【文章內(nèi)容簡介】 過程，糾正學(xué)生作圖中存在的問題。這一上課學(xué)生拿出昨天晚上做的那個橢圓，就在屏幕上演示，老師來說一說那畫的不好。然后呢，老師黑板上就打出 PPT 是一個 標準的 橢圓 圖形了，然后跟學(xué)生就說，橢圓畫好了 ，今天我們就來學(xué)習(xí)橢圓的幾何性質(zhì)。然后我們還是 看他的學(xué)案 ， 你會發(fā)現(xiàn)整節(jié)課他都是 讓學(xué)生觀察 圖形。介紹 頂點的時候，請同學(xué)們繼續(xù)觀察這個橢圓與坐標軸有幾個交點 ，其它性質(zhì)也 全是圍繞著這個圖來進行。我們知道解析幾何的學(xué)科特點是什么呢？是用代數(shù)方法研究幾何問題，所以我們在解析幾何教學(xué)的時候， 無論是介 紹 橢圓性質(zhì) 或者是雙曲線性質(zhì)，我們都要傳授給學(xué)生的 學(xué)科思維是什么呢？是怎么樣 用 代數(shù)的方法，用方程去研究 幾何 性質(zhì)。而不是依賴圖形，所以這節(jié)課完全違背了解析幾何的基本思想 用代數(shù)方法解決幾何問題 ,用方程研究橢圓的幾何性質(zhì)，要觀察的不應(yīng)該是圖象，應(yīng)該是方程！ 應(yīng)該讓學(xué)生看一看， 22125 16xy??這個方程有什么特點。對吧，圓的方程你講了，直線方程你講了，相對于這些方程，那么這個曲線方程的特征是什么？要看的是方程，而絕對不是橢圓。像橢圓的 對稱性，不是靠觀察 得出 關(guān)于 x 軸對稱， 再去證明 關(guān)于 x 軸對稱，關(guān)于 y 軸對稱 而應(yīng)該是 通過方程 尋找 橢圓 的 特點。其實從這個方程我們就可以看到，你把 x?代入方程的左端，方程還是成立， y? 也成立， ( , )xy?? 往里代還是成立。那么既然有 這樣的 代數(shù) 性質(zhì) ，我們就可以問問學(xué)生對應(yīng)的幾何 特征 是什么？點，( , )xy? 、 ( , )xy? 、 ( , )xy?? 都 滿足方程 ， 而 (, )xy 這個點顯然也在曲線上，這又說明了什么？所以是從這樣 的一個思維，這樣的一個角度來研究 對稱性，而不是什么去證明對稱性。 頂點也是這樣的，頂點是什么？從定義來看，應(yīng)該是對稱軸和曲線的交點，所以你要求頂點坐標那就是點與方程。然后要求頂點坐標，長軸上的兩個頂點 可以由直線 0y? 與 橢圓方程去聯(lián)立 ， 而絕對不是簡簡單單的就是一個看出那個(5,0) 、 ( 5,0)? 。 接下來，由 2 016y ? ， 可以 得出 x 的范圍，由 2 025x ? ，得出 y 的范圍 ， 然后得出 55x? ? ? ， 44y? ? ? 的時候，我們再讓學(xué)生去理解 橫縱坐標 的范圍內(nèi) ，這個 矩形應(yīng)該是這樣出來，而不是你畫出來的。所以我覺得 一個老師 如果對一個學(xué)科的思想把握不住的話，表面 看 來這節(jié)課 不錯， 板書，教態(tài)，基本功也 都到位，學(xué)生的互動，各種理念都可以放上去，但是實際上這是一節(jié)差課。王建彬老師跟我們 說過這么一句話，你要想 看一個老師的水平，就讓他上一節(jié)解析幾何課 就夠了，聽 15 分鐘就能把老師的水平查的一清二楚。我原來當(dāng)教研組長的時候， 招聘教師基本都是解析幾何課，講橢圓的性質(zhì)啊，講軌跡等等。 我們發(fā)現(xiàn) 很多老師其實講不出東西來，講的都是那種算的層面的東西，而講不出這種學(xué)科的 思維 。 解析幾何的教學(xué)，就要牢牢抓住用代數(shù)的方法解決幾何問題這一關(guān)鍵！ 四年后 我又聽 了這個老師的 解析幾何課，那就講的非常好了，就是他對這門學(xué)科完全把握住了，所以一個老師的成長，特別是作為一個數(shù)學(xué)老師的成長 ，最重要的是 數(shù)學(xué)素質(zhì)的修養(yǎng)，對數(shù)學(xué)本質(zhì)的挖掘 ， 而說上課生評分挺高 或者怎么樣 。說實話，這個課學(xué) 生還聽不出來呢，學(xué)生根本也不知道解析課應(yīng)該是這樣上，還是那樣上， 但 是最為老師，必須要知道 。 就 像 我們常常教育學(xué)生那樣：好的學(xué)習(xí)方法，關(guān)鍵是要動腦筋，勤思考一樣，我們作為教師，不能把我們每天的上課看成是機械的、重復(fù)性的、簡單的體力勞動，而是要研究知識的內(nèi)在規(guī)律，研究教學(xué)的內(nèi)在規(guī)律，研究學(xué)生的學(xué)習(xí)規(guī)律 。 好，那我下面就講一下解析幾何的我的一些想法。 