【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 。 當(dāng)然， 用這種向量 方法解決幾何問題時(shí)可以減少輔助線，但選用何種基向量是很有講究的， 選用的基底向量不同 ， 解法也會(huì) 有所 不同 。 當(dāng)然還存在一種可能，如果能 找到一個(gè)直角坐標(biāo)系，把平面圖形上的點(diǎn)都用坐標(biāo)表示，那么幾何問題 就可以直接 轉(zhuǎn)變成了純代數(shù)的問題 。 所以說，向量法往往可以巧妙的解決一些看似很麻煩的平面幾何問題。 運(yùn)用向量法解決平面幾何問題的關(guān)鍵在于兩點(diǎn)：即轉(zhuǎn)換與運(yùn)算。何謂轉(zhuǎn)換，即找一對(duì)單位基向量或者直角坐標(biāo)系，將所有線段用基向量或坐標(biāo)表示。運(yùn)算則顧名思義就是向量的運(yùn)算。不難看出，解決此類問題的步驟一般分為三步： （ 1）建立 平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中 所 涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；（ 2）通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如 垂直、 距離、夾角等問題；（ 3）把運(yùn)算結(jié)果 再次轉(zhuǎn)換成 成幾何元素。 、 利用向量解決基礎(chǔ)平面圖形問題 例 ，在 △ ABC 中 ,AB=AC， D 是 BC 的中點(diǎn)，DE⊥ AC， E 是垂足， F 是 DE 的中點(diǎn)，求證： AF⊥ BE. 證： 要證 AF⊥ BE，即證 0 ??BEAF ，由于AB=AC,D 是 BC 中點(diǎn)，故 AD⊥ BC， 0 ??BDAD ，BDDC? .又由 DE⊥ AC， F 是 DE 的中點(diǎn)，得 0 ??ECDE ， DEEF 21?? ，所以?????? )()( DEBDEFAEBEAF DEEFBDEFDEAEBDAE ??????? DEDEBDDEBDDEAD ??????? 2121)( DEDEECDE ????? 21)(21 =0， 故得 AF⊥ BE. 分析：例 1 是一道證明垂直的問題，如果用幾何辦法求解，添輔助線是不可避免的，而且容易讓人無從下手 ，而向量法則可以 通過 AD⊥ BD,DE⊥ EC,將 AF 與 BE 巧妙的通過 AD ， BD ， DE ， EC 這 4 組基向量表示，通過基向量的垂直，證明 AF⊥ BE。 例 2. 已知正方形 ABCD， P 為對(duì)角線 AC 上任意一點(diǎn)， PEB A E C D F A E B F C D P 杭州師范大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）正文 第 7 頁（共 18 頁） ⊥ AB 于點(diǎn) E， PF⊥ BC 于點(diǎn) F，連接 DP、 EF，求證 DP ⊥ EF． 解：以 A 為原點(diǎn)， AB 為 x 軸， AD 為 y 軸建立直角坐標(biāo)系，則 B（ 1， 0）， D（ 0， 1），C（ 1， 1）， P（ a， a）， E（ a， 0）， F（ 1， a）， DP =（ a， a1）， EF =（ 1a， a），則 DP *EF =a（ 1a） +（ a1） a=0，所以 DP ⊥ EF． 分析：例 2 也 是一道證垂直問題，由于 DP 與 EF 沒有公共點(diǎn)，所以要證垂直必須填輔助線， 可以延長(zhǎng) DP，也可以過 P 作 EF 平行線，但無論如何用平面方法解題，都沒有向量法來的 方便 。 建系、 定坐標(biāo)、計(jì)算 ，一氣呵成，這就是向量法 解題的兩點(diǎn) 。 例 3. 已知 Rt△ ABC 中 ， ∠ C=90176。 ，設(shè) AC=m，BC=n． （ 1） 若 D 為斜邊 AB 的中點(diǎn)，求證，CD= 21 AB． （ 2） 若 E為 CD 中點(diǎn)，連接 AE并延長(zhǎng)交 BC于 F，求 AF 的長(zhǎng)度（用 m， n 表示）． 解： （ 1）如圖建立直角坐標(biāo)系， B（ n， 0），A （ 0 ， m ）， 則 D （ 21 n ， 21 m ），CD= 22 )21()21( mn ? = 21 22 mn ? ， AB= 22 )0()0( mn ??? = 22 mn ? ． 