【正文】 ，才知道那是周期。 函數(shù)的周期性也是教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，進(jìn)行三角函數(shù)的時(shí)候，要引入周期函數(shù)的概念。 學(xué)生應(yīng)該知道，當(dāng)這個(gè)函數(shù)的自變量， x 分別取以 1 為中點(diǎn)的兩個(gè)自變量的值的時(shí)候，函數(shù)值應(yīng)該是相等的，讓學(xué)生試圖這樣去想。就是 ()fx圖象關(guān)于 1x? 對(duì)稱，看著好像挺懸乎的，其實(shí)是自變量 x 取了兩個(gè)相反數(shù)，一個(gè) 1x? ，一個(gè)是 1x? ，函數(shù)值相等。其代數(shù)表達(dá)式的含義是：當(dāng)自變量取互為相反數(shù)的兩個(gè)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等，這就是偶函數(shù)的本質(zhì)；再?gòu)膸缀蔚慕嵌瓤?，在偶函?shù)的圖象上，總有這個(gè)的兩個(gè)點(diǎn)， ( , ( ))x f x 和 ( , ( ))x f x??，這兩個(gè)點(diǎn)是關(guān)于 y 軸對(duì)稱的。要讓學(xué)生既能夠從代數(shù)的角度認(rèn)識(shí)偶函數(shù)的本質(zhì)，又要能夠從偶函數(shù)的本質(zhì)出發(fā)理解其圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱的原因。那么我們就可以問 學(xué)生，這樣的兩個(gè)點(diǎn)的特征是什么？這樣的點(diǎn)當(dāng)然不僅是一個(gè)或者一組， 從而得到圖像本身是原點(diǎn)對(duì)稱的。 我們應(yīng)該要讓學(xué)生 從這個(gè)函數(shù)表達(dá)式，符號(hào)語(yǔ)言中分析出來(lái) 。 這才是奇函數(shù)的本質(zhì)，或者說(shuō)是它 的代數(shù)特征。原因在哪里？顯然是在老師身上，老師不讓他這么想。 比如 說(shuō)函數(shù)的奇偶性， 我們現(xiàn)在要問一個(gè)高三學(xué)生，什么叫奇函數(shù)，好一點(diǎn)的學(xué)生能說(shuō)出 ( ) ( )f x f x? ?? ， 但是大部分答的是 “ 定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 ”或者“ 圖象 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 ” 。 在函數(shù)的教學(xué)中如何體現(xiàn)函數(shù)的思維特征呢？關(guān)鍵是教學(xué)中要能夠揭示自變量是如何引起因變量變化的，要關(guān)注自變量以及因變量的關(guān)系 。 2. 函數(shù) 部分知識(shí)的思維特征 函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，常定位為重點(diǎn)內(nèi)容，核心內(nèi)容，主軸內(nèi)容 。 對(duì)于一個(gè)剛步入高中的 學(xué)生來(lái)說(shuō)，如果他面臨的是 這么 淺顯的 教學(xué) ，他可能會(huì)覺得 太簡(jiǎn)單了 。如果 老師就講到這個(gè)層面的話，那就一點(diǎn)數(shù)學(xué)思維的東西都沒有。 這樣 非常直觀，也的確易于掌握 ，但是這樣的教學(xué)呢，學(xué)生就沒有機(jī)會(huì)去體會(huì)和研究集合的思維方法及思維方式。 舉一個(gè)課例， 我們來(lái)探討一下這個(gè)課是簡(jiǎn)潔還是簡(jiǎn)單 。再 比如說(shuō) 集合 的運(yùn)算也滲透著 利用集合 和元素的關(guān)系來(lái)判斷 集合 之間的關(guān)系，然后再進(jìn)行 集合 之間的運(yùn)算。 1. 集合 部分知識(shí)的思維特征 高一就要開始學(xué)習(xí)集合， 在集合 內(nèi)容 的教學(xué)中，我們應(yīng)該教給學(xué)生什么樣的思維層面的東西？ 其實(shí) 集合的定義已經(jīng)告訴我們集合由對(duì)象的全體構(gòu)成，所以對(duì)象是 集合 的本質(zhì)。 對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高起決定作用的是學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平的提高，在這一點(diǎn)上，作為數(shù)學(xué)教師要有充分的認(rèn)識(shí) 。