【正文】 .......................................................... 23 圖像的小波包重構(gòu)函數(shù) .......................................................................................................................... 23 閾值選取 ............................................................................................................................................................... 24 小波基對(duì)系統(tǒng)的影響分析 ................................................................................................................... 24 第五章 結(jié)論 ....................................................................................................................................................................... 25 總結(jié) ............................................................................................................................... 錯(cuò)誤 !未定義書(shū)簽。實(shí)際上，比較有效的閾值去噪方法往往根據(jù)小波分解的不同層次確定不同的閾值參數(shù)，進(jìn)而確定相應(yīng)的閾值法則。由于文本性質(zhì)決定故決定此次小波分析與信號(hào)處理將以圖片分析與處理作為示例。通常的用法是 采用一個(gè)函數(shù)進(jìn)行分解，用另外一個(gè)小波函數(shù)進(jìn)行重構(gòu)。 （ 3）在頻域中，傅立葉變換具有較好的局部化能力，特別是對(duì)于那些頻率成分比較簡(jiǎn)單的確定性信號(hào)，傅立葉變換很容易把信號(hào)表示成各頻率成分的疊加和的形式。 對(duì)很多信號(hào)來(lái)說(shuō)， 傅立葉 分析非常有用。其表達(dá)式為 dtegtfS tjR????? ??? ? )()(),( * （ ） 其中 *表示復(fù)共軛， g(t)是有緊支集的函數(shù)， f(t)是進(jìn)入分析的信號(hào)。,1, ???????? ?? aRbaa btatba 其中?? （ ） 稱(chēng)其為一個(gè)小波序列。這一點(diǎn)與我們以前的習(xí)慣不同。這一點(diǎn)與我們以前習(xí)慣的時(shí)間離散化不同。其中， jW 為小波函數(shù) )(t? 的閉包（小波子空間）。 目前， MATLAB 已經(jīng)廣泛用于理工科大學(xué)從高等數(shù)學(xué)到幾乎各門(mén)專(zhuān)業(yè)課程之中，成為這些課程進(jìn)行虛擬試驗(yàn)的有效工具。E:\MATLAB7\work\39。)。 ％得到信號(hào)的閾值，保留層數(shù)，小波樹(shù)優(yōu)化標(biāo)準(zhǔn) [thr,sorh,keepapp,crit]=ddencmp(39。全局閾值化壓縮圖像 39。 最后需要說(shuō)明的一點(diǎn)，對(duì)高頻成分很多的圖像，小波包的分解細(xì)節(jié)信息的特點(diǎn)尤其能發(fā)揮其優(yōu)勢(shì)。因此要有效降低圖像 中的噪聲，必須針對(duì)不同的具體情況采用不同方法，否則就很難獲得滿(mǎn)意的去噪效果。因此一個(gè)良好的圖像處理系統(tǒng)，不論是模擬處理小波分析在信號(hào)處理中的應(yīng)用 江 西理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) 19 還是計(jì)算機(jī)處理無(wú)不把減少最前一級(jí)的噪聲作為主攻目標(biāo)。e(i,j) i,j=0,1,… 。一種折衷的方法是在衡量圖像“去噪”算法的優(yōu)劣時(shí)，將主觀(guān)與客觀(guān)兩種標(biāo)準(zhǔn)結(jié)合起來(lái)考慮 [7]。最后往往還要在組成多維圖像信號(hào)，而圖像噪聲也將同樣受到這樣的分解和合成。在將小波包用于信號(hào)壓縮的過(guò)程中，ddencmp 命令返回的最優(yōu)小波樹(shù)標(biāo)準(zhǔn)都是閾值化標(biāo)準(zhǔn)。image(wcodemat(xd,nbc))。 下面我通過(guò)一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明小波包分析在圖像壓縮中的應(yīng)用，并給出性能參數(shù)以便于同基于小波分析的壓縮進(jìn)行比較。 