所以CD= 21 AB． （ 2） E（ 41 n， 41 m）， AE =（ 41 n， 43 m），設(shè) F（ x， 0），則 AF =（ x， m），由于 A ， E ， F 三 點(diǎn) 共 線 ， 得 mmxn ??? 4341，所以 x= n31 ， F （ n31 ， 0 ），AF= 22)3( mn ? = 22 931 mn ? ． 分析：此題的坐標(biāo)系也是非常容易建立的，關(guān)鍵在于 D， E， F 三點(diǎn)的坐標(biāo)，求得這三點(diǎn)坐標(biāo)后，所有問題迎刃而解。 、 利用向量求解圓錐曲線問題 用一個(gè)平面去截一個(gè)圓錐面，得到的交線就稱為圓錐曲線。 高中數(shù)學(xué)中重點(diǎn)研究的 圓錐曲線包括圓 ，橢圓，雙曲線，拋物線。由于圓錐曲線往往在直角坐標(biāo)系中出現(xiàn)，所以對(duì)于各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)的求解不可避免，而就這點(diǎn)而言，向量法大顯身手的時(shí)刻到來了，無論是 垂直問題，平行問題， 求未知數(shù)問題，軌跡問題， 共線問題， 最值問題，都是在向量法的基礎(chǔ)上完成的。所以說，向量法是解決 大多 數(shù) 圓錐曲線問題的基礎(chǔ)方法 ， 給曲線的求解帶來了極大的方便 。我們來看下面 例子。 例 4. 如圖 : 已知橢圓 11624 22 ?? yx ， 直線 L: 1812 ??yx ， P 是直線 L 上的點(diǎn) ， 射線 OPE C F B x D A y 杭州師范大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）正文 第 8 頁（共 18 頁） 交橢圓于點(diǎn) R， 又點(diǎn) Q 在 OP 上且滿足 | OP | *| OQ |=| OR |2， 當(dāng)點(diǎn) P 在 L 上移動(dòng)時(shí) ， 求點(diǎn) Q 的軌跡方程 ． 解 ：如圖， OQ ， OR ， OP 共線，可設(shè) Q（ x， y），則 R（ λ x， λ y）， P（ μ x， μ y） ，由于 | OP | *| OQ |=| OR |2,則μ =λ 2，又由于 R 在橢圓上， P 在 L 上， 11624 2222 ?? yx ?? ，1812 ?? yx ?? ，化簡(jiǎn)得， 222 11624 ??? yx ，?1812 ?? yx， 所 以 8121624 22 yxyx ??? ， x， y 不同時(shí)為 0． 分析：解決圓錐曲線的軌跡問題時(shí)，先把動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)用（ x， y）表示， 將其他已知點(diǎn)用 x，y 的表達(dá)式表示， 然后通過已知條件，將幾何語句表示成 x 與 y 之 間的關(guān)系，消去多余未知數(shù)，即可得 x， y 的方程即軌跡方程。 如上題，要求 Q 的軌跡，所以先將 Q 設(shè)成（ x， y） ，然后通過未知數(shù)λ，μ將 R 點(diǎn)與 P 點(diǎn)坐標(biāo)用未知數(shù)表示，最后通過已知條件消去λ，μ。 例 p0 是一常數(shù)，過點(diǎn) Q（ 2p， 0） 的直線與拋物線 y2=2px 交于相異兩點(diǎn) A， B，以線段 AB 為直徑作圓H（ H 為圓心）．試證明拋物線頂點(diǎn)在圓 H 的圓周上，并求圓 H 的面積最小時(shí)直線 AB 的方程． 解：由于直線斜率不能為 0，故設(shè)直線為 ky=x2p，設(shè) A（ xa， ya）， B（ xb， yb）， 將 ky=x2p 與 y2=2px 連列，消去 y，得 xa， xb 滿足 x2?（ 4+2k2） px+4p2=0，由 韋達(dá)定理得， xa xb=4p2， xa+xb=（ 4+2k2） p， 同理可得 ya yb =? 4p2， ya+ yb =2pk． OA *OB = xa xb + ya yb =0，所以O(shè)A ⊥ OB ， 所以 O 在圓周上． OH =（ 2 ba xx ? ，2 ba yy ? ） =（ 2p+k2p， pk），而由于三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，所以O(shè)H=OA=OB=R， OH= 222 )()2( kppkp ?? = 45 24 ?? kkp ，當(dāng) k=0 時(shí)， S= 2OH? 