【正文】 211 ,xxfA ，其它三路輸出 ? ?2111 ,xxfD ， ? ?2121 ,xxfD ， ? ?2131 ,xxfD 都是細(xì)節(jié)函數(shù)。因此，有必要討論連續(xù)小波 )(, tba? 和連續(xù)小波變換 ),( baWf 的離散化。大多數(shù)情況下是將尺度因子和位移參數(shù)按 2 的冪次進(jìn)行離散。第二步對(duì)低頻部分再進(jìn)行相似運(yùn)算。 小波包定義性質(zhì) 小波包定義 短時(shí)傅立葉變換對(duì)信號(hào)的頻帶劃分是線性等間隔的。小波包分析不但對(duì)低頻部分進(jìn)行分解，而且對(duì)高頻部分作更加細(xì)致的刻畫，對(duì)信號(hào)的分析能力更強(qiáng)。 一種自然的做法是將尺度空間 jV 和小波子空間 jW 用一個(gè)新的子空間 njU 統(tǒng)一起來表征，若令 XX：小波分析在信號(hào)處理中的應(yīng)用 12 jjjjWUVU???????10 Zj? 則 Hilbert 空間的正交分解 jjj WVV ???1 即可用 njU 的分解統(tǒng)一為 100 1 jjj UUU ??? Zj? （ ） 定義子空間 njU 是函數(shù)是函數(shù) )(tUn 的閉包空間，而 )(tUn 是函數(shù) )(2 tUn 的閉包空間，并令 )(tUn 滿足下面的雙尺度方程： ??????????????ZknnZknnktukgtuktukhtu)2()(2)()2()(2)(122 （ ） 式中， )1()1()( khkg k ??? ，即兩系數(shù)也具有正交關(guān)系。 小波分析在信號(hào)處理中的應(yīng)用 江 西理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) 13 由于 )(t? 由 kh 唯一確定，所以又稱 ? ? Znn tu ?)( 為關(guān)于序列 ??kh 的正交小波包 [4]。 XX：小波分析在信號(hào)處理中的應(yīng)用 14 第三章 小波變換在信號(hào)處理中的應(yīng)用 調(diào)試環(huán)境 MATLAB 開發(fā)平臺(tái) MATLAB 是 Math Works 公司開發(fā)的一種跨平臺(tái)的，用于矩陣數(shù)值計(jì)算的簡(jiǎn)單高效的數(shù)學(xué)語言，與其它計(jì)算機(jī)高級(jí)語言如 C, C++, Fortran, Basic, Pascal等相比，MATLAB 語言編程要簡(jiǎn)潔得多，編程語句更加接近數(shù)學(xué)描述，可讀性好，其強(qiáng)大的圓形功能和可視化數(shù)據(jù)處理能力也是其他高級(jí)語言望塵莫及的。 MATLAB 使得人們擺脫了常規(guī)計(jì)算機(jī)編程的繁瑣，讓人們能夠?qū)⒋蟛糠志ν度氲窖芯繂栴}的數(shù)學(xué)建模上。在國(guó)內(nèi)外許多著名學(xué)術(shù)期刊上登載的論文，大部分的數(shù)值結(jié)果和圖形都是借助 MATLAB 來完成的。 由于圖像數(shù)據(jù)量的龐大 ,在存儲(chǔ)、傳輸、處理時(shí)非常困難 ,因此圖像數(shù)據(jù)的壓縮就顯得非常重要。 基于離散余弦變換的圖像壓縮算法，其基本思想是在頻域?qū)π盘?hào)進(jìn)行分解，驅(qū)除信號(hào)點(diǎn)之間的相關(guān)性，并找出重要系數(shù)，濾掉次要系數(shù)，以達(dá)到壓縮的效果，但該方法在處理過程中并不能提供時(shí)域的信息，在我們比較關(guān)心時(shí)域特性的時(shí)候顯得無能為力 [5]。 運(yùn)行結(jié)果如圖 所示。jpg39。 C=idct2(B)/255。原圖 39。 title(39。 imshow(C)。 圖 利用小波變換的局部壓縮圖像 小波域的系數(shù)表示的是原圖像各頻率段的細(xì)節(jié)信息，并且給我們提供了一種位移相關(guān)的信息表述方式，我們可以通過對(duì)局部細(xì)節(jié)系數(shù)處理來達(dá)到局部壓縮的效果。 