【正文】 是圖解知識(shí)的教學(xué)。 所以如果我們的學(xué)生經(jīng)過(guò)我們的解析幾何的教育教學(xué)，能夠建立起這種學(xué)科的觀點(diǎn)，學(xué)科的修養(yǎng)的話，這說(shuō)明他會(huì)想一個(gè)問(wèn)題了，他可以從變量的角度想，也可以從一個(gè)運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)去想問(wèn)題，這就是我們要達(dá)到的教學(xué)目標(biāo)。 這 實(shí)際上是一個(gè)立著的橢圓 ， (0,1) 點(diǎn)也有他的特征了 ， 是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn) 。同樣你還是要找 A、 B 滿足的等量關(guān)系，也就是還是剛才的那個(gè)方程， 22ab??， 意味著什么呢？其實(shí)就是 a 不就是橫坐標(biāo)，b 不就是縱坐標(biāo)嗎，相當(dāng)于這個(gè)點(diǎn)滿足 22 12yx ??，是個(gè)橢圓。但我覺(jué)得這個(gè)也是我們值得學(xué)生掌握的一種代法。好，那也就是 22ab??，從而找剛才那個(gè)解析式，包括定域，自變量的范圍都找到了。 別急著用弦長(zhǎng)公式， 那么 O 點(diǎn)到 AB 距離，這才是最好用的一個(gè)辦法 , 12OC AB? 。 他們的等量關(guān)系在哪兒呢？就在第一句話中去找，什么叫做直線和 圓相交于 A、 B 得到直角三角形。如果用函數(shù) ， 就 是認(rèn)為這個(gè)最值是由坐標(biāo)產(chǎn)生的， 所以這個(gè)距離呢，可以用 a、 b 表達(dá)出來(lái)， 22( 1)d a b? ? ? 。 我們來(lái)看一個(gè)例子，這是海淀的 10 年的，第一屆課標(biāo)版的高考的海淀 一模文科 第八題。 高考考察解析幾何的時(shí)候，往往很關(guān)注這門(mén)學(xué)科的思維特征的，不 會(huì)拿解析幾何 作為一個(gè)送分題，如果咱們說(shuō)有送分題的話，是要看你對(duì)這個(gè)學(xué)科的理解是不是到位了。所以在這個(gè)解析幾何的教學(xué)中，其實(shí)就像跟函數(shù)的教學(xué)類(lèi)似，函數(shù)研究方法剛才我們談到，不管是給解析式，還是給圖象，你要干嗎呢？要研究性質(zhì)。要落實(shí)什么呢？不是說(shuō) 把 概念說(shuō)的一清二楚，背的滾瓜爛熟，不是這些東西，我們要培養(yǎng)學(xué)生會(huì)想問(wèn)題，而這個(gè)想問(wèn)題呢，不是泛泛 地 想問(wèn)題，每個(gè)學(xué)科都有每個(gè)學(xué)科的特征，特點(diǎn)，思維方法。所以這就反映出我們?cè)谶M(jìn)行代數(shù)化的這種訓(xùn)練的時(shí)候呢，要首先有一個(gè)臺(tái)階，給學(xué)生搭一個(gè)臺(tái)階，就是你要思考，在你面臨問(wèn)題 中 的幾何的東西是什么，而不要上來(lái)就想去算。 其實(shí)如果從幾何的角度來(lái)看，直線在平面上，直線把平面呢分成了兩部分，分成了兩個(gè)區(qū)域。 學(xué)生覺(jué)得其實(shí)都已經(jīng)代數(shù)化了 。我想應(yīng)該是拿到幾何對(duì)象，直線圓橢圓曲線這樣的幾何對(duì)象之后， 先研究幾何特征， 而這個(gè)幾何特征可以從幾個(gè)角度能得到 。老師甚至指導(dǎo) ，像那個(gè)大題， 一上去就 就聯(lián)立，聯(lián)立算到哪兒不行就算了，趕緊做下一題。有方 程就聯(lián)立，就坐標(biāo)就代入。從研究方法來(lái)來(lái)看，拿到一個(gè)幾何對(duì)象以后，我要進(jìn)行代數(shù)化，要進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，那么怎么來(lái) 完成這個(gè)代數(shù)化 。