【正文】 )()()()(1),(????? (41) 其中， )(1)(axgaxg a ?? ??仍為高斯函數(shù)，不妨設(shè) 0?a ,則： ?????? dxxgxfddaaW af )()(),( ??? (42) 其中，積分 ????? dxxgxf a )()( ?可看作是函數(shù) )(xf 用高斯函數(shù) )(xga? 按 尺度 a 進行光滑 處理 后的結(jié)果，當 a 很小時，用 )(xga? 對 )(xf 光滑 處理 的結(jié)果對 )(xf 的突變部分的形狀及位置影響不大，由式 (41)可知，小波變換模 ),( ?aWf 與尺度 a 下光滑后函數(shù) ????? dxxgxf a )()( ?的一階導數(shù)成正比。另外還有根據(jù)小波函數(shù)的消失矩來選擇小波基波。 不同小波基對緩變信號的檢測 在實際的機械故障中也存在著大量的緩變信號，如果僅僅是檢測出信號奇變的突變點，可按照規(guī)則性系數(shù)相似方法，選擇規(guī)則性系數(shù)較小的小波基，對其檢測的小波基的選擇仍可根據(jù)小波基規(guī)則性系數(shù)來確定 [14]。然后用一個小波在機器故障檢測的實例，來說明小波變換在信號處理中的具體應(yīng)用。 DWT。通過對小波理論的闡述和在圖像增強及信號處理中的實驗仿真，本文做了以下工作： 對本文的課題背景及研究意義進行了簡單描述，同時對國內(nèi)的研究現(xiàn)狀進行了詳細的敘述，并且對全文的結(jié)構(gòu)進行了一個簡略的規(guī)劃。 這可從多貝西小波的消失矩和其小波規(guī)則性系數(shù)的關(guān)系看出 ,見表 1。 應(yīng) 用該理論來實現(xiàn)信號的奇異性檢測，比 其他方法 更優(yōu)越。例如它可以用于機械旋轉(zhuǎn)信號的分析與處理，小波變換能夠用于語音信號的變換、分析和綜合，還可以檢測噪聲中未知瞬態(tài)信號等 [8]。而且在做系數(shù)抑制或放大的時候，采用的標準是根據(jù)系數(shù)絕對值的大小，并沒有完全體現(xiàn)出其位置信息 ，但是在小波系數(shù)中，就很容易在處理系數(shù)的過程中加入位置信息。 小波變換圖像增強原理 小波變換的多分辨率分析能夠有效地抑制噪聲，增強圖像中感興趣 的 部分， 使得 小波變換圖像增強得到了 很 廣泛的應(yīng)用。所以，尺度越小，尺度空間 就 越大，對應(yīng)頻率就 越高 ；反之， 尺度越大，對應(yīng)尺度空間 就 越小，頻率越低。 多分辨率分析 (Multiresolution Analysis MRA)，也稱為多尺度分析，它是建立在函數(shù)空間概念上 的理論，多分辨率分析在小波變換理論中具有非常重要的地位。尺度越大，采用越大的時間窗，尺度越小，采用越短的時間窗，即尺度與頻率成反 比 [1]。在圖像處理中 ，小波分析被應(yīng)用在多個方面，如圖像去噪、圖像增強、圖像分割、圖像重建、圖像壓縮、圖像編碼、圖像檢索、生物特征識別、數(shù)字水印等。 The signal processing。小波變換與 Fourier 變換相比，是一個時間和頻域的局域變換因而能 有效地從信號中提取信息，通過伸縮和平移等運算功能對函數(shù)或信號進行多尺度細化分析（ Multiscale Analysis），解決了 Fourier 變換不能解決的許多困難問題。小波分析對圖像的處理包括： 圖像壓縮、圖像增強及圖像分割等 。 在 20 世紀 60 年代 是 初創(chuàng)期，當時的圖像采用像素型光柵進行掃描并顯示，大多 數(shù)圖像 處理都采用中、大型機 實現(xiàn) 。主要介紹了小波變換圖像增強中的非線性增強、圖像鈍化、圖像銳化和圖像去噪，并詳細對比分析了小波變換對圖像鈍化和銳化與 DCT 對圖像鈍化和銳化的優(yōu)缺點。小波的尺度當0?j 時，取 ba 0j0?b ,下面小波函數(shù)可以實現(xiàn)離散化且不丟失信息： ? ?0020, )( kbtaat jjkj ?? ?? ?? Zkj ?, (26) 根據(jù)以上的討論，離散小波變換的定義如下： 設(shè) ? ? ? ? 0, 02, ?? aRLtba? ，是常數(shù)， ? ? ? ?ktaat jjkj ?? ?? 020, ?? ? ?Zkj ?, .則稱 dtttfkjfWkjRa)()(),)((,??? ? (27) 為 ??tf 的離散小波變換。 