最小， S= ?4 p2，直線方程為 x=2p． 分析： 這是 一道圓錐曲線中的最值問題，其實(shí)解題思路還是和一般圓錐曲線問題一樣，首先將未知條件用未知數(shù)表示，如上題直線中的未知數(shù) k，然后將已知條件轉(zhuǎn)換成未知數(shù)之間的關(guān)系，這是個(gè)難點(diǎn)，如上題中的 xa xb， ya yb 是問題的關(guān)鍵，將其用 k 表示出來，問題迎刃而解，如果找不到這個(gè)點(diǎn)，那么會(huì)走很多歪路。如何找這個(gè)點(diǎn)，就要求我們清楚明白題目問的是什么，如上題中題目要我們證 O 在圓 上，這句話和向量的掛鉤就是 AB ⊥ OB ，理清x P O y l R Q 杭州師范大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）正文 第 9 頁（共 18 頁） F E M z y A D C B A11 B1111 C11 D11 x N 楚這層關(guān)系，那么什么問題都簡(jiǎn)單 明了了。 例 149 22 ?? yx的焦點(diǎn)為 F1， F2，點(diǎn) P 是其上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) ∠ F1PF2 為鈍角時(shí)，求點(diǎn) P的橫坐標(biāo)的取值范圍 . 解：設(shè) P（ x， y）， F1（ 5? ， 0）， F2（ 5 ， 0）由于 ∠ F1PF2 為鈍角，則 021 ??PFPF ，即（ 5? x， y） ?（ 5 x， y） =0，故 x25+y2=0， 聯(lián)例 149 22 ?? yx 得， 553553 ??? x . 分析：這是一道比較特殊的圓錐曲線問題， 由 ∠ F1PF2 為鈍角得 1PF 與它在 2PF 方向上的射影所成角為鈍角，即射影為負(fù)，即 0PFF∠co s211 ?PF，即 021 ?? PFPF 。同理銳角射影為正。 立體 幾何 用空間向量解決立 體幾何問題 有 兩個(gè)重要 手段 ， 即 直線的方向向量和平面的法向量 ，他們 實(shí)現(xiàn)空間問題的向量解法的 橋梁 。用空間向量方法證明立體幾何中的平行與垂直問題，角的問題，距離問題主要運(yùn)用了直線的方向向量和平面的法向量 ， 同時(shí)也要借助空間中已有的一些定理。 、 利用 向量解決 平行問題 談到平行，無非兩直線平行，線面平行，與面面平行三種，證明平行的方法有很多，向量法是其中一個(gè)，在某些情況下，向量法往往可以將問題簡(jiǎn)化。 我們來看如下例題。 例 7. 如圖，在正方體 ABCD－ A1 B1 C1D1 中， M、 N 分別是棱 A1 B A1D1 的中點(diǎn)， E、 F 分別是棱 B1 C C1D1 的中點(diǎn)． （ 1）求證： DB//EF （ 2）求證：平面 AMN∥平面 BDFE 證：（ 1）以 D 為原點(diǎn)， DA 為單位長(zhǎng)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系 Dxyz， 則 A（ 1， 0， 0）， M（ 1， 21 ， 1）， N（ 21 ， 0， 1）， E（ 21 ，1， 1）， F（ 0， 21 ， 1）， EF =（ 21 ， 21 ， 0）， DB =（ 1，1， 0）， DB =2EF ，故 DB//EF． （ 2） 設(shè)平面 AMN 的法向量 1n =（ x， y， 1），平面 BDFE 的法向量 2n =（ a， b， 1） ， EF =（ 21 ， 21 ， 0）， DF =（ 0， 21 ， 1）， NM =（ 21 ， 21 ， 0）， AM =（ 0， 21 ， 1）， 杭州師范大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）正文 第 10 頁（共 18 頁） 由 1n 與 NM ， AM 垂直，得???????????012102121yyx，所以??? ??? 22yx。則 1n =（ 2， 2， 1），同理得2n =（ 2， 2， 1） ． 所以 1n // 2n 。故 平面 AMN∥平面 BDFE． 分析： （ 1）空間兩直線平行問題可通過 坐標(biāo)求得直線上的向量，用向量成比例來證兩直線平行。（ 2） 兩平面的平行可以轉(zhuǎn)