title(39。 運(yùn)行結(jié)果如圖 所示。 MATLAB 使得人們擺脫了常規(guī)計(jì)算機(jī)編程的繁瑣，讓人們能夠?qū)⒋蟛糠志ν度氲窖芯繂?wèn)題的數(shù)學(xué)建模上。小波包分析不但對(duì)低頻部分進(jìn)行分解，而且對(duì)高頻部分作更加細(xì)致的刻畫(huà)，對(duì)信號(hào)的分析能力更強(qiáng)。因此，有必要討論連續(xù)小波 )(, tba? 和連續(xù)小波變換 ),( baWf 的離散化。因此有必要討論連續(xù)小波 ??tba,? 和連續(xù)小波變換 ? ?baWf , 的離散化。事實(shí)上，任何均值為零 (即?? 0????? dtt? )且在頻率增加時(shí)以足夠快的速度消減為零 (空間局域化特征 )的帶通濾波器的沖激響應(yīng) (傳遞函數(shù) )，都可以作為一個(gè)基本小波。 由于標(biāo)準(zhǔn)傅立葉變換只在頻域里有局部分析的能力，而在時(shí)域里不存在這種能力，Dennis Gabor 于 1946 年引入了短時(shí)傅立葉變換。而且由于空間數(shù)目是無(wú)限可數(shù)的，可以很方便地分析我們所關(guān)心 的信號(hào)的某些特性[2]。 （ 2）傅立葉變換用到基本函數(shù)只有 )e xp(),c os (),s in( titt ??? ，具有唯一性；小波分析用到的函數(shù)（即小波函數(shù) ）則具有不唯一性，同一個(gè)工程問(wèn)題用不同的小波函數(shù)進(jìn)行分析有時(shí)結(jié)果相差甚遠(yuǎn)。但 ??kh 的傳遞函數(shù)的模的平方有顯式表達(dá)式。 小波分析在圖像處理中有非常重要的應(yīng)用，包括圖像壓縮，圖像去噪，圖像融合，圖像分解，圖像增強(qiáng)等。閾值太小或太大，都會(huì)直接關(guān)系到信號(hào)去噪效果的優(yōu)劣。Image sharpening。而在于信號(hào)之中圖像是一種重要的信息源，通過(guò)圖像處理可以幫助人們了解信息的內(nèi) 涵。 Donoho 和 Johnstone 提出了通過(guò)閾值化小波系數(shù)對(duì)染有高斯噪聲的信號(hào)進(jìn)行去噪的方法。所以對(duì)很多應(yīng)用來(lái)說(shuō)不夠精確，存在很大的缺陷。 幾種常用小波 （ 1） Haar 小波 于 1990 年提出一種正交函 數(shù)系 ,定義如下： ??????011H? 其它12/12/10????xx （ ） 這是一種最簡(jiǎn)單的正交小波，即 0)()( ?????? dxnxt ?? ,2,1???n ? （ ） （ 2） Daubechies（ dbN） 小波系 該小波是 Daubechies 從兩尺度方程系 數(shù) ??kh 出發(fā)設(shè)計(jì)出來(lái)的離散正交小波。 （ 8） Meyer 函數(shù) Meyer 小波函數(shù) ? 和尺度函數(shù) ? 都是在頻率域中進(jìn)行定義的，是具有緊支撐的正交小波。 小波分析在信號(hào)處理中的應(yīng)用 江 西理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) 7 真正 使小波在應(yīng)用領(lǐng)域得到比較大發(fā)展的是 Meyer 在 1986 年提出的一組小波，其二進(jìn)制伸縮和平移構(gòu)成 )(2 RL 的標(biāo)準(zhǔn)化正交基。這樣在信號(hào)分析中就面臨一對(duì)最基本的矛盾：時(shí)域和頻域的局部化矛盾。 小波變換 連續(xù)小波變換 設(shè) ?? ? ?RLt 2?? ，其傅里葉變換為 ??w? ，當(dāng) ??w? 滿(mǎn)足允許條件（完全重構(gòu)條件）。 小波變換的冗余性事實(shí)上也是自相似性的直接反映，它主要表現(xiàn)在以下兩個(gè)方面： （ 1）由連續(xù)小波變換恢復(fù)原信號(hào)的重構(gòu)分式不是唯一的。令 ? ?1x? 是與 ? ?1x? 對(duì)應(yīng)的一維小波函數(shù)，則二維 小 波可表示為以下三個(gè)可分離的正交小波基 函數(shù)： ? ? ? ? ? ?21211 , xxxx ??? ? （ ） ? ? ? ? ? ?21212 , xxxx ??? ? （ ） ? ? ? ? ? ?21213 , xxxx ??? ? （ ） 這說(shuō)明在可分離的情況下，二維多分辨率可分兩步進(jìn)行。除了連續(xù)小波 (CWT)、離散小波 (DWT)，還有小波包（ Wavelet Packet）和多維小波 [3]。設(shè) njnj Utg ?)( ，則 njg 可表示為 ? ??l jnnjlnj ltudtg )2()( , （ ） 小波包分解算法：由 ? ?njld ,1? 求 ? ?njld2, 與 ? ?12, ?njld ?????????k klklk klknjlnjnjnjdbddad,112,1222, （ ） 小波包重構(gòu)算法：由 { njld2, }與 ? ?12, ?njld 求 ? ?njld ,1? 