【正文】 ， 這 極大的豐富和發(fā)展了 高中 數(shù)學知識結(jié)構(gòu)體系，也極大的拓展了 高中學生 的思維空間 ，尤其 是 將 向量 法 作為工具對于解決幾何問題有其獨到之處，將傳統(tǒng)幾何中的定性 推理 與 代數(shù)運算的定量分析 作轉(zhuǎn)換 ，避免了傳統(tǒng)幾何方法中 復雜的推理及論證，充分體現(xiàn)出數(shù)學中 數(shù)形結(jié)合思想 、 形象思維與抽象思維的轉(zhuǎn)化 。 代數(shù) 向量和代數(shù)是 2 個看似不相干，卻有著千絲萬縷的關(guān)系的朋友， 向量問題 代數(shù) 化， 代數(shù)問題向量化 ，是高中架起代數(shù)與向量的橋梁，而最通常的手段則是以下 2 個向量三角不等式。 、 空間距離 向量 除了能解決空間平行，空間垂直，空間角問題，在解決空間距離問題上也是把好手，包括兩點距離，點到直線距離，點到平面距離，異面直線距離等等。 例 12 如圖，在三棱錐 S— ABC 中，側(cè)面 SAB 與側(cè)面 SAC均為等邊三角形，∠ BAC=90176。但是空間直角坐標系的建立是個難點，如例 11，非常容易找到三個彼此正交的直線；而例 12，則沒有明顯的三個彼此正交的直線，需要填輔助線建立。 例 10. 在正方體 ABCD－ A1 B1 C1D1 中， E， F 分別是棱 AB，BC 的中點，試在棱 BB1 上找一點 M， 使得 D1M⊥平面 EFB1． 解： 以 D 為原點，以 DA 為單位長，建立如圖的空間直角坐標系 Dxyz， E(2， 1,0)， F(1,2,0)， D1 (0,0,2)， B1 (2,2,2)．設(shè)M(2,2,a)，則 EF ＝ (－ 1,1,0)， EB1 ＝ (0,1,2)， MD1 ＝ (2,2， a－ 2)． 因為 D1M⊥平面 EFB1，所以 D1M⊥EF， D1M⊥ B1E。所以求得法向量的坐標，即可得證這類題型。 立體 幾何 用空間向量解決立 體幾何問題 有 兩個重要 手段 ， 即 直線的方向向量和平面的法向量 ，他們 實現(xiàn)空間問題的向量解法的 橋梁 。所以說，向量法是解決 大多 數(shù) 圓錐曲線問題的基礎(chǔ)方法 ， 給曲線的求解帶來了極大的方便 。 、 利用向量解決基礎(chǔ)平面圖形問題 例 ，在 △ ABC 中 ,AB=AC， D 是 BC 的中點，DE⊥ AC， E 是垂足， F 是 DE 的中點，求證： AF⊥ BE. 證： 要證 AF⊥ BE，即證 0 ??BEAF ，由于AB=AC,D 是 BC 中點，故 AD⊥ BC， 0 ??BDAD ，BDDC? .又由 DE⊥ AC， F 是 DE 的中點，得 0 ??ECDE ， DEEF 21?? ，所以?????? )()( DEBDEFAEBEAF DEEFBDEFDEAEBDAE ??????? DEDEBDDEBDDEAD ??????? 2121)( DEDEECDE ????? 21)(21 =0， 故得 AF⊥ BE. 分析：例 1 是一道證明垂直的問題，如果用幾何辦法求解，添輔助線是不可避免的，而且容易讓人無從下手 ，而向量法則可以 通過 AD⊥ BD,DE⊥ EC,將 AF 與 BE 巧妙的通過 AD ， BD ， DE ， EC 這 4 組基向量表示，通過基向量的垂直，證明 AF⊥ BE。但試想，如果能將 平面幾何中的線段轉(zhuǎn)化為向量 ， 線段 夾角即轉(zhuǎn)化為向量的夾角 ，線段的長度 轉(zhuǎn)化為求向量的 模 ， 于是平面幾何中的一些證明 、 計算就被向量的運算取代 ， 這方便了 許多問題的解決 。 c +b ∣ a ∣ 數(shù)乘向量的消去律： ① 如果實數(shù) λ≠0 且 λa =λb ，那么 a =b 。∣ a ∣ 。 5. 法向量： 直線 l⊥ α，取直線 l 的方向向量 a ，則向量 a 叫 做平面 α的法向量。則 a =x0*i +y0*j ，并用坐標（ x0，y0）唯一的表示 a 。 向量的表示分為三種，即代數(shù)表示，幾何表示，坐標表示。 17 參考文獻 14 、 異面直線距離 4 平面幾何 由于聯(lián)系到許多其他知識點，向量掌握的好與壞，直接影響學生的高中數(shù)學學習質(zhì)量。 