小波包變換的圖像壓縮 小波分析之所以在信號(hào)處理中有著強(qiáng)大的功能，是基于其分離信息的思想，分離到各個(gè)小波域的信息除了與其他小波域的關(guān)聯(lián)，使得處理的時(shí)候更為靈活。 下面我通過一個(gè)例子來說明小波包分析在圖像壓縮中的應(yīng)用，并給出性能參數(shù)以便于同基于小波分析的壓縮進(jìn)行比較。,39。,crit,thr*2,keepapp)。title(39。image(wcodemat(xd,nbc))。 xlabel([39。,39。])。在將小波包用于信號(hào)壓縮的過程中，ddencmp 命令返回的最優(yōu)小波樹標(biāo)準(zhǔn)都是閾值化標(biāo)準(zhǔn)。 圖像壓縮是應(yīng)用非常廣泛的一類問題，所以其機(jī)器實(shí)現(xiàn)效率是至關(guān)重要的，在實(shí)際的應(yīng)用中，如 JPEG20xx，一般不采用通常的 mallat 算法做小波分解，而是應(yīng)用特定的雙正交小波，利用其濾波器分布規(guī)則的特性，用移位操作來實(shí)現(xiàn)濾波操作。另一方面圖像只是傳輸視覺信息的媒介，對(duì)圖像信息的認(rèn)識(shí)理解是由人的視覺系統(tǒng)所決定的。一般噪聲是不可預(yù)測(cè)的隨機(jī)信號(hào)，它只能用概率統(tǒng)計(jì)的方法去認(rèn)識(shí)。最后往往還要在組成多維圖像信號(hào)，而圖像噪聲也將同樣受到這樣的分解和合成。這類帶有噪聲的圖像 可看成是理想的沒有被噪聲“污染”的圖像 與噪聲 的和，即： （ ） （ 2）乘性噪聲：圖像的乘性噪聲和圖像的加性噪聲是不一樣的，加性噪聲和圖像信號(hào)強(qiáng)度是不相關(guān)的，而乘性噪聲和圖像信號(hào)是相關(guān)的，往往隨著圖像信號(hào)的變化而發(fā)生變化，如飛點(diǎn)掃描圖像中的噪聲、電視掃描光柵、膠片顆粒噪聲等，這類噪聲和圖像的關(guān)系是： （ ） （ 3）量化噪聲：量化噪聲是數(shù)字圖像的主要噪聲源，它的大小能夠表示出數(shù)字圖像和原始圖像的差異程度，有效減少這種噪聲的最好辦法就是采用按灰度級(jí)概率密度函數(shù)選擇量化級(jí)的最優(yōu)量化措施。這為實(shí)際的去噪工作提供了依據(jù)。目前由于對(duì)人的視覺系統(tǒng)性質(zhì)還沒有充分的理解，對(duì)人的心理因素還沒有找到定量分析方法。一種折衷的方法是在衡量圖像“去噪”算法的優(yōu)劣時(shí)，將主觀與客觀兩種標(biāo)準(zhǔn)結(jié)合起來考慮 [7]。 圖像噪聲處理 圖像的降噪是小波包分析的一個(gè)最基本的應(yīng)用，在小波包分析中， 小波包提供了一種更為復(fù)雜，也更為靈活的分析手段，具有更為精確的局部分析能力。 （ 3) 小波包分解系數(shù)的閾值量化 對(duì)于每一個(gè)小波包分解系數(shù)，選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)拈撝挡?duì)系數(shù)進(jìn)行閾值量化 。 在這四個(gè)步驟之中，最關(guān)鍵的就是如何選取閾值和如何進(jìn)行閾值的量化，從某種程度上說，它直接關(guān)系到信號(hào)消噪的質(zhì)量。e(i,j) i,j=0,1,… 。 對(duì)二維圖像信號(hào)的去噪方法同樣適用于一維信號(hào)，尤其是對(duì)于幾何圖像更適合。小波包圖形工具給出一個(gè)初值，然后用戶根據(jù)需要重新選擇閾值以滿足要求。 （ 2) 確定最優(yōu)小波包基 在對(duì)圖像進(jìn)行小波分解時(shí)，可以最優(yōu)基的選擇標(biāo)準(zhǔn)是熵標(biāo)準(zhǔn)。因此一個(gè)良好的圖像處理系統(tǒng)，不論是模擬處理小波分析在信號(hào)處理中的應(yīng)用 江 西理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) 19 還是計(jì)算機(jī)處理無不把減少最前一級(jí)的噪聲作為主攻目標(biāo)。