向量法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用_畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)-全文預(yù)覽
【正文】 平面幾何 高中的平面幾何一般有其 常用 的一套解題 放 法，往往不會(huì)讓學(xué)生們 聯(lián)想 到向量。 這說(shuō)明了向量法在高中數(shù)學(xué)解題中的重要性 ， 想要幫學(xué)生們減輕負(fù)擔(dān)， 我們 就要 重視運(yùn)用向量法。 c =a b =b b =177。 b =∣ a ∣ 第二分配律 ： λ(a +b )=λa +λb 。 b =λ(a 3. 向量的數(shù)乘： 實(shí)數(shù) λ 和向量 a 的乘積是一個(gè)向量，記作 λa ，且 ∣ λa ∣ =∣ λ∣ 就是說(shuō)，如果要求兩向量的和 ，只要將它們補(bǔ)成平行四邊形，從公共點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線所成的有向線段就 是它們的和。 向量 a 與 b 相等，記作 a =b 。 2. 負(fù)向量： 如果向量 AB 與向量 CD 的模相等且方向相反，那么我們把向量 AB 叫做向量CD 的負(fù)向量 。 分別取與x 軸、 y 軸方向相同的兩個(gè)單位向量 i ， j 作為一組基底 。 如圖， 若規(guī) 定線段 AB 的端點(diǎn) A 為起點(diǎn)， B 為終點(diǎn)，則線段就具有了從起點(diǎn) A 到終點(diǎn) B 的方向和長(zhǎng)度。 平面上的幾何向量常用帶箭頭的線段— 有向線段 表示 ，簡(jiǎn)稱為向量 。 18 杭州師范大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）正文 第 4 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 引 言 向量是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)的重要概念之一，由于它既有幾何的表示方法又有 代數(shù)表示方法，與中學(xué)數(shù)學(xué)的許多主干知識(shí)交匯 。 18 致 謝 13 、 點(diǎn)到平 面距離 10 、 利用向量來(lái)求空間角問(wèn)題 9 、 利用向量解決平行問(wèn)題 7 立體幾何 杭州師范大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）正文 第 1 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 向量法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 the application of vector method in high school mathematics 杭州師范大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）正文 第 2 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 摘 要 向量是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，運(yùn) 用于 方方面面，主要運(yùn)用在圓錐曲線與立體幾何兩方面。 Vector Method is a significant and widelyused knowledge point in high school mathematics, and it mainly used in terms of conic section and solid geometry. As Vector Method is linked to many other math knowledge points, therefore, students’ mastery degree of it directly influences the quality of high school math studies. Furthermore, the trend of College Entrance Examination in recent years has clearly indicated the increasing importance of Vector Method in high school mathematics. 關(guān)鍵詞 ： 向量；平面幾何；立體幾何；代數(shù) Keyword： Vector； planimetry； stereometry； algebra 杭州師范大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）正文 第 3 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 目 錄 引 言 9 、 利用向量解決垂直問(wèn)題 11 、 空間距離 13 、 點(diǎn)到直線距離 15 、 不等式問(wèn)題 數(shù)學(xué)中，向量 是 既有大小又有方向且遵循平行四邊形法則的量。 2. 幾何表示： 向量可以用有向線段來(lái)表示，用 有向 線段的長(zhǎng)度表示向量的大小。在平面直角坐標(biāo)系中， a 為任意向量，則以 x0 表示 a 在 x 軸上的射影長(zhǎng)度， y0 表示 a 在 y 軸上的射影長(zhǎng)度 。 零向量的始點(diǎn)和終點(diǎn)重合，所以零向量沒(méi)有確定的方向，或說(shuō)零向量的方向是任意的。 