動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)形成軌跡，那么在直角坐標(biāo)系下呢，就需要知道到底形成 了什么樣的軌跡，從而就設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，找到橫坐標(biāo)滿足的等量關(guān)系方程，再 由方程來(lái)判斷形成了什么樣的 軌跡 。 好，那我下面就講一下解析幾何的我的一些想法。說(shuō)實(shí)話，這個(gè)課學(xué) 生還聽(tīng)不出來(lái)呢，學(xué)生根本也不知道解析課應(yīng)該是這樣上，還是那樣上， 但 是最為老師，必須要知道 。 我們發(fā)現(xiàn) 很多老師其實(shí)講不出東西來(lái)，講的都是那種算的層面的東西，而講不出這種學(xué)科的 思維 。王建彬老師跟我們 說(shuō)過(guò)這么一句話，你要想 看一個(gè)老師的水平，就讓他上一節(jié)解析幾何課 就夠了，聽(tīng) 15 分鐘就能把老師的水平查的一清二楚。 接下來(lái)，由 2 016y ? ， 可以 得出 x 的范圍，由 2 025x ? ，得出 y 的范圍 ， 然后得出 55x? ? ? ， 44y? ? ? 的時(shí)候，我們?cè)僮寣W(xué)生去理解 橫縱坐標(biāo) 的范圍內(nèi) ，這個(gè) 矩形應(yīng)該是這樣出來(lái)，而不是你畫(huà)出來(lái)的。 頂點(diǎn)也是這樣的，頂點(diǎn)是什么？從定義來(lái)看，應(yīng)該是對(duì)稱軸和曲線的交點(diǎn)，所以你要求頂點(diǎn)坐標(biāo)那就是點(diǎn)與方程。其實(shí)從這個(gè)方程我們就可以看到，你把 x?代入方程的左端，方程還是成立， y? 也成立， ( , )xy?? 往里代還是成立。對(duì)吧，圓的方程你講了，直線方程你講了，相對(duì)于這些方程，那么這個(gè)曲線方程的特征是什么？要看的是方程，而絕對(duì)不是橢圓。我們知道解析幾何的學(xué)科特點(diǎn)是什么呢？是用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題，所以我們?cè)诮馕鰩缀谓虒W(xué)的時(shí)候， 無(wú)論是介 紹 橢圓性質(zhì) 或者是雙曲線性質(zhì)，我們都要傳授給學(xué)生的 學(xué)科思維是什么呢？是怎么樣 用 代數(shù)的方法，用方程去研究 幾何 性質(zhì)。然后我們還是 看他的學(xué)案 ， 你會(huì)發(fā)現(xiàn)整節(jié)課他都是 讓學(xué)生觀察 圖形。這一上課學(xué)生拿出昨天晚上做的那個(gè)橢圓，就在屏幕上演示，老師來(lái)說(shuō)一說(shuō)那畫(huà)的不好。 你看這個(gè)老師很年輕，大概是四年前做的一節(jié)課，這是他 的學(xué)案 ，彩色字是我當(dāng)時(shí)筆記的。 3. 解析幾何 部分知識(shí)的思維特征 我覺(jué)得解析幾何 部分知識(shí) 挺好的，我感觸挺深的，所以 一定要跟老師們分享 。 總的來(lái)說(shuō)， 函數(shù)的教學(xué)要突出函數(shù)的學(xué)科觀點(diǎn)，讓學(xué)生在我們的函數(shù)的教學(xué)過(guò)程中，能夠始終感受到兩個(gè)相互依賴的變量，其中一個(gè)變量的變化引起另外一個(gè)變量的變化 。因?yàn)橹行膶?duì)稱都設(shè)計(jì)到兩個(gè)自變量是否關(guān)于那個(gè)點(diǎn)橫坐標(biāo)對(duì)稱的問(wèn)題，顯然，是以 712x ?? 為對(duì)稱。 還 可以算周期，周期 23? ，然后呢，我可以把 (0)f 這個(gè)自變量 0 移到圖象那邊去，移到 23? 。這么去做這道題消耗的時(shí)間很大，很不合算，而實(shí)際上 即使 你平時(shí)做也不應(yīng)該這么想，還是應(yīng)該想什么呢？這個(gè)圖象的性質(zhì)是什么？他的性質(zhì)一方面從圖來(lái)看，一方面從解析式來(lái)看， 余弦型函數(shù)與 x 軸的 交點(diǎn)都是函數(shù)的零點(diǎn) ， 說(shuō)錯(cuò)了，說(shuō)零點(diǎn)沒(méi)意義，都是對(duì)稱中心。 例題 5 已知函數(shù) ( ) cos ( )f x A x????