我想我們應(yīng)該將教學(xué)的目標(biāo)放得更高遠(yuǎn)一些。我認(rèn)為每一個(gè)有責(zé)任心、立志當(dāng)一名好的數(shù)學(xué)老師，上每節(jié)課之前，每次接觸學(xué)生之前，應(yīng)該重新思考一下“你的數(shù)學(xué)教育目的是什么”這個(gè)問題。我們教學(xué)的價(jià)值最終要?dú)w于讓學(xué)生愛聽，激發(fā)他們對(duì)學(xué)科的興趣，這樣才能讓他們從中真正受益，學(xué)到東西。這種方式也許能夠幫 助學(xué)生得到一個(gè)滿意的高分，但從實(shí)際長(zhǎng)遠(yuǎn)價(jià)值來(lái)看，我認(rèn)為沒有太大的意義。這樣一種教導(dǎo)，實(shí)際上就是引導(dǎo)學(xué)生靠“記”，靠“勤奮”來(lái)學(xué)習(xí)。 在學(xué)生學(xué)習(xí)最佳的年齡階段，我們讓他們記憶了大量的東西，做了大量重復(fù)性的習(xí)題，而其中很多練習(xí)都是沒有什么思維含量的，大量都是模仿、重復(fù)。某種程度上說(shuō)，我們當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際上是一種失敗的教育。那么，什么才能叫做有用？我認(rèn)為是教師教給他們的一種思維，這種思維能夠讓學(xué)生們建立起一種扎實(shí)的邏輯思維的基礎(chǔ)。 實(shí)際上，一個(gè)學(xué)生在高考數(shù)學(xué)中考了滿分，作為老師的我們，也沒有任何值得夸耀的。這樣如此反復(fù)，一節(jié)課做三道題，雖然有師生交流，但那無(wú)非就是說(shuō)說(shuō)解答過程。 現(xiàn)在很多數(shù)學(xué)課都不像課，而像“題”。數(shù)學(xué)教學(xué)本身承載的教育的價(jià)值和教學(xué)的意義應(yīng)該遠(yuǎn)大于此。 當(dāng)前，社會(huì)更關(guān)注學(xué)生的分?jǐn)?shù)，教師也更加在意學(xué)生是不是能取得一個(gè)比較滿意的成績(jī)。 想到這個(gè)主題與我做教研員，經(jīng)常到一線聽課、交流的經(jīng)驗(yàn)有關(guān)。數(shù)學(xué)思維的特征與方法 張鶴 一、 目前數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)狀 大概是去年（ 2020 年）十月份左右，我給國(guó)培班講的是“通過課例分析講有意義的教學(xué)”，主題是關(guān)鍵性教學(xué)。這次我稍作調(diào)整，從數(shù)學(xué)教學(xué)的這個(gè)層面和各位老師做一個(gè)交流，題目是“數(shù)學(xué)的思維特征與方法”。我發(fā)現(xiàn)現(xiàn)在的數(shù)學(xué)課堂上存在一個(gè)很值得關(guān)注的問題，即數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)中，缺乏對(duì)學(xué)生學(xué)科思維、學(xué)科觀念的培養(yǎng)。然而，數(shù)學(xué)教師在數(shù)學(xué)課堂的教學(xué) 所 承載的責(zé)任或者說(shuō)是使命，絕對(duì)不是僅僅是一個(gè)分?jǐn)?shù)。數(shù)學(xué)教學(xué)如果僅僅為了一個(gè)升學(xué)目標(biāo)或者成績(jī)，那么老師們的心態(tài)就容易變得非常浮躁。上課就是講題，上來(lái)“咔”一道題，學(xué)生就開始做，做完以后，老師講解，再來(lái)一道題，學(xué)生們?cè)僮?。這樣的課堂沒有整體性， 更沒有思維的碰撞。而作為一名教師真正值得驕傲的是，你教的這個(gè)班學(xué)生在畢業(yè)了之后，甚至走上大學(xué)之后，確實(shí)能感覺到，老師教的東西在大學(xué)、甚至在將來(lái)走向工作之后都非常有用?！案叻值湍堋?，很早就有這種提法了，就是說(shuō)學(xué)生到了大學(xué)不會(huì)學(xué)習(xí)，而這個(gè)問題的端倪很可能出現(xiàn)在中學(xué)。這種失敗就在于我們僅僅滿足于應(yīng)試，滿足于一個(gè)好的分?jǐn)?shù)，而沒有 教 給學(xué)生思維的方法。數(shù)學(xué)有很多公式，學(xué)生題做不好，我們老師就說(shuō)“你怎么沒記下來(lái)”，或是“我講的你怎么沒記住”、“我昨天剛講的你怎么就又忘了”等等。什么叫勤奮呢？就是多做題，而那個(gè)題往往是重復(fù)性的，大量都是模仿、重復(fù)，為了一個(gè)公式在那兒來(lái)回的套用。 