從多分辨率分析可以看出，空間的每次分 解 包含兩 個 部分：一部分是圖像信號 經(jīng) 過低通濾波后得到的低頻概貌；另一部分是 經(jīng) 過高通濾波（小波變換）得到的圖 像高頻細節(jié)。低頻分量上的能量集中 ， 信息豐富；高頻 分量上的細節(jié)信息豐富，信息分量多為零，能量較少 [3]。 用 MATLAB 程序【 1】實現(xiàn) 圖像的二維小波三級分解及重構(gòu)如圖 所示： 圖 圖像的二維小波三級分解及重構(gòu) 小波變換的圖像增強的具體實現(xiàn) 非線性增強 圖像經(jīng)過小波變換后，可以分解為大小、位置和方向均不相同的分量，可以根據(jù)需要對某些部分的小波系數(shù)進行處理， 從而增強感興趣的分量，然后進行小波逆變換，得到增強后的圖像。從去噪的結(jié)果可以看出，它具有較好的去噪效果。 一般說來，在機械設(shè)備正常工作時，系統(tǒng)輸出的信號是由平穩(wěn)隨機噪聲和確定性信號 兩部分 疊加而成，而小波變換是這兩部分小波變換 的 和。同時函數(shù)與小波的規(guī)則性系數(shù)都反映各自的平滑程度和可微性 ,這樣根據(jù)相似性 ,能夠用平滑的小波 ,即用規(guī)則性系數(shù)大的小波 ,來表示平滑的函數(shù) 。同時，這也說明了對緩變信號檢測的小波基選擇要比突變信號困難得多，并且在實際中也不可能準確算出系統(tǒng)輸出信號的規(guī)則性系數(shù)。 其次我要感謝大學四年給我授課的所有老師，是你們認真負責的教學態(tài)度，奠定了我順利完成畢業(yè)設(shè)計的理論基礎(chǔ)。謝謝他們在平時對我的幫助和關(guān)心。 小波在機械故障診斷中的具體實現(xiàn) 在機械故障檢測中，故障通常表現(xiàn)為輸出信號發(fā)生突變這一特點，而傳統(tǒng)的傅里葉變換在處理時域上有變化的信號存在不足之處，因此，利用小波分析對故障檢測具有一定優(yōu)勢，小波檢測信號的突變點的一般方法是：對信號進行多尺度分析，在信號出現(xiàn)突變時，其小波變換后的系數(shù)具有模極大值，因而可以通過對模極大值點的檢測來確定故障發(fā)生的時間點 [15]。當 0?σ 時 ,則隨尺度的增大而減小。然而，平穩(wěn)隨機噪聲也屬于平穩(wěn)隨機信號的一種，因此其小波變換的模極大值也將隨著尺度因子的增大而迅速衰減。這是由于軟閾值的收縮性 和硬閾值的粗略性所造成的。 具體實現(xiàn)步驟如下 [2]： (1) 讀入原始圖像； (2) 對原始圖像進行小波分解，得到四個字帶分別是：低頻子帶 LL 和三個高頻子帶 LH、 HL、 HH(細節(jié)部分 )； (3) 對高頻系數(shù)進行非線性增強，達到去噪并增強的目的； 陜西理工學院畢業(yè)設(shè)計 第 11 頁 共 42 頁 (4) 將處理后的兩種小波系數(shù)進行小波逆變換，從而得出增強后的圖像 (輸出圖像 )。 圖 圖像小波分解算法 陜西理工學院畢業(yè)設(shè)計 第 9 頁 共 42 頁 圖 圖像小波分解的重構(gòu)算法 圖像經(jīng)過小波變換后，能夠得到良好的空間 頻率多分辨率表示，小波變換具有以下 4 個 主要特征： （ 1）原始圖像的能量主要集中在低頻子帶圖像。 下面簡要介紹一下多分辨分析的數(shù)學理論。 二維小波變換 二維連續(xù)小波變換 若信號函數(shù) ? ? ? ? ? ?yxRLyxf , 2 ?? 為二維小波母函數(shù)，則其構(gòu)造可由一維母小 波的張量積形成。主要介紹了小波奇異性理論和選擇不同小波基的標準，同時利用小波的奇異性理論實 現(xiàn)了在機械故障中的檢測。 在 20 世紀 70 年代進入了發(fā)展期， 對 圖像開始大量 采用中、大型機進行處理，同時圖像處理也逐漸改用光柵掃描顯示方式。首先介紹了小波理論及小波變換的多分辨率分析，然后介紹了小波變換在 圖像增強中的應(yīng)用，先將圖像進行小波分解，再對小波分解后的低頻或高頻部分按照需要進行增強或抑制處理，從而實現(xiàn)對圖像增強的目的。在實際應(yīng)用中人們開始對 Fourier 變換進行各種改進，小波分析由此產(chǎn)生了。 Fourier analysis。 近十幾年來，小波分析在理論上和方法上都有飛速的進展，人們從多分辨率分析、框架和濾波器組三個不同的出發(fā)點進行研究。小波變換提出了變化的時間窗，當需要精確的低頻信息時，可以采用長的時間窗，相反，當需要精確的高頻信息時，可以采用短的時間窗。 d x d ya cya bxyxfacbafW ?? ??? ),(),(|| 1),)(( ?? (29) 二維離散小波變換 只要把參數(shù) a,b,c 離散化 0000020xx0 , cbaackcabkbaa jjj ??? ??? 