從知識層面上說，現(xiàn)在來看，直線與方程，圓與方程，圓錐曲線，這么三塊，思維特征是什么？解析幾何的思維特征是什么呢？就跟函數(shù)思維想法一樣，我覺得曲線與方程的思維，應(yīng)該是解析幾何的思維特征。動點運動形成軌跡，那么在直角坐標系下呢，就需要知道到底形成 了什么樣的軌跡，從而就設(shè)動點坐標，找到橫坐標滿足的等量關(guān)系方程，再 由方程來判斷形成了什么樣的 軌跡 。我覺得這是解析幾何所面臨的問題。從研究方法來來看，拿到一個幾何對象以后，我要進行代數(shù)化，要進行代數(shù)運算，那么怎么來 完成這個代數(shù)化 。其實這一中間的思維過程呢，咱們目前的教學(xué)應(yīng) 該說還是比較粗糙一些，或者說老師講 得 不是太明確，導(dǎo)致咱們的學(xué)生基本上都認為解析幾何就是算。有方 程就聯(lián)立，就坐標就代入。是這樣一種思維狀態(tài)。老師甚至指導(dǎo) ，像那個大題， 一上去就 就聯(lián)立，聯(lián)立算到哪兒不行就算了，趕緊做下一題。教了 整個 高中的解析幾何，最后就落的這么一個下場，解析幾何不會想。我想應(yīng)該是拿到幾何對象，直線圓橢圓曲線這樣的幾何對象之后， 先研究幾何特征， 而這個幾何特征可以從幾個角度能得到 。 那我先從代數(shù)化的觀點來看，代數(shù)化的觀點是什么呢？所以有時候我就拿這樣的很簡單的問題考學(xué)生，比如說， 0( 0)A x B y C A? ? ? ?，我說直線在這個平面上，我說你還能不能進一步的做一些代數(shù)化 ， 學(xué)生就什么也看不出來 ， 只能說斜率，交點坐標。 學(xué)生覺得其實都已經(jīng)代數(shù)化了 。這反映出什么呢？ 學(xué)生覺得代數(shù)化就是計算， 算斜率， 算 兩個軸的交點坐標 。 其實如果從幾何的角度來看，直線在平面上，直線把平面呢分成了兩部分，分成了兩個區(qū)域。那么在 0A? 的前提下，顯然右下區(qū)域就是可以用不等式 0Ax By C? ? ? 來表示，左上區(qū)域那就是0Ax By C? ? ? ， 這樣的一個代數(shù)化，完全可以做的。所以這就反映出我們在進行代數(shù)化的這種訓(xùn)練的時候呢，要首先有一個臺階，給學(xué)生搭一個臺階，就是你要思考，在你面臨問題 中 的幾何的東西是什么，而不要上來就想去算。 所以從學(xué)生解決這個問題所遇到的障礙，我們就可以看出在學(xué)生的頭腦中沒有一個比較明確的解析幾何的方法， 而 這也正是我們教學(xué)中要 堅持不懈 強調(diào)的，堂堂都要落實的東西。要落實什么呢？不是說 把 概念說的一清二楚，背的滾瓜爛熟，不是這些東西，我們要培養(yǎng)學(xué)生會想問題，而這個想問題呢，不是泛泛 地 想問題，每個學(xué)科都有每個學(xué)科的特征，特點，思維方法。所以我們在每個學(xué)科的教育中教給學(xué)生怎么想。所以在這個解析幾何的教學(xué)中，其實就像跟函數(shù)的教學(xué)類似，函數(shù)研究方法剛才我們談到，不管是給解析式，還是給圖象，你要干嗎呢？要研究性質(zhì)。解析幾何絕對不是上來就算，而是要研究 幾何 特征，從圖形，從方程，從數(shù)值上去研究幾何特點 ，再進行代數(shù)化 ， 最后 得出代數(shù)集。 高考考察解析幾何的時候，往往很關(guān)注這門學(xué)科的思維特征的，不 會拿解析幾何 作為一個送分題，如果咱們說有送分題的話，是要看你對這個學(xué)科的理解是不是到位了。 例題 6 直線 21ax by??與圓 221xy??相交于 ,AB兩點，且 AOB 是直角三角形，則點 ( , )Pab 與 (0,1) 的距離最大值 __________。 我們來看一個例子，這是海淀的 10 年的，第一屆課標版的高考的海淀 一模文科 第八題。 函數(shù)和解析幾何兩種 思路其實都有意義。如果用函數(shù) ， 就 是認為這個最值是由坐標產(chǎn)生的， 所以這個距離呢，可以用 a、 b 表達出來， 22( 1)d a b? ? ? 。 就需要找到 a、 b 的等量關(guān)系，得代換，不能兩個變量，兩個自變量 。 他們的等量關(guān)系在哪兒呢？就在第一句話中去找，什么叫做直線和 圓相交于 A、 B 得到直角三角形。這個時候又回到我們剛才那個圖形分析中了， 要分析 幾何含義，不要上來就 計算 。 別急著用弦長公式， 那么 O 點到 AB 距離，這才是最好用的一個辦法 , 12OC AB? 。那這樣的話， 0 到直線距離不 就是 22 嗎？馬上就可以找到一個 a、b 的等量關(guān)系。好，那也就是 22ab??，從而找剛才那個解析式，包括定域，自變量的范圍都找到了。