【正文】 數(shù)字化和傳輸過程中常受到各種噪聲的干擾，從而使數(shù)字圖像中包含了大量的噪聲。而在于信號之中圖像是一種重要的信息源，通過圖像處理可以幫助人們了解信息的內 涵。 在傳統(tǒng)的傅立葉分析中，信號完全是在頻域展開的，不包含任何時頻的信息，這對于某些應用來說是很恰當?shù)?，因為信號的頻率的信息對其是非常重要的。Image sharpening。 根據(jù)有效信號的時域或頻域特性去除噪聲，而不能同時兼顧信號在時域和頻域的局部和全貌。閾值太小或太大，都會直接關系到信號去噪效果的優(yōu)劣。但其丟棄的時域信息可能對某些應用同樣 非常重要，所以人們對傅立葉分析進行了推廣，提出了很多能表征時域和頻域信息的信號分析方法，如短時傅立葉變換， Gabor 變換，時頻分析，小波變換等。 小波分析在圖像處理中有非常重要的應用，包括圖像壓縮，圖像去噪，圖像融合，圖像分解，圖像增強等。 顯然小波函數(shù)具有多樣性。但 ??kh 的傳遞函數(shù)的模的平方有顯式表達式。 （ 6） Morlet（ morl） 小波 Morlet 函數(shù)定義為 xCex x 5c o s)( 2/2??? ，它的尺度函數(shù)不存在，且不具有正交性。 （ 2）傅立葉變換用到基本函數(shù)只有 )e xp(),c os (),s in( titt ??? ，具有唯一性；小波分析用到的函數(shù)（即小波函數(shù) ）則具有不唯一性，同一個工程問題用不同的小波函數(shù)進行分析有時結果相差甚遠。 （ 6）若用信號通過濾波器來結實，小波變換與短時傅立葉變換不同之處在于：對短時傅立葉變換來說，帶通濾波器的帶寬 f? 與中心頻率 f 無關；相反，小波變換帶通濾波器的帶寬 f? 則正比于中心頻率 f ，即 CffQ ??? C為常數(shù) 亦即濾波器有一個恒定的相對帶寬，稱之為等 Q 結構（ Q 為濾波器的品質因數(shù)，且有帶寬中心頻率?Q ）。而且由于空間數(shù)目是無限可數(shù)的，可以很方便地分析我們所關心 的信號的某些特性[2]。 雖然傅立葉變換能夠將信號的時域特征和頻域特 征聯(lián)系起來，能分別從信號的時域和頻域觀察，但卻不能把二者有機地結合起來。 由于標準傅立葉變換只在頻域里有局部分析的能力，而在時域里不存在這種能力，Dennis Gabor 于 1946 年引入了短時傅立葉變換?？梢哉f短時傅立葉變換實質上是具有單一分辨率的分析，若要改變分辨率，則必須重新選擇窗函數(shù) g(t)。事實上，任何均值為零 (即?? 0????? dtt? )且在頻率增加時以足夠快的速度消減為零 (空間局域化特征 )的帶通濾波器的沖激響應 (傳遞函數(shù) )，都可以作為一個基本小波。為了使信號重構的實現(xiàn)上是穩(wěn)定的，除了 滿足 重構條件外，還要求 ??t? 的傅立葉變換滿足如下穩(wěn)定性條件： ? ? BwAj ?? ?????? 2^2? （ ） 式中， ???? BA0 。因此有必要討論連續(xù)小波 ??tba,? 和連續(xù)小波變換 ? ?baWf , 的離散化。由于圖像是二維信號，因此首先需要把小波變換由一維推廣到二維。因此，有必要討論連續(xù)小波 )(, tba? 和連續(xù)小波變換 ),( baWf 的離散化。第二步對低頻部分再進行相似運算。小波包分析不但對低頻部分進行分解，而且對高頻部分作更加細致的刻畫，對信號的分析能力更強。 小波分析在信號處理中的應用 江 西理工大學畢業(yè)設計 13 由于 )(t? 由 kh 唯一確定，所以又稱 ? ? Znn tu ?)( 為關于序列 ??kh 的正交小波包 [4]。 MATLAB 使得人們擺脫了常規(guī)計算機編程的繁瑣，讓人們能夠將大部分精力投入到研究問題的數(shù)學建模上。 由于圖像數(shù)據(jù)量的龐大 ,在存儲、傳輸、處理時非常困難 ,因此圖像數(shù)據(jù)的壓縮就顯得非常重要。 運行結果如圖 所示。 C=idct2(B)/255。 title(39。 圖 利用小波變換的局部壓縮圖像 小波域的系數(shù)表示的是原圖像各頻率段的細節(jié)信息，并且給我們提供了一種位移相關的信息表述方式，我們可以通過對局部細節(jié)系數(shù)處理來達到局部壓縮的效果。 下面我通過一個例子來說明小波包分析在圖像壓縮中的應用，并給出性能參數(shù)以便于同基于小波分析的壓縮進行比較。,crit,thr*2,keepapp)。image(wcodemat(xd,nbc))。,39。在將小波包用于信號壓縮的過程中，ddencmp 命令返回的最優(yōu)小波樹標準都是閾值化標準。另一方面圖像只是傳輸視覺信息的媒介，對圖像信息的認識理解是由人的視覺系統(tǒng)所決定的。最后往往還要在組成多維圖像信號，而圖像噪聲也將同樣受到這樣的分解和合成。這為實際的去噪工作提供了依據(jù)。一種折衷的方法是在衡量圖像“去噪”算法的優(yōu)劣時，將主觀與客觀兩種標準結合起來考慮 [7]。 （ 3) 小波包分解系數(shù)的閾值量化 對于每一個小波包分解系數(shù)，選擇一個適當?shù)拈撝挡ο禂?shù)進行閾值量化 。e(i,j) i,j=0,1,… 。小波包圖形工具給出一個初值，然后用戶根據(jù)需要重新選擇閾值以滿足要求。因此一個良好的圖像處理系統(tǒng)，不論是模擬處理小波分析在信號處理中的應用 江 西理工大學畢業(yè)設計 19 還是計算機處理無不把減少最前一級的噪聲作為主攻目標。這是因為一個圖像經過去噪處理后所還原圖像的質量好壞，對于人們判斷去噪方法的優(yōu)劣有很重要的意義。因此要有效降低圖像 中的噪聲，必須針對不同的具體情況采用不同方法，否則就很難獲得滿意的去噪效果。 圖像噪聲在數(shù)字圖像處理技術中的重要性越來越明顯，如高放大倍數(shù)航片的判讀， X 射線圖像系統(tǒng)中的噪聲去除等已經成為不可缺少的技術步驟 [6]。 最后需要說明的一點，對高頻成分很多的圖像，小波包的分解細節(jié)信息的特點尤其能發(fā)揮其優(yōu)勢。,num2str(perf0),39。全局閾值化壓縮圖像 39。 subplot(121)。 ％得到信號的閾值，保留層數(shù)，小波樹優(yōu)化標準 [thr,sorh,keepapp,crit]=ddencmp(39。 最后需要說明的是本例只是為了演示小波分析應用在圖像局部壓縮的方法，在實際的應用中，可能不會 只做一層變換，而且作用閾值的方式可能也不會是將局部細節(jié)系數(shù)全部清除，更一般的情況是在 N層變換中通過選擇零系數(shù)比例或能量保留成分作用不同的閾值，實現(xiàn)分片的局部壓縮。)。 imshow(A)。E:\MATLAB7\work\39。在遙感技術中，各種航天探測器采用壓縮編碼技術，將獲取的巨大信息送回地面。 