為常數(shù)， Zkkj ?21, ,則有離散參數(shù)變換： ? ? ? ? ? ?d x d yckyabkxayxfakkjD P W T jjj 020xx0021 , ??? ?? ? (210) 將 x,y 離散化，即得到離散空間小波變換： ),(),(),( 0220xx1021021 1 2 cklabklallfakkjD S W Tjjl lj ??? ? ? ? Zll ?21, (211) 令 1,2 000 ??? cba ,即得到離散小波變換，表示為 : )2,2(),(2),( 22112121 1 2 klklllfkkjDWT jji ij ??? ? ? ? Zll ?21, (212) 小波變換的多分辨率分析 小波理論包括連續(xù)小波和二進制小波變換，在映射到計算域的時候會出現(xiàn)很多問題 ，因為兩者都存在信息的冗余，在對信號進行采樣以后，需要計算的信息量還是相當大的，特別是連續(xù)的小波變換，因為要對精度內(nèi)所有的位移和尺度都要做計算，所以計算量非常的大。 隨著尺度的減小，其張成的尺度空間所包含的函數(shù)增多，尺度空間變大。在低頻處具有很好的頻率特性，在高頻處具有很好的空間選擇性。在時域中的處理相對簡單，只需要對圖像進行一個 平滑濾波（低通濾波），使圖像中的每個點與其相鄰點做平滑即可[5]。同傳統(tǒng)的處理方法相比，小波變換在信號處理方面具有更大的優(yōu)勢。根據(jù)這一原理，結(jié)合 小波變換模極大值的位置與信號突變點之間存在的一一對應(yīng)關(guān)系 ，從而能夠?qū)⑿盘柕墓收宵c與平穩(wěn)噪聲區(qū)別開來，實現(xiàn)對機械故障的檢測。需要說明的是這里的相似不是絕對的相等或非常接近 ,僅僅表示一種趨勢。 小結(jié) 本章主要介紹小波變換在機械故障中的檢測，首先介紹了小波奇異性的基本理論，然后 小波函陜西理工學院畢業(yè)設(shè)計 第 19 頁 共 42 頁 數(shù)的選取及小波基波選擇的標準和 不同小波基對信號奇變檢測仿真 對比，包括不同小波基對突變信號的檢測和對緩變信號的檢測，最后是小波變換在機器故障中的具體實現(xiàn)。他們所做的一切是我這一生都無法回報的。但是可以肯定的是，小波變換自身的優(yōu)良特性是得天獨厚的，隨著小波理論的日益發(fā)展，必將在圖像增強去噪領(lǐng)域得到越來越多的應(yīng)用。 圖 Daubechies 小波族部分小波基對緩變點的檢測 陜西理工學院畢業(yè)設(shè)計 第 18 頁 共 42 頁 由圖 可以看出， db5 和 db7 檢測所得的結(jié)果和緩變信號比較接近，即就是說用 db5 和 db7能準確的刻畫這一緩變信號的特征。 在故障的奇異性檢測中 ,信號的奇異點（突變點）可以從其小波變換的小波系數(shù)模極大值中檢測出來。這 表 明小波變換模極大值的位置與信號突變 點出 存在一一對應(yīng)關(guān)系 [10]。 而如何選取閾值并進行閾值的量化是重點。 由圖 可知，數(shù)字圖像的小波分解實質(zhì)上就是 將 圖像信號分解成不同頻帶范圍內(nèi)的圖像分量。 Mallat 算法 經(jīng) 過一組分解濾波器 H(低通濾波器 LPF)與 G(高通濾波器 HPF)對信號進行濾波，然后對輸出結(jié)果進行下二采樣 (即 隔一取一 )來實現(xiàn)小波分解，分解的結(jié)果是產(chǎn)生長度減半的兩個部分，一個是經(jīng)過高通濾波器產(chǎn)生原始信號的細節(jié)部分，另一個則是經(jīng)過低通濾波器產(chǎn)生原始信號的平滑部分。這樣重復就能夠得到任意尺度上的逼近部分 與 細陜西理工學院畢業(yè)設(shè)計 第 6 頁 共 42 頁 節(jié)部分，這就是多分辨率分析的框架。 )(* x? 表示 )(x? 的復共軛。 第二部分：小波變換的理論基礎(chǔ)。 而小波分析則具有多分辨率分析的特點，克服了短時傅里葉變換在單一分辨率上的不足和缺陷，在頻域和時域都具有表征信號局部信息的能力，頻率窗和時間窗都可以根據(jù)信號的具體形態(tài) 進行動態(tài)調(diào)整，在一般情況下，在低頻部分可以采用較低的時間分辨率來提高頻率的分辨率，在高頻情況下可以用較低的頻率分辨率來換取精確的時間定位。 1214 周：分析試驗結(jié)果，對比各種算法的優(yōu)點和缺點，嘗試改進算法。 進度安排： 13 周：查找資料，文獻。但是其丟失的時域信息