6 、 利用向量解決基礎(chǔ)平面圖形問題 6 、 利用向量求解圓錐曲線問題 14 代數(shù) 15 、 求最值問題 當然，在本 文闡述向量在高中數(shù)學中的應(yīng)用的開始，先來認識一下什么是向量。 3. 坐標表示： 我們僅以平面坐標來說明，多維坐標以此類推。 與向量 a 同向或反向，且長度為單位 1 的向量， 叫做 a 方向上的單位向量。 0 的反 向量為 0 。 λb )。 cos〈 a ， b 〉 ， 〈 a ， b 〉 為向量 a 與 b的夾角。 b =λ(a 而我在本文研究的重點則是放在向量上。何謂轉(zhuǎn)換，即找一對單位基向量或者直角坐標系，將所有線段用基向量或坐標表示。 、 利用向量求解圓錐曲線問題 用一個平面去截一個圓錐面，得到的交線就稱為圓錐曲線。如何找這個點，就要求我們清楚明白題目問的是什么，如上題中題目要我們證 O 在圓 上，這句話和向量的掛鉤就是 AB ⊥ OB ，理清x P O y l R Q 杭州師范大學本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）正文 第 9 頁（共 18 頁） F E M z y A D C B A11 B1111 C11 D11 x N 楚這層關(guān)系，那么什么問題都簡單 明了了。則 1n =（ 2， 2， 1），同理得2n =（ 2， 2， 1） ． 所以 1n // 2n 。下面具體問題具體分析。但是求異面直線所成角，必須先把兩條直線移到同一個平面；求線面角，必須作射影找到那個角；求二面角，則必須找到過公共邊上一點分別與公共邊垂直的兩條直線所成角。 ，則 DP 與平面 AA1D1D 所成角的大小 為 30176。 解：以 O 為原點， OB 為單位長，如圖建立空間直角O S B A C A B C D P 1A 1B 1C 1D x y z H O S B A C M O S B A C x z y 杭州師范大學本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）正文 第 13 頁（共 18 頁） 坐標系 Oxyz，則 B（ 1， 0， 0）， C（ 1， 0， 0）， A（ 0， 1， 0）， S（ 0， 0， 1）， 由于 AO⊥平面 SBC，故平面 SBC 的法向量 1n =（ 0， 1， 0），設(shè)平面 SBC 的法向量 2n =（ x， y， 1），CS =（ 1， 0， 1）， CA =（ 1， 1， 0），由 2n 與 CS ， CA 分別垂直，得??? ?? ?? 001yxx，所以??? ???11yx。 、 異面直線距離 例 在 △ ABC 中 ， ∠ B=90176。 、 求最值問題 由于最值也涉及到不等號，所以最值問題往往與不等式問題有異曲同工之處，其關(guān)鍵也在于構(gòu)建向量。所以我們 不能僅 看見向量優(yōu)勢的一面，還要對向量有一種深層次的反思，不能對向量的認識僅僅停留在數(shù)學解題上，應(yīng)該從更大的范圍和角度認識向量，要全面的把握好向量與其他數(shù)學工具的關(guān)系。畢竟 “ 經(jīng)師易得，人師難求 ” ，希望借此機會向 李祖泉 老師表示最衷心的感謝！ 。 沒有向量法是萬萬不能的。 例 22. 求函數(shù) xxxxy 22 c o s3c o ss in2s in ??? 的最值 . 解：原式可化為 xxy 2c os2s i n2 ??? ， 令 z= xx 2cos2sin ? , 構(gòu)造向量a = )2cos2(sin xx， ， b =(1， 1) ， 則 z=│ xx 2cos2sin ? │=│a 故 AD⊥ DE， DB⊥ DE 折疊后如圖 2， DA， DE， DB 兩兩垂直，故可以 D 為原點，以 DB 方向為 x 軸， DE 方向為 y 軸， DA 方向為 z 軸建立空間直角坐標系 Dxyz， A(0， 0， 4)， B（ 2， 0， 0）， E（ 0， 3， 0）， DA =（ 0， 0， 4）， BE =（ 2， 3，A D C B P 1A 1D 1C 1B x y z M A D E B C 圖 1 杭州師范大學本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）正文 第 15 頁（共 18 頁） 0），設(shè) AD 與 BE 的公垂線方向向量為 n =（ x， y， z），則?????????00BEnDAn ，得??? ??? ? 03