的圖像如圖所示， 2()23f ? ??，則(0)f ? A． 23? B． 23 C． 12? D． 12 這道 高 考題非常好 ， 但是后來(lái)發(fā)現(xiàn)有的省市模仿這道題，就顯得不夠創(chuàng)新了，這個(gè)已經(jīng)很好的例子了。 要看到什么呢？其實(shí)應(yīng)該看到這個(gè)函數(shù) 的兩個(gè)極值點(diǎn)，一個(gè)是負(fù)的一個(gè)是正的，一個(gè) 絕對(duì)值大，負(fù)的絕對(duì)值大，正的絕對(duì)值小 ， 甚至可以把導(dǎo)函數(shù)圖象畫(huà)出來(lái)。這就是學(xué)生沒(méi)有完全是一種處于計(jì)算，他對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解，僅僅是那些數(shù)值而已，沒(méi)有 其它 的含義。這 其實(shí)是 源于導(dǎo)函數(shù)，第一個(gè)導(dǎo)函數(shù) 是 開(kāi) 口 朝上拋物線，第二個(gè)開(kāi) 口 朝下拋物線。當(dāng)你看到這樣兩個(gè)圖象的時(shí)候，你對(duì)這個(gè)函數(shù)解析式的比如某些系數(shù)是不是就有認(rèn)識(shí)?？粗芷诟陕锸?的，是為了化簡(jiǎn)用，不是為了算。所以 看到圖象 ， 肯定知道對(duì)稱性了，這是能看 出來(lái)的。 所以我覺(jué)得老師有的時(shí)候一定要堅(jiān)定自己的一些教師的想法。 如果前面算一種解法的話，那我覺(jué)得 教師對(duì) 那種解法實(shí)際上是要持批判態(tài)度的 。 當(dāng)問(wèn)題是( ) ( )f a f a??，求 a 的范圍 時(shí)， 學(xué)生 總是 這邊 a ，那邊 a? 一起來(lái)想這個(gè)問(wèn)題 ，那就很吃力了。其實(shí)就馬上能發(fā)現(xiàn)這個(gè)函數(shù)其實(shí)是一個(gè)奇函數(shù)。 學(xué)生 會(huì) 把兩個(gè)圖象都畫(huà)出來(lái)，費(fèi)了半天勁。 所以要讓我 們的學(xué)生 學(xué)會(huì) 分 析函數(shù)性 質(zhì) 。而 2 是誰(shuí)呢？是 (0)f ， 圖都不用畫(huà)。 我這個(gè)圖 是比較標(biāo)準(zhǔn)的一個(gè)圖形。需要一個(gè)什么樣的性質(zhì)呢？單調(diào)性。這樣的做法其實(shí)是把這個(gè)分段函數(shù)看成了兩個(gè)函數(shù)。 例題 3 設(shè)函數(shù) 122 , 1() 1 lo g , 1x xfx xx?? ?? ? ???，則滿足 ( ) 2fx? 的 x 的取值范圍是 A． [ 1,2]? B． [0,2] C． [1, )?? D． [ , )x?? 像這道去年全國(guó)地方的高考題，是一個(gè)分段函數(shù)，其實(shí)這題誰(shuí)都會(huì)做，也做不錯(cuò)啊，但是我覺(jué)得這里面呢，就是老師的那種思維的導(dǎo)向要清楚 。利用 2xye? 的單調(diào)性 我們馬上就可以逐步的畫(huà)出 函數(shù)的圖象， 由于你已經(jīng)知道是奇函數(shù)了，你就只要看 y 軸右側(cè)了。所以我們也說(shuō)這個(gè)化簡(jiǎn)意識(shí)的可貴 ， 我們必須要要求學(xué)生能夠有這種化簡(jiǎn)的意識(shí)，到處都是自變量，那為什么 不減少它，這是分式，完全可以做變形 ，所以上下同乘 xe ，然后再利用這個(gè)把分母湊出來(lái)，配出來(lái)，這樣的話， 只有 一個(gè)位置上有 x 。這是一個(gè)奇函數(shù)，但是單調(diào)性是個(gè)難點(diǎn)。 這個(gè)函數(shù)解析式 源自 山東的 09 年左右的一道高考 選擇題，是給了一個(gè)解析式，給了四個(gè)圖。所以我覺(jué)得在函數(shù)解析式的教學(xué)中 ，老師的這個(gè)教學(xué)的思維的焦點(diǎn)，一定要明確。我們稍微改一下這個(gè)問(wèn)題，就能逼著學(xué)生去分析它的奇偶性， 2(2 ) ( ) 0f a f a? ? ?怎么辦？