另一類是圖像質(zhì)量的客觀評(píng)價(jià)。這是因?yàn)橐粋€(gè)圖像經(jīng)過去噪處理后所還原圖像的質(zhì)量好壞，對(duì)于人們判斷去噪方法的優(yōu)劣有很重要的意義。 實(shí)際生活中還有多種多樣的圖像噪聲，如皮革上的疤痕噪聲、氣象云圖上的條紋噪聲等。因此要有效降低圖像 中的噪聲，必須針對(duì)不同的具體情況采用不同方法，否則就很難獲得滿意的去噪效果。 二維信號(hào)在應(yīng)用中一般表現(xiàn)為圖像信號(hào)，二維信號(hào)在小波域中的降噪方法的基本思想與一維情況一樣，在閾值選擇上 ，可以使用統(tǒng)一的全局閾值，有可以分作三個(gè)方向，分別是水平方向、豎直方向和對(duì)角方向，這樣就可以把在所有方向的噪聲分離出來，通過作用閾值抑制其成分。 圖像噪聲在數(shù)字圖像處理技術(shù)中的重要性越來越明顯，如高放大倍數(shù)航片的判讀， X 射線圖像系統(tǒng)中的噪聲去除等已經(jīng)成為不可缺少的技術(shù)步驟 [6]。最后往往還要在組成多維圖像信號(hào)，而圖像噪聲也將同樣受到這樣的分解和合成。 最后需要說明的一點(diǎn)，對(duì)高頻成分很多的圖像，小波包的分解細(xì)節(jié)信息的特點(diǎn)尤其能發(fā)揮其優(yōu)勢(shì)。 得到的壓縮結(jié)果如圖 所示。,num2str(perf0),39。,num2str(perfl2),39。全局閾值化壓縮圖像 39。)。 subplot(121)。,X) thr = sorh = h keepapp = 1 crit = threshold ％通過以上得到的參數(shù)對(duì)信號(hào)進(jìn)行壓縮 [xd,treed,perf0,perfl2]=wpdencmp(X,sorh,4,39。 ％得到信號(hào)的閾值，保留層數(shù)，小波樹優(yōu)化標(biāo)準(zhǔn) [thr,sorh,keepapp,crit]=ddencmp(39。 但是小波分解仍然不夠靈活，分解出來的小波樹只有一種模式，不能完全地體現(xiàn)時(shí)頻局部化信息。 最后需要說明的是本例只是為了演示小波分析應(yīng)用在圖像局部壓縮的方法，在實(shí)際的應(yīng)用中，可能不會(huì) 只做一層變換，而且作用閾值的方式可能也不會(huì)是將局部細(xì)節(jié)系數(shù)全部清除，更一般的情況是在 N層變換中通過選擇零系數(shù)比例或能量保留成分作用不同的閾值，實(shí)現(xiàn)分片的局部壓縮。壓縮后圖像 39。)。 subplot(1,3,2)。 imshow(A)。 B=DCT2(A)。E:\MATLAB7\work\39。 在這個(gè)方面，小波分析的就優(yōu)越的多，由于小波分析固有的時(shí)頻特性，我們可以在時(shí)頻兩個(gè)方向?qū)ο禂?shù)進(jìn)行處理，這樣就可以對(duì)我們感興趣的部分提供不同的壓縮精度。在遙感技術(shù)中，各種航天探測(cè)器采用壓縮編碼技術(shù)，將獲取的巨大信息送回地面。圖像數(shù)據(jù)的冗余主要表現(xiàn)為：圖像中相鄰像素間的相關(guān)性引起的空間冗余；圖像序列中不同幀之間存在相關(guān)性引起的時(shí)間冗余；不同彩色平面或頻譜帶的相關(guān)性引起的頻譜冗余。 目前， MATLAB 已經(jīng)廣泛用于理工科大學(xué)從高等數(shù)學(xué)到幾乎各門專業(yè)課程之中，成為這些課程進(jìn)行虛擬試驗(yàn)的有效工具。但是，要用好 MATLAB 卻不是在短時(shí)間就可以達(dá)到的。 小波包算法 下面給出 小波包的分解算法和重構(gòu)算法。把這種等價(jià)表示推廣到 ??Zn （非負(fù)整數(shù)）的情況，即得到的等價(jià)表示為 121 ?? ?? njnjnj UUU Zj? ； ??Zn （ ） 定義（小波包） 由式（ ）構(gòu) 造的序列 ? ?)