目前， MATLAB 已經廣泛用于理工科大學從高等數(shù)學到幾乎各門專業(yè)課程之中，成為這些課程進行虛擬試驗的有效工具。 小波包算法 下面給出 小波包的分解算法和重構算法。其中， jW 為小波函數(shù) )(t? 的閉包（小波子空間）。依次進行到所需要的尺度。這一點與我們以前習慣的時間離散化不同。若尺度函數(shù)可分離，即： ? ? ? ? ? ?2121 , xxxx ??? ?? 。這一點與我們以前的習慣不同。 （ 5）冗余性：連續(xù)小波變換中存在信息表述的冗余度。,1, ???????? ?? aRbaa btatba 其中?? （ ） 稱其為一個小波序列。而短時傅立葉變換不能兼顧兩者。其表達式為 dtegtfS tjR????? ??? ? )()(),( * （ ） 其中 *表示復共軛， g(t)是有緊支集的函數(shù)， f(t)是進入分析的信號。而其傅立葉譜是信號的統(tǒng)計特性，從其表達式中也可以看出，它是整個時間域內的積分，沒有局部化分析信號的功能，完全不具備時域信息，也就是說，對于傅立葉譜中的某一頻率，不知道這個頻率是在什么時候產生的。 對很多信號來說， 傅立葉 分析非常有用。而二進小波變換雖然在離散的尺度上進行伸縮和平移，但是小波之間沒有正交性，各個分量的信息攙雜在一起，為我們的分析帶來了不便。 （ 3）在頻域中，傅立葉變換具有較好的局部化能力，特別是對于那些頻率成分比較簡單的確定性信號，傅立葉變換很容易把信號表示成各頻率成分的疊加和的形式。墨西哥帽函數(shù)在時間域與頻率域都有很好的局部化，并且滿足 0)( ????? dxx? 由于它的尺度函數(shù)不存在，所以不具有正交性。通常的用法是 采用一個函數(shù)進行分解，用另外一個小波函數(shù)進行重構。實際應用中應根據(jù)支撐長度、對稱性、正則性等標準選擇合適的小波函數(shù)。由于文本性質決定故決定此次小波分析與信號處理將以圖片分析與處理作為示例。換言之，短時傅立葉分析只能在一個分辨率上進行。實際上，比較有效的閾值去噪方法往往根據(jù)小波分解的不同層次確定不同的閾值參數(shù)，進而確定相應的閾值法則。近幾年來，許多文獻介紹了非平穩(wěn)信號去噪的小波閾值方法。 wavelet analysis 小波分析在信號處理中的應用 江 西理工大學畢業(yè)設計 III 目錄 第一章 概述 .......................................................................................................................................................................... 1 小波分析的發(fā)展與應用 ............................................................................................................................... 1 本文主要意義內容 ............................................................................................................................................ 2 第二章 相關技術原理 ................................................................................................................................................. 3 小波分析的基本原理 ...................................................................................................................................... 3 幾種常用小波 ......................................................................................................................................................... 4 傅立葉變換與小波變換 ................................................................................................................................ 6 傅立葉變換與小波變換歷史 .......................................................................................................... 6 傅里葉變換 ..................................................................................................................................................... 7 小波變換 ............................................................................................................................................................ 8 小波包定義性質 ............................................................................................................................................... 11 小波包定義 ................................................................................................................................................ 11 小波包的性質 ..................................................