4. 相等向量： 長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量 。 如圖，在計(jì)算 AB +AD 時(shí)，將三角形 ABD 補(bǔ) 成平行四邊形 ABCD，顯然 圖中所有的 a 相等，所有的 b 相等 ，故B A a 杭州師范大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）正文 第 5 頁(yè)（共 18 頁(yè)） AB + AD = DC + AD = AC 。還是上圖， AC AD = AC +DA =DC ， 即共同起點(diǎn)，指數(shù)相減。 數(shù)乘的運(yùn)算規(guī)律： 結(jié)合律： (λa ) 第一分配律 ： (λ+μ) a =λa +μa 。 4. 向量的數(shù)量積：數(shù)量積 a 若 a 、 b 共線，則 a 數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)律： 交換律： a b ) 分配律： (a +b )接著 選修 22 的空間向量與立體幾何 ， 充分將之前學(xué)過(guò)的 平面向量 有機(jī)的結(jié)合在一起， 用向量解決 空間 幾何問(wèn)題思路清晰，過(guò)程簡(jiǎn)潔，有意想不到的神奇效果 ，比起過(guò)去的常規(guī)法 解決 空間 幾何問(wèn)題 有了更深刻更新穎的認(rèn)識(shí) 。下面，我就向量在平面幾何與立體幾何以及代數(shù)運(yùn)算中的靈活應(yīng)用做詳細(xì)的舉例闡述。 當(dāng)然還存在一種可能，如果能 找到一個(gè)直角坐標(biāo)系，把平面圖形上的點(diǎn)都用坐標(biāo)表示，那么幾何問(wèn)題 就可以直接 轉(zhuǎn)變成了純代數(shù)的問(wèn)題 。運(yùn)算則顧名思義就是向量的運(yùn)算。 建系、 定坐標(biāo)、計(jì)算 ，一氣呵成，這就是向量法 解題的兩點(diǎn) 。 高中數(shù)學(xué)中重點(diǎn)研究的 圓錐曲線包括圓 ，橢圓，雙曲線，拋物線。 例 4. 如圖 : 已知橢圓 11624 22 ?? yx ， 直線 L: 1812 ??yx ， P 是直線 L 上的點(diǎn) ， 射線 OPE C F B x D A y 杭州師范大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）正文 第 8 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 交橢圓于點(diǎn) R， 又點(diǎn) Q 在 OP 上且滿足 | OP | *| OQ |=| OR |2， 當(dāng)點(diǎn) P 在 L 上移動(dòng)時(shí) ， 求點(diǎn) Q 的軌跡方程 ． 解 ：如圖， OQ ， OR ， OP 共線，可設(shè) Q（ x， y），則 R（ λ x， λ y）， P（ μ x， μ y） ，由于 | OP | *| OQ |=| OR |2,則μ =λ 2，又由于 R 在橢圓上， P 在 L 上， 11624 2222 ?? yx ?? ，1812 ?? yx ?? ，化簡(jiǎn)得， 222 11624 ??? yx ，?1812 ?? yx， 所 以 8121624 22 yxyx ??? ， x， y 不同時(shí)為 0． 分析：解決圓錐曲線的軌跡問(wèn)題時(shí)，先把動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)用（ x， y）表示， 將其他已知點(diǎn)用 x，y 的表達(dá)式表示， 然后通過(guò)已知條件，將幾何語(yǔ)句表示成 x 與 y 之 間的關(guān)系，消去多余未知數(shù)，即可得 x， y 的方程即軌跡方程。 例 149 22 ?? yx的焦點(diǎn)為 F1， F2，點(diǎn) P 是其上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) ∠ F1PF2 為鈍角時(shí)，求點(diǎn) P的橫坐標(biāo)的取值范圍 . 解：設(shè) P（ x， y）， F1（ 5? ， 0）， F2（ 5 ， 0）由于 ∠ F1PF2 為鈍角，則 021 ??PFPF ，即（ 5? x， y） ?（ 5 x， y） =0，故 x25+y2=0， 聯(lián)例 149 22 ?? yx 得， 553553 ??? x . 分析：這是一道比較特殊的圓錐曲線問(wèn)題， 由 ∠ F1PF2 為鈍角得 1PF 與它在 2PF 方向上的射影所成角為鈍角，即射影為負(fù)，即 0PFF∠co s211 ?PF，即 021 ?? PFPF 。 、 利用 向量解決 平行問(wèn)題 談到平行，無(wú)非兩直線平行，線面平行，與面面平行三種，證明平行的方法有很多，向量法是其中一個(gè)，在某些情況下，向量法往往可以將問(wèn)題簡(jiǎn)化。故 平面 AMN∥平面 BDFE． 分析： （ 1）空間兩直線平行問(wèn)題可通過(guò) 坐標(biāo)求得直線上的向量，用向量成比例來(lái)證兩直線平行。 例 8. 如圖 所示 ， 已知正方形 ABCD 和正方形 ABEF 所在平面互相垂直 , M ,N 分別是對(duì)角線 AC 和 BF 上的動(dòng)點(diǎn) ,且 AM=FN， 求證 ： MN∥ 平面 BEC． 證： 如第二個(gè)圖 ，以 A 為
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