【正文】 l r r r l r r rx n n n k k k x n n n k k k W? ? ? ? ? ? ? ?? （ 38） 式中 1 2 11 2 02 2 2r r rllP n n n? ? ???? ? ? ? （ 39） 根據(jù)式（ 38），第 L 個(gè)數(shù)組中每個(gè) 1 2 0 1 2 0( ) ( )l l r r r rx k x n n n k k k? ? ? ?? 的計(jì)算只依賴于上一個(gè)數(shù)組的兩個(gè)數(shù)據(jù)這兩個(gè)數(shù) 據(jù)的標(biāo)號(hào)相差 12 / 2YlN? ? ，即/2lj i n?? ，而且這兩個(gè)數(shù)據(jù)只用于計(jì)算第 L個(gè)數(shù)組中標(biāo)號(hào)的數(shù)據(jù)（等號(hào)右端為二進(jìn)制數(shù)）。 以 20 點(diǎn) FFT 為例， 1220, 5, 4N N N? ? ?，映射方式為： 124n n n??，125k k k?? ，則計(jì)算流圖如圖 31 所示。此算法把n1 k2 f[0] 0 W0 0 F[0] f[4] 1 W0 1 F[5] f[8] 2 W0 2 F[10] f[12] 3 W0 3 F[15] f[16] 4 W0 0 F[1] f[1] 0 W1 1 F[6] f[5] 1 W2 2 F[11] f[9] 2 W3 3 F[16] f[13] 3 f[17] 4 W0 0 F[2] W2 1 F[7] f[2] 0 W4 2 F[12] f[6] 1 W6 3 F[17] f[10] 2 f[14] 3 W0 0 F[3] f[18] 4 W3 1 F[8] W6 2 F[13] f[3] 0 W9 3 F[18] f[7] 1 f[11] 2 W0 0 F[4] f[15] 3 W4 1 F[9] f[19] 4 W8 2 F[14] W12 3 F[19] k1=0 n2=0 n2=1 n2=2 n2=3 k1=1 k1=2 k1=3 k1=4 武漢工程大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 )說(shuō)明書(shū) 10 1?zN 分 解成 cyclotomic 多項(xiàng)式，而這些多項(xiàng)式的系 數(shù)通常為 1， 0， 1。Goetzel 算法是為了解決這個(gè)問(wèn)題而提出的。每次遞推包含一次復(fù)數(shù)乘法。按照?qǐng)D 33計(jì)算 )(kX 時(shí)，步驟有二，即： 輸入點(diǎn)依次取 )1() , . . . ,2(),1(),0( ?nxxxx ，進(jìn)行遞推運(yùn)算。所需的計(jì)算量是 4 次實(shí)數(shù)乘法和 N4 次實(shí)數(shù)加法 [11]。因此，若用Goertzel 算法計(jì)算離散付里葉變換的所有 N 個(gè)點(diǎn)的值，需要的乘法次數(shù)近似為2N ，加法次數(shù)近似為 22N 。如果B?? 時(shí)，幅度譜 ()X? 很小，對(duì)應(yīng)于奈奎斯特抽樣頻率 2s B?? ，抽樣間隔 T 選擇 /B? 比較合適?？梢岳煤瘮?shù) fft 對(duì)一組離散的頻率 k? 計(jì)算上式中的和式。)。 k=0:10/gamma。近似值 39。|X|39。 subplot(3,1,1)。x[n]39。)。 Z=X.*Y。) 圖 44 信號(hào) x[n]、 y[n]及其卷積 z[n]=x[n]*y[n] 利用下面的 Matlab 命令，可得到信號(hào) x[n]、 y[n]的幅度譜與相位譜如圖 45所示。 axis([0 25 0 5])。 axis([0 25 1 1])。Y=fft(y,L)。) subplot(2,2,4)。) 圖 45 信號(hào) x[n]、 y[n]的幅度譜與相位譜 FFT 進(jìn)行離散信號(hào)壓縮 利用 FFT算法對(duì)離散信號(hào)進(jìn)行壓縮的步驟如下： 1）通過(guò)采樣將信號(hào)離散化；2）對(duì)離散 化信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換； 3）對(duì)變換后的系數(shù)進(jìn)行處理，將絕對(duì)值小于某一閾值的系數(shù)置為 0，保留剩余的系數(shù)； 4）利用 IFFT 算法對(duì)處理后的信號(hào)進(jìn)行逆傅里葉變換 [13]。 Nr=floor(N*r)。 fy=fft(y)。 legend(39。 f=t+cos(4*pi*t)+1/2*sin(8*pi*t)。db139。,t,yc,39。 unbiased_variance=norm(yyc)/sqrt(length(t))。 相關(guān) Matlab 程序如下 fs=1000。 plot(t,x)。時(shí)域信號(hào) 39。%畫(huà)出幅頻響應(yīng) xlabel(39。)。相位 39。要判斷信號(hào) []xn 中是否包含最強(qiáng)正弦分量，采樣數(shù)據(jù)至少要包含該分量一個(gè)完整周期的數(shù)據(jù) [15]。39。耀斑平均數(shù) 39。 axis([0 300 0 200]) 圖 49 1981年 1月至 2020年 12月太陽(yáng)耀斑的平均數(shù) 由上圖可見(jiàn)，太陽(yáng)耀斑的活動(dòng)確實(shí)具有周期性，但周期的準(zhǔn)確值不明顯。 plot(spd)。耀斑數(shù)據(jù)可以從比利時(shí)皇家天文臺(tái) (Royal Observatory of Belgium)太陽(yáng)耀斑數(shù)據(jù)索引中心（ Sunspot Index Data Center, SIDC）網(wǎng)站下載。N=51239。 subplot(3,1,3)。)。 Y=fft(x,N)。t39。%數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù) n=0:N1。 輸入以下 Matlab 命令： =(0:255)/256。)。 cc=press(c,r)。令絕對(duì)值最小的 80%系數(shù)為 0，得到重構(gòu)信號(hào)圖形如圖 47a)所示，均方差為 ，相對(duì)誤差為 ；令絕對(duì)值最小的 90%系數(shù)為 0，得到重構(gòu) 信號(hào)圖形如圖 47b)所示，均方差為 ，相對(duì)誤差為 。