所以我認(rèn)為，從目前課堂教學(xué)現(xiàn)狀來(lái)看，一個(gè)很重要的問題就是：教師應(yīng)該樹立一個(gè)“好”的數(shù)學(xué)教育 理念 。我認(rèn)為當(dāng)前許多老師對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)理解存在一個(gè)非常大的偏差，就是認(rèn)為教學(xué)的目標(biāo)在于讓學(xué)生會(huì)做題，取得好成績(jī)。這不僅是每一位老 師需要思考的，更是我們整個(gè)行業(yè)應(yīng)該反思的。 二、 數(shù)學(xué)知識(shí)的思維特征 與觀念性教學(xué) 教師的 數(shù)學(xué) 教學(xué)任務(wù)，很大的程度上是要通過你的教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的各個(gè)學(xué)科的思維特征，并能夠用這種學(xué)科的思維方法理解數(shù)學(xué)問題并解決數(shù)學(xué)問題 。 下面我就高中數(shù)學(xué)中的幾個(gè)重要的單元的思維特征談一 談 自己的認(rèn)識(shí)和理解，供老師們參考 。在談 集合 之間的關(guān)系的時(shí)候，無(wú)論是子集關(guān)系或者是真子集關(guān)系也好， 核心 都是元素，一個(gè) 集合 的元素和另外一個(gè) 集合 之間具備著什么關(guān)系。這就是我們?cè)?集合 教學(xué)中要滲透的，而不僅僅是告訴學(xué)生交集、并集、補(bǔ)集的概念。 教師板書“補(bǔ)集運(yùn)算”，先告訴學(xué)生全集 的 概念，然后下面就說(shuō)什么叫補(bǔ)集運(yùn)算呢？給了一個(gè)全集、集合A 和集合 B，集合 A 的補(bǔ)集、集合 B 的補(bǔ)集。也就是通過元素與幾何集合的關(guān)系來(lái)刻畫幾何集合之間的關(guān)系，以及幾何集合 的運(yùn)算。 盡管 學(xué)生可能會(huì)很熟練進(jìn)行交并補(bǔ)的運(yùn)算，但無(wú)從知道這種運(yùn)算背后的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)和數(shù)學(xué)原理。集合 本身 是一種 很重要 的數(shù)學(xué) 語(yǔ)言， 雖然概念比較簡(jiǎn)單 ， 但是必須讓學(xué)生 感受到 里面蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思維 。函數(shù) 部分知識(shí) 的價(jià)值毋庸置疑， 函數(shù)在我們數(shù)學(xué)教學(xué)中盡管是講的比較多的內(nèi)容，但這部分內(nèi)容對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，不管是高一的學(xué)生還是高三的學(xué)生，學(xué)習(xí)的效果總是不佳，原因何在呢？ 這里最大的問題就是教師在函數(shù)教學(xué)的過程中無(wú)法滲透思維層面的東西，思維的含量的東西講不出來(lái)。對(duì)于函數(shù)性質(zhì)的討論，我們要教給學(xué)生用函數(shù)的思維去解決函數(shù)性質(zhì)的有關(guān)問題，因此在函數(shù)這一單元的學(xué)習(xí)或復(fù)習(xí)中，教學(xué)的重點(diǎn)是要讓學(xué)生理解并逐步掌握函數(shù)的思維特征，即：理解函數(shù)問題、研究函數(shù)問題、就要分析函數(shù)在自變量變化下函數(shù)值相應(yīng)的變化。學(xué)生答的是 圖象 ，而最原始、最本質(zhì)的東西反而不知道。我們應(yīng)該讓學(xué)生把這種符號(hào)的語(yǔ)言，用自己的語(yǔ)言表述，如果 ()fx是奇函數(shù)，那么它的自變量 x 取相反的兩個(gè)值的時(shí)候，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相反。為什么 函數(shù)圖象 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱呢？不是拿計(jì)算機(jī)演示一下就是這個(gè)結(jié)果，那是結(jié)論。 ()fx在直角坐標(biāo)系下的幾何含義是什么？是 ( , ( ))x f x 這一個(gè)動(dòng)點(diǎn) ， ()fx? 在直角坐標(biāo)系下 是點(diǎn) ( , ( ))x f x??。 我們還可以拓展這個(gè)問題： 1) (2 1)fx? 是奇函數(shù)，能不能用符號(hào)語(yǔ)言來(lái)描述？ 