用函數(shù)的想法就解決了 ， 當(dāng)然，計算量稍大一點。但我覺得這個也是我們值得學(xué)生掌握的一種代法。如果要從解析幾何的角度來看呢，那我就要找點 A、 B 規(guī)律，軌跡。同樣你還是要找 A、 B 滿足的等量關(guān)系，也就是還是剛才的那個方程， 22ab??， 意味著什么呢？其實就是 a 不就是橫坐標，b 不就是縱坐標嗎，相當(dāng)于這個點滿足 22 12yx ??，是個橢圓。這時就把這個最值問題產(chǎn)生了又一個代數(shù)的一個數(shù)值的變化，最后變成一個點的運動的變化 ， 當(dāng)然就要用到軌跡了。 這 實際上是一個立著的橢圓 ， (0,1) 點也有他的特征了 ， 是橢圓的一個焦點 。所以 橢圓 上的動點到焦點 距離的最大值，或者是最小值都一目了然 了 。 所以如果我們的學(xué)生經(jīng)過我們的解析幾何的教育教學(xué)，能夠建立起這種學(xué)科的觀點，學(xué)科的修養(yǎng)的話，這說明他會想一個問題了，他可以從變量的角度想，也可以從一個運動的點去想問題，這就是我們要達到的教學(xué)目標。 三、 如何進行有效的觀念性教學(xué) 真正有意義的教學(xué)是觀念性的教學(xué) 。 縱觀我們的數(shù)學(xué)課堂，我認為 數(shù)學(xué)教學(xué)可以分為兩類：一類是圖解知識的教學(xué)。上這種課的數(shù)學(xué)教師不能說不努力備課，不鉆研教材，但他的教學(xué)水平是停留在怎樣把課本的概念講得再清楚一些，讓學(xué)生記住、會應(yīng)用，并通過大量的練習(xí)讓學(xué)生掌握。做這樣的老師的學(xué)生，很少能夠感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂。 還 有一類數(shù)學(xué)課堂是教給學(xué)生觀念的，這樣的數(shù)學(xué)課能夠讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的快樂。這種快樂是思維的快樂，是邏輯的快樂。教師的責(zé)任不是讓學(xué)生的數(shù)學(xué)考試考高分，如果有人這樣認為的話，那是對自己為之工作一生的職業(yè)的誤解，也是對自己存在價值的褻瀆！數(shù)學(xué)教師要能夠幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，要讓 學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維思考問題，通過你的數(shù)學(xué)課堂，學(xué)生能夠為邏輯的力量所折服，所傾倒！數(shù)學(xué)考試得高分不是我們教學(xué)的目的，讓學(xué)生真正從內(nèi)心喜歡思考、喜歡數(shù)學(xué)、學(xué)生的思維具有邏輯性才是我們數(shù)學(xué)教師存在的價值。 我認為數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該 是“觀念性”的 ，我將這種教學(xué)稱為“觀念性的教學(xué)”。學(xué)生可能在上課之前沒有形成一個很好的觀念，或者有一個錯誤的觀念，那么我們必須去 改變 。上一部分，我講了若干數(shù)學(xué)知識的教學(xué)案例與題型，就是為了讓大家感受到數(shù)學(xué)思維的核心價值。 如何才能進行有效的觀念性教學(xué)呢 ？以下是我總結(jié)的幾條途徑與關(guān)鍵點： 1. 教學(xué) 富有意義前提是 為了讓 學(xué)生能夠理解問題 如果上課僅僅是做題，講解解題過程，而沒有講知識的本質(zhì)，沒有給學(xué)生揭示出思維層次的東西，那么學(xué)生很難達到對具體知識的深刻理解。我們的課堂教學(xué)不是為了把正確的解題過程或者正確的思想完全“復(fù)制”到學(xué)生的頭腦中。 但是 我們常?？吹揭恍W(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)總是停留在記結(jié)論，記公式，套用一些解題的方法，學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解很淺薄，不深入，看不到數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的東西，掌握不了數(shù)學(xué)思考問題的思維方式。 例如在平移變換中僅記住“左加右減”口訣，在三角函數(shù)伸縮變換中僅知道 y=sin2x 可以縱坐標不變，橫坐標伸長兩倍得到y(tǒng)=si