要讓學(xué)生看到，我首先把這個(gè)式子變成 2(2 ) ( )f a f a? ? ? ，那這個(gè)負(fù)號(hào)如果能進(jìn)去，那當(dāng)然就可以用剛才的辦法。單調(diào)性你知道，有沒(méi)有奇偶性呢 ？學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)自變量相反時(shí) ，函數(shù)值相反 ， 這個(gè)時(shí)候可能更比單純的解這道題有價(jià)值。其實(shí)如果學(xué)生有這種傾向，其實(shí)我們甚至可以就不提問(wèn)題， 我們可以僅給出解析式， 問(wèn)問(wèn)學(xué)生，你能從這個(gè)解析式 得到 函數(shù) 的 什么性質(zhì)？有一學(xué)生說(shuō)那我畫(huà)圖，可以。這反映了學(xué)生 怎樣的思維呢？學(xué)生 缺乏研究函數(shù)性質(zhì)的意識(shí)。 例題 1 已知函數(shù) 2 224 , 0( ) , ( 2 ) ( ) ,4 , 0x x xf x f a f a ax x x? ???? ? ? ?? ???? 則 的 取 值 范 圍 . 很多學(xué)生奮不顧身的就要往里代，討論一下 22 a? 方和 a 是正還是負(fù)，思維靈活 一點(diǎn)的呢，討論四次，要是不管不顧的呢， 可能就瞎代一個(gè)，上頭一個(gè)，下頭一個(gè)就完了。比如說(shuō) siny x x?? ，和 1yxx?? 這種 兩個(gè)初等函數(shù)相加而成的 函數(shù)，老師其實(shí)有的時(shí)候就教給學(xué)生圖象 組合的那種方法，當(dāng)然本質(zhì)是就是描點(diǎn)法， 但這 實(shí)際上是增加教學(xué)難度。還要研究函數(shù)的周期性，研究函數(shù)值的分布。所以一定要先研究對(duì)稱性，特別是研究奇偶性。這個(gè)性質(zhì)一開(kāi)始要研究什么？要研究對(duì)稱性。一個(gè)是從解析式研究，一個(gè)是從圖象研究。到了高中階段，如果學(xué)生還沒(méi)有一種抽象的函數(shù)概念的話，到了大學(xué)怎么去學(xué)習(xí)？所以我覺(jué)得呢，這點(diǎn)是不能回避的。解決函數(shù)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，都在于語(yǔ)言的掌握。豎著 從思維的載體來(lái)看，也可以再加一個(gè)圖像語(yǔ)言。這是實(shí)際上我借著我自己總結(jié)的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，把剛才所說(shuō)的簡(jiǎn)單概括一下。如果這兩個(gè)自變量和為常數(shù)，比如說(shuō)等于 2a ，那這個(gè)函數(shù)的圖像就關(guān)于直線 xa? 對(duì)稱；如果差為常數(shù)12x x T??，周期為 T ；如果 12( ) ( ) 2f x f x b??，這還是看自變量，我們?cè)诮虒W(xué)中引導(dǎo)學(xué)生盯住自變量。 這張圖是我自己總結(jié)的函數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，豎著來(lái)看是思維層面的東西。我們常常出現(xiàn)一個(gè)問(wèn)題，教了三年的學(xué)生，他們也僅僅知道 x 可以取任意值，但不能完全讀懂符號(hào)。如果你寫(xiě) 1x? ，1x? ，可以，函數(shù)值還是相等的，這就是周期。 首先要讓學(xué)生看清哪個(gè)量 是自變量 ，自變量是 x 。反過(guò)來(lái)你要會(huì)描述，如果一個(gè)函數(shù)的最小正周期是 2，怎么表述？其實(shí)這每一次的問(wèn)題都是在逼著學(xué)生去想，誰(shuí)是 那個(gè)函數(shù)的自變量。如果和為常數(shù)，那么是對(duì)稱的；差為常數(shù)，那常數(shù)就是函數(shù)的周期。比如2Tx?和2Tx?，沒(méi)關(guān)系的，我不用費(fèi)力去還原。比如，認(rèn)為非得套著 ( ) ( )f x f x T??，才把那個(gè) T 對(duì)上