局部分析能力的缺陷，但它也存在著自身不可克服的缺陷，即當(dāng)窗函數(shù) g(t)確定后，矩形窗口的形狀就確定了， ? ， ? 只能改變窗口在相平面上的位置，而不能改變窗口的形狀?？梢哉f(shuō)短時(shí)傅立葉變換實(shí)質(zhì)上是具有單一分辨率的分析，若要改變分辨率，則必須重新選擇窗函數(shù) g(t)。因此，短時(shí)傅立葉變換用來(lái)分析平穩(wěn)信號(hào)猶可，但對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)，在信號(hào)波形變化劇烈的時(shí)刻，主頻是高頻，要求有較高的時(shí)間分辨率（即 ? 要小），而波形變化比較平緩的時(shí)刻，主頻是低頻，則要求有較高的頻率分辨率（即 ? 要?。?。而短時(shí)傅立葉變換不能兼顧兩者。 小波變換 連續(xù)小波變換 設(shè) ?? ? ?RLt 2?? ，其傅里葉變換為 ??w? ，當(dāng) ??w? 滿足允許條件（完全重構(gòu)條件）。 ???????????RdwwwC2^?? （ ） 稱 ??w? 為一個(gè)基本小波或母小波 (Mother Wavelet)。它說(shuō)明了基本小波在其頻域內(nèi)具有較好的衰減性。其中，當(dāng) 0?w 時(shí)，有 ??w? =0，即 ? ? 0????? dtt?同時(shí)有 ? ? 0??? 。因此，一個(gè)允許的基本小波的幅度頻譜類(lèi)似于帶通濾波器的傳遞函數(shù)。事實(shí)上，任何均值為零 (即?? 0????? dtt? )且在頻率增加時(shí)以足夠快的速度消減為零 (空間局域化特征 )的帶通濾波器的沖激響應(yīng) (傳遞函數(shù) )，都可以作為一個(gè)基本小波。 將母函數(shù) ??t? 經(jīng)過(guò)伸縮和 平移后得到： ? ? 0。,1, ???????? ?? aRbaa btatba 其中?? （ ） 稱其為一個(gè)小波序列。其中 a 為伸縮因子， b 為平移因子。通常情況下，基本小波 ??t?以原點(diǎn)為中心，因此 ??tba,? 是基本小波 ??t? 以 bt? 為中心進(jìn)行伸縮得到?；拘〔???t? 被伸縮為 ? ?at? ( 1?a 時(shí)變寬，而 1?a 時(shí)變窄 )可構(gòu)成一組基函數(shù)。在大尺度 a 上，膨脹的基函數(shù)搜索大的特征，而對(duì)于較小的 a 則搜索細(xì)節(jié)特征。 對(duì)于任意的函數(shù) ?? ? ?RLtf 2? 的連續(xù)小波變換為： ? ? ? ? dtabttfafbaWRbaf ????????? ? ?? 2, （ ） 小波分析在信號(hào)處理中的應(yīng)用 江 西理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) 9 當(dāng)此小波為正交小波時(shí)，其重構(gòu)公式為： ? ? ? ? dadbabtbaWaCtf f ?????? ?? ? ????????? ?? ,11 2 （ ） 在小波變換過(guò)程中必須保持能量成比例，即 ： ? ? ? ? dxxfCdbbaWadaRR fR222 , ??? ? ? （ ） 由于基小波 ??t? 生成的小波 ??tba,? 在小波變換中對(duì)被分析的信號(hào)起著觀測(cè)窗的作用，所以 ??t? 還應(yīng)該滿足一般函數(shù)的約束條件： ? ? ??????? dtt? （ ） 故 ??w^? 是一個(gè)連續(xù)函數(shù)，這意味著為了滿足重構(gòu)條件式 ()， ??w^? 在原點(diǎn)必須等于零，即 ： ? ? ? ? 00^ ?? ????? dtt?? （ ） 此即說(shuō)明 ??t? 具有波動(dòng)性。為了使信號(hào)重構(gòu)的實(shí)現(xiàn)上是穩(wěn)定