(tun （其中 ??Zn ）稱為由基函數(shù) )(0tu = )(t?確定的正交小波包。其中， jW 為小波函數(shù) )(t? 的閉包（小波子空間）。小波包分析能夠?yàn)樾盘?hào)提供一種更精細(xì)的分析方法，它將頻帶進(jìn)行多層次劃分，對(duì)多分辨率分析沒有細(xì)分的高頻部分進(jìn)一步分解，并能夠根據(jù)被分析信號(hào)的特征，自適應(yīng)地選擇相應(yīng)頻帶，使之與信號(hào)頻譜相匹配，從而提高了時(shí) 頻分辨率，因此小波包具有更廣泛的應(yīng)用價(jià)值。依次進(jìn)行到所需要的尺度。對(duì)任一信號(hào)，離散小波 變換第一步運(yùn)算是將信號(hào)分為低頻部分〔稱為近似部分 )和離散部分 (稱為細(xì)節(jié)部分 )。這一點(diǎn)與我們以前習(xí)慣的時(shí)間離散化不同。對(duì)圖像進(jìn)行小波變換就是用低通濾波器 h 和高通濾波器 g 對(duì)圖像的行列進(jìn)行濾波（卷積），然后進(jìn)行二取一的下抽樣。若尺度函數(shù)可分離，即： ? ? ? ? ? ?2121 , xxxx ??? ?? 。所以對(duì)應(yīng)的離散小波函數(shù) ??tkj,? 即可寫作： ? ? ? ?000000,11 kbtaaa bkatat jjojkj ?????????? ?? ???? （ ） 而離散化小波變換系數(shù)則可表示為： ? ? ? ? 0, ,. ??? ?????? kjkjkj fdtttfC ?? （ ） 其重構(gòu)公式為： ? ? ? ?tCCtf kjkj , ?? ???????? （ ） C 是一個(gè)與信號(hào)無關(guān)的常數(shù)。這一點(diǎn)與我們以前的習(xí)慣不同。 小波變換在不同的 （ a， b） 之間的相關(guān)性增加了分析和解釋小波變換結(jié)果的困難，因此，小波變換的冗余度應(yīng)盡可能減小，它是小波分析中的主要問題之一。 （ 5）冗余性：連續(xù)小波變換中存在信息表述的冗余度。在大尺度 a 上，膨脹的基函數(shù)搜索大的特征，而對(duì)于較小的 a 則搜索細(xì)節(jié)特征。,1, ???????? ?? aRbaa btatba 其中?? （ ） 稱其為一個(gè)小波序列。其中，當(dāng) 0?w 時(shí)，有 ??w? =0，即 ? ? 0????? dtt?同時(shí)有 ? ? 0??? 。而短時(shí)傅立葉變換不能兼顧兩者。這樣信號(hào)在窗函數(shù)上XX：小波分析在信號(hào)處理中的應(yīng)用 8 的展開就可以表示為在 ],[ ???? ?? 、 ],[ ???? ?? 這一區(qū)域內(nèi)的狀態(tài)，并把這一區(qū)域稱為窗口， ? 和 ? 分別稱為窗口的時(shí)寬和頻寬，表示了時(shí)頻分析中的分辨率，窗寬越小則分辨率就越高。其表達(dá)式為 dtegtfS tjR????? ??? ? )()(),( * （ ） 其中 *表示復(fù)共軛， g(t)是有緊支集的函數(shù)， f(t)是進(jìn)入分析的信號(hào)。這就促使去尋找一種新方法，能夠?qū)r(shí)域和頻域結(jié)合起來描述觀察信號(hào)的時(shí)頻聯(lián)合特征，構(gòu)成信號(hào)的時(shí)頻譜。而其傅立葉譜是信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性，從其表達(dá)式中也可以看出，它是整個(gè)時(shí)間域內(nèi)的積分，沒有局部化分析信號(hào)的功能，完全不具備時(shí)域信息，也就是說，對(duì)于傅立葉譜中的某一頻率，不知道這個(gè)頻率是在什么時(shí)候產(chǎn)生的。這些特性是信號(hào)的最重要部分。 對(duì)很多信號(hào)來說， 傅立葉 分析非常有用。 形象一點(diǎn)說，多分辨分析就是要構(gòu)造一組函數(shù)空間，每組空間的構(gòu)成都有一個(gè)統(tǒng)一的形式，而所有空間