第7課時雙曲線(一)(編輯修改稿)
2024-12-30 17:35 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 2 a . ∵ 2 a 2 c ， ∴∠ PF1F2＝ 30176。 . ∴ cos30176。 ＝? 2 c ?2＋ ? 4 a ?2－ ? 2 a ?22 2 c 4 a. 整理得， c2＋ 3 a2－ 2 3 ac ＝ 0 ，即 e2－ 2 3 e ＋ 3 ＝ 0 ， ∴ e ＝ 3 . 【答案】 3 例 2 根據(jù)下列條件，求雙曲線的標準方程． (1) 與已知雙曲線 x2－ 4 y2＝ 4 有共同漸近線且經(jīng)過點 (2,2) ； (2) 漸近線方程為 y ＝ 177。12x ，焦 距為 10 ； (3) 經(jīng)過兩點 P ( － 3,2 7 ) 和 Q ( － 6 2 ，－ 7) ； (4) 雙曲線中心在原點，焦點在坐標軸上，離心率為 2 ，且過點 (4 ，－ 10 ) ． 【解析】 (1) 設所求雙曲線方程為 x2－ 4 y2＝ λ ，將 (2,2) 代入上述方程，得 22－ 4 22＝ λ ， ∴ λ ＝－ 12. ∴ 所求雙曲線方程為y23－x212＝ 1. (2) 設所求雙曲線方程為x24－ y2＝ λ ， 當 λ 0 時，雙曲線標準方程為x24 λ－y2λ＝ 1 ， ∴ c ＝ 5 λ .∴ 5 λ ＝ 5 ， λ ＝ 5 ； 當 λ 0 時，雙曲線標準方程為y2－ λ－x2－ 4 λ＝ 1 ， ∴ c ＝ － 5 λ .∴ － 5 λ ＝ 5 ， λ ＝－ 5 ； ∴ 所求雙曲線方程為x220－y25＝ 1 或y25－x220＝ 1. (3) 設雙曲線方程為 mx2－ ny2＝ 1. ( m ， n 0) ∴????? 9 m － 28 n ＝ 1 ，72 m － 49 n ＝ 1 ，解之得????? m ＝－175，n ＝－125. ∴ 雙曲線方程為y225－x275＝ 1. (4) 依題意， e ＝ 2 ? a ＝ b .設方程為x2a－y2a＝ 1 ， 則16a－10a＝ 1 ，解得 a ＝ 6. ∴x26－y26＝ 1. 【答案】 (1)y23－x212＝ 1 (2)x220－y25＝ 1 或y25－x220＝ 1 (3)y225－x275＝ 1 (4)x26－y26＝ 1 探究 2 求雙曲線的標準方程的方法： (1) 定義法：由題目條件判斷出動點軌跡是雙曲線，由雙曲線定義，確定 2 a 、 2 b 或 2 c ，從 而求出 a b2，寫出雙曲線方程． (2) 待定系數(shù)法：先確定焦點在 x 軸還是 y 軸，設出標準方程，再由條件確定 a b2的值，即 “ 先定型，再定量 ” ，如果焦點位置不好確定，可將雙曲線方程設為x2m2 －y2n2 ＝ λ ( λ ≠ 0) ，再根據(jù)條件求 λ 的值． 注意： ① 雙曲線與橢圓標準方程均可記為 mx2＋ ny2＝1( mn ≠ 0) ，其中 m 0 且 n 0 ，且 m ≠ n 時表示橢圓； mn 0 時表示雙曲線，合理使用這種形式可避免討論． ② 常見雙曲線設法： ( ⅰ ) 已知 a ＝ b 的雙曲線設為 x2－ y2＝ λ ( λ ≠ 0) ； ( ⅱ ) 已知過兩點的雙曲線可設為 Ax2－ By2＝ 1( AB 0) ； ( ⅲ ) 已知離心率為 e 的雙曲線方程可設為 x2a2 －y2? e2－ 1 ? a2＝ 1 或y2a2 －x2? e2－ 1 ? a2＝ 1 ； ( ⅳ ) 已知漸近線xm177。yn＝ 0 的雙曲線方程可設為 x2m2 －y2n2 ＝ λ ( λ ≠ 0) ． 思考題 2 (1) (2020 廣東 ) 已知中心在原點的雙曲線 C 的右焦點為 F (3,0) ，離心率等于32，則 C 的方程是 ( ) A.x24－y25＝ 1 B.x24－y25＝ 1 C.x22－y25＝ 1 D.x22－y25＝ 1 【解析】 由曲線 C 的右焦點為 F (3,0) ，知 c ＝ 3. 由離心率 e ＝32，知ca＝32，則 a ＝ 2 ，故 b2＝ c2－ a2＝ 9 － 4 ＝ 5. 所以雙曲線 C 的方程為x24－y25＝ 1.
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