,39。 %調(diào)用壓縮函數(shù) yc=ifft(fyc)。 tol=abs(ww(Nr+1))。令絕對(duì)值最小的80%系數(shù)為 0，得到重構(gòu)信號(hào)圖形如圖 46a)所示，均方差為 ，相對(duì)誤差武漢工程大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 )說(shuō)明書(shū) 20 為 ；令絕對(duì)值最小的 90%系數(shù)為 0，得到重構(gòu)信號(hào)圖形如圖 46b)所示，均方差為 ，相對(duì)誤差為 。 axis([0 25 3 3])。 axis([0 25 0 10])。k39。k39。 L=26。 武漢工程大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 )說(shuō)明書(shū) 18 stem(n,z)。y[n]39。 subplot(3,1,2)。 x=.^n。通過(guò)增加 NT 可以增加更多的細(xì)節(jié)，減少 T使得到的值更精確。真實(shí)值 39。 %計(jì)算真實(shí)值 X(w) w=::10。Input T:39。為了計(jì)算高效， fft 在負(fù)的頻率樣本之前先產(chǎn)生正頻率樣本。 將連續(xù)時(shí)間傅立葉變換進(jìn)行數(shù)字近似，用函數(shù) fft（快速傅立葉算法）高效地計(jì)算這個(gè)近似值。 武漢工程大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 )說(shuō)明書(shū) 13 在信號(hào)處理 中 的理論應(yīng)用 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的快速傅里葉變換 設(shè) ()xt 是連續(xù)時(shí)間信號(hào)，并假設(shè) 0t? 時(shí) () 0xt? ，則其傅里葉變換由下式給出： 0( ) ( ) itX x t e d t?? ? ?? ? （ 41） 令 ? 是一固定的正實(shí)數(shù)， N 是一個(gè)固定的正整數(shù)。這種算法要求的乘法次數(shù)約為直接算法的一半。作 N 次迭代所需的計(jì)算量是 N2 次實(shí)數(shù)乘法和 N4 次實(shí)數(shù)加法。按照上述 Goertzel 算法，所需的實(shí)數(shù)乘法和實(shí)數(shù)加法都是 24N 次。這種算法利用旋轉(zhuǎn)因子 kNW 的周期性，使 DFT 運(yùn)算化為線性濾波運(yùn)算 [9]。更精確地說(shuō)，winograd 算法讓 DFT 可以用 2K點(diǎn)的 DFT 來(lái)簡(jiǎn)化，但減少乘法量的同時(shí)，也增加了非常多的加法量。這方法之后被 splitradix variant of CooleyTukey 所取代，與 RaderBrenner 算法相比，有一樣多的乘法量，卻有較少的加法量，且不犧牲數(shù)值的準(zhǔn)確性 [7]。因此，用上一組的兩個(gè)數(shù)據(jù)計(jì)算所得的兩個(gè)新數(shù)據(jù)仍可儲(chǔ)存在原來(lái)位置，計(jì)算過(guò)程中只需要 N個(gè)存儲(chǔ)器。12,1,0。 任意 的函數(shù)通過(guò)一定的分解，都能夠表示為正弦函數(shù)的線性組合的形式，而正弦函數(shù)在物理上是被充分研究而相對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù)類： 1. 傅立葉變換是線性算子 ,若賦予適當(dāng)?shù)姆稊?shù) ,它還是酉算子 。 與傅立葉變換算法對(duì)應(yīng)的是反傅立葉變換算法。在 FFT 中，利用 WN 的對(duì)稱性和周期性，把一個(gè) N 項(xiàng)序列（設(shè)k2?,k為正整數(shù)），分為兩個(gè) /項(xiàng)的子序列，而且每個(gè) 2/點(diǎn)的 DFT 變換需要? ?2/N次運(yùn)算，再運(yùn)用 N次運(yùn)算把兩個(gè) 2/N點(diǎn)的DFT 變換重新組合成一個(gè) N點(diǎn)的 DFT 變換。 DFT 存在的缺點(diǎn)就是計(jì)算量太大 ,不易進(jìn)行實(shí)時(shí)處理。數(shù)字信號(hào)處理區(qū)別于普通的科學(xué)計(jì)算與分析，它強(qiáng)調(diào)運(yùn)算的實(shí)時(shí)性。繼庫(kù)利和圖基算法出來(lái)之后，桑德（ ）等快速算法也相繼出現(xiàn)，又經(jīng)過(guò)其他學(xué)者一步步改進(jìn)，很快就出現(xiàn)了通用型的快速傅里葉變換，簡(jiǎn)稱 FFT。 1. 1 選題背景 近十多年來(lái)，數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)同大規(guī)模集成電路、數(shù)字計(jì)算機(jī)等，都有了突飛猛進(jìn)的發(fā)展，日新月異，早已成為了一門(mén)具有強(qiáng)大生命力的技術(shù)科學(xué)。 widely used 武漢工程大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 )說(shuō)明書(shū) 目 錄 摘要 …… ..……………………… .………………………………………………… .I Abstract ………… .…………… ………………………………………… ………… ……… II 選題背景 ................................................................................................................ 1 課題研究的意義 .................................................. 2 .............................................. 3 .......................................... 4 ......