2) 如果 ()fx關(guān)于 (0,1) 對(duì)稱， 那么 ()fx滿足什么性質(zhì)？ 3) 若 ( ) ( ) 0f a x f a x? ? ? ?，那么 這個(gè)函數(shù)的 ()fx的圖象 有什么性質(zhì)，函數(shù)有什么性質(zhì)？ 4) 將上題改成 ( ) ( ) 2f a x f a x b? ? ? ?呢？ 同樣，對(duì)于 ()fx是偶函數(shù)也在教學(xué)中用函數(shù)思維的角度去落實(shí)。如果 ()fx滿足 ( ) ( )f x f x?? ，那么稱這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)。 我們多做這樣一些練習(xí)，比如 (1 ) (1 )f x f x? ? ?。反過來(lái)，如果不是這個(gè) ()fx，是 ( 1)fx? ，或者 都可以試著讓學(xué)生寫出描述性語(yǔ)言。然后學(xué)生便可以取以 1 為中點(diǎn)的兩個(gè)自變量， x 、 2x? 也行， 1x? 、 1x? 也可以，學(xué)生便可以真正體會(huì) ()fx是關(guān) 于 1x? 對(duì)稱的。老師在教學(xué)中，一個(gè)問題是容易講錯(cuò)，另一個(gè)問題是容易非常激進(jìn)和機(jī)械。我們要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，其實(shí)這個(gè)括號(hào)里面的兩個(gè)值，自變量取得兩個(gè)值，他什么樣的都行。先看看這兩個(gè)自變量，是相等，是和為常數(shù)，還是差為常數(shù)。我們要解放學(xué)生的思維，而不是擰，或者是讓學(xué)生的思維僵化。如果 寫(2 3 2) (2 3 )f x f x? ? ? ?那絕對(duì)是錯(cuò)誤的。當(dāng) x 分別取 x ， 2x? ，函數(shù)值相等，這就是周期概念。你寫符號(hào)，得讓學(xué)生會(huì)讀。如果我們當(dāng)數(shù)學(xué)課是一種 類似英語(yǔ)一樣的 語(yǔ)言學(xué)科的話，那么學(xué)生沒讀懂函數(shù)符號(hào)，就等于完全沒學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的語(yǔ)言。 思維層面提供思維特征至關(guān)重要，如果一個(gè)函數(shù) ()y f x? ，滿足函數(shù)值相等的話，那么我們要分析這個(gè)函數(shù)的兩個(gè)自變量 1x 和 2x 的關(guān)系。那么這個(gè)自變量如果和為常數(shù)，它就是關(guān)于點(diǎn) (, )ab 為中心，如果差為2T，是個(gè)常數(shù)，那么周期就是 T 。 接下來(lái)我 再談?wù)労瘮?shù)的研究方法 。圖像語(yǔ)言可能就是這種描述性語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言之間的關(guān)系，中間的過渡可能借助于圖像語(yǔ)言，函數(shù)圖象可以不畫，但是不能不想。為什么產(chǎn)生了特值法，產(chǎn)生了特殊函數(shù)法，往往就是回避函數(shù)的符號(hào)語(yǔ)言，但是其實(shí)這樣的教學(xué)實(shí)際上是回避了教學(xué)的本質(zhì)。 從研究方法來(lái)看，我認(rèn)為可以從兩個(gè)途徑來(lái)研究函數(shù)。從解析式研 究，不是拿解析式去畫圖，有的解析式是畫不了圖的，而是要研究函數(shù)的性質(zhì)。因?yàn)槭紫纫春瘮?shù)整體，如果明明是個(gè)偶函數(shù)，還從負(fù)無(wú)窮到正無(wú)窮去研究它的單調(diào)性，那就顯得復(fù)雜了。如果具備，那再研究單調(diào)性，那就縮小了研究的范圍。最后畫示意圖，把這些性質(zhì)直觀地呈現(xiàn)出來(lái)。研究函數(shù)的性質(zhì)，利用性質(zhì)的一些特征，去畫示意圖，就完全可以解決問題了，所以沒必要讓學(xué)生用描點(diǎn)法來(lái)畫復(fù)雜的函數(shù)圖象。當(dāng)然那個(gè)也能做對(duì)，因?yàn)樗麑?shí)際上是對(duì)任何情況都是這樣的。 學(xué)生還是以計(jì)算作為解決 數(shù)學(xué)問題的主要方法。畫圖本身，給解析式畫圖，也是一種訓(xùn)練，畫出一個(gè)圖象，一看是單調(diào)遞增，那我們也可以問學(xué)生，如果不畫圖，你能不能研究出它的性質(zhì)。那我們看一下這道題，從這個(gè)問題來(lái)看，首先，要用性質(zhì)來(lái)解決，所以要探索這個(gè)函數(shù)，特別是是跟單調(diào)性有關(guān)的性質(zhì)，畫圖是一種辦法。