錯(cuò)誤 !未指定書(shū)簽。圖像壓縮是數(shù)據(jù)壓縮技術(shù)在數(shù)字圖像上的應(yīng)用，它的目的是減少圖像數(shù)據(jù)中的冗余信息從而用更加高效的格式存儲(chǔ)和傳輸數(shù)據(jù)。 title(39。而且，作用的閾值可以是方向相關(guān)的，即在三個(gè)不同方向的細(xì)節(jié)系數(shù)上作用不同的閾值。image(wcodemat(X,nbc))。%39。 噪聲可以理解為妨礙人的視覺(jué)器官或系統(tǒng)傳感器對(duì)所接收?qǐng)D像源進(jìn)行理解或分析的各種因素。目前對(duì)圖像的去噪質(zhì)量評(píng)價(jià)主要有兩類(lèi)常用的方法：一類(lèi)是人的主觀(guān)評(píng)價(jià)，它由人眼直接觀(guān)察圖像效果，這種方法受人為主觀(guān)因素的影響比較大。 （ 4) 圖像的小波包重構(gòu) 根據(jù)最低層的小波包分解系數(shù)和經(jīng)過(guò)量化處理的系數(shù)，進(jìn)行圖像的小波包重構(gòu)。在 MATLAB 的小波工具箱中，可通過(guò) besttree 函數(shù)進(jìn)行最優(yōu)基的選擇 ,也就是計(jì)算最佳樹(shù)。這些噪聲一般都是簡(jiǎn)單的加性噪聲，不 會(huì)隨著圖像信號(hào)的改變而改變。在這些過(guò)程中電氣系統(tǒng)和外界影響將使得圖像噪聲的精確分析變得十分復(fù)雜。%39。sym439。)。 B(abs(B))=0。數(shù)據(jù)壓縮的目的就是通過(guò)去除這些數(shù)據(jù)冗余來(lái)減少表示數(shù)據(jù)所需的比特?cái)?shù)。當(dāng) n=0 時(shí)，即為（ ）式的情況。近似部分代表了信號(hào)的主要特征。如何選擇 0a 和 0b ，才能保證重構(gòu)信號(hào)的精度呢 ？ 顯然，網(wǎng)絡(luò)點(diǎn)應(yīng)盡可能密 (即 0a 和 0b 盡可能的小 )，因?yàn)槿绻W(wǎng)絡(luò)點(diǎn)越稀疏，使用的小波函數(shù) ??tkj,?和離散小波系數(shù) kjC, 就越少，信號(hào)重構(gòu)的精確度也就會(huì)越低。 對(duì)于任意的函數(shù) ?? ? ?RLtf 2? 的連續(xù)小波變換為： ? ? ? ? dtabttfafbaWRbaf ????????? ? ?? 2, （ ） 小波分析在信號(hào)處理中的應(yīng)用 江 西理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) 9 當(dāng)此小波為正交小波時(shí)，其重構(gòu)公式為： ? ? ? ? dadbabtbaWaCtf f ?????? ?? ? ????????? ?? ,11 2 （ ） 在小波變換過(guò)程中必須保持能量成比例，即 ： ? ? ? ? dxxfCdbbaWadaRR fR222 , ??? ? ? （ ） 由于基小波 ??t? 生成的小波 ??tba,? 在小波變換中對(duì)被分析的信號(hào)起著觀(guān)測(cè)窗的作用，所以 ??t? 還應(yīng)該滿(mǎn)足一般函數(shù)的約束條件： ? ? ??????? dtt? （ ） 故 ??w^? 是一個(gè)連續(xù)函數(shù)，這意味著為了滿(mǎn)足重構(gòu)條件式 ()， ??w^? 在原點(diǎn)必須等于零，即 ： ? ? ? ? 00^ ?? ????? dtt?? （ ） 此即說(shuō)明 ??t? 具有波動(dòng)性。很顯然，希望 ? 和 ? 都非常小，以便有更好的時(shí)頻分析效果，但還森堡測(cè)不準(zhǔn)原理指出 ? 和 ? 是互相制約的，兩者不可能同時(shí)都任意?。ㄊ聦?shí)上， ?? ? 21 ，且僅當(dāng)22 24/11)( ??? tetg ? 為高斯函數(shù)時(shí)，等號(hào)成立） 由此可見(jiàn)，短時(shí)傅立葉變換雖然在一定程度上克服了標(biāo)準(zhǔn) 傅立葉不具有局部分析能力的缺陷，但它也存在著自身不可克服的缺陷，即當(dāng)窗函數(shù) g(t)確定后，矩形窗口的形狀就確定了， ? ， ? 只能改變窗口在相平面上的位置，而不能改變窗口的形狀。因此傅里葉變換不適于分析處理這類(lèi)信號(hào)。在小波變換中，變換系數(shù) ),( baWf 主要依賴(lài)于信號(hào)在 ],[ ?? ???? abab 片段中的情況，時(shí)間寬 度是??a2 ，該時(shí)間寬度是隨著尺度 a變化而變化的，所以小波變換具有時(shí)間局部分析能力。 Symlets 函數(shù)系通常表示為 symN（ N=2， 3， … ， 8） 的形式。 對(duì)信號(hào) ()fx的連續(xù)小波變換則定義為 ,1( , ) ( ) ( ) , ( )f a bR xbW a b f x d x f x xaa ?????? 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