【文章內(nèi)容簡介】 ，事實(shí)上，在函數(shù)變化較快的地方需要較窄的窗口 。而在變化較慢的地方需要較寬的窗口。如何構(gòu)造一種隨原函數(shù)的頻率變化而變化的窗口函數(shù)，這從理論上要求將 Fourier 變換的核函數(shù)與窗口函數(shù)蹂合在一起考慮，這樣就導(dǎo)致了小波的產(chǎn)生 [2]。 濰坊學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 4 第二章 小波分析簡介 小波變換的定義 從第一章的分析知道，小波分析是對(duì) Fourier 分析的重要補(bǔ)充和改善。因此，小波變換的定義應(yīng)滿足這樣的條件 :小波基盡可能由少數(shù)的幾個(gè)函數(shù)生成 。理想的小波基應(yīng)是緊支的。類似于 Fourier 分析，小波分析主要 由兩個(gè)變換構(gòu)成，即連續(xù)小波變換和離散小波變換。連續(xù)的小波變換的形式化定義最早由 Morlet 和Grossman 提出。設(shè) ()x? 為變換的核函數(shù)，函數(shù) 2( ) ( )f x L R? 的連續(xù)小波變換定義為 ： 12( ) ( , ) ( ) ( )xR xbW f a b a f x da? ? ?? ? （ 21） 其中，核函數(shù) ()x? 要滿足的下面的容許條件。 定義 :設(shè)函數(shù) 2( ) ( )x L R? ? 滿足 ： ? ?2? () wRwCdw??? ? ?? （ 22） 則稱 ()x? 為基小波。（ ）式稱為容許條件。 小波變換的性質(zhì) 當(dāng)基函數(shù) ()x? 滿足容許條件時(shí)，離散的小波變換將 2()LR映射到 2()lR。即 若令 ： 2, , 0 ,( ) , ( ) ( )mm n m n m n xTf f a f x x d???? ? （ 23） 則 ? ? 2,( ) ( )mnTf l R? （ 24） 通常 T 的逆不存在。如果存在常數(shù) 0A,B? ，使得 222, ,mnm n ZA f f B f??? ? ? （ 25） 則 函數(shù)族 ? ?, :,mn m n Z? ? 稱為一個(gè)框架 。 以建立從小波系數(shù)重建原函數(shù)的數(shù)學(xué)方法。特別地， ,2( ) , ( )m n m nf x f x Rab ??? ? ?? （ 26） 濰坊學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 5 其中， R 為余項(xiàng)， ( 1)BR o fA??。 一般而言，小波函數(shù)族是相關(guān)的。如果函數(shù)族 ? ?, :,mn m n Z? ?是線性獨(dú)立的，則稱 ? ?, :,mn m n Z? ?為正交小波基。若 , , , ,m n l k m l n k? ? ? ?? （ 27） 則稱為規(guī)范正交基。 （ 1） 消失矩性質(zhì) 由小波變換的定義知，小波函數(shù) ()x? 滿足 ( ) 0R x? ??。 一般地，若對(duì)于所有0 km?? (m為非負(fù)整數(shù) )，均有 ( ) 0k xR x x d? ?? （ 28） 而 1 ( ) 0m xR x x d?? ?? （ 29） 則稱 ()x? 的消失矩為 m。 小波函數(shù)均有非負(fù)的消失矩。消失矩越大，則基于這樣的小波所對(duì)應(yīng)的函數(shù)分解對(duì)信號(hào)壓縮越有利。因?yàn)橐话愫瘮?shù)都可以由多項(xiàng)式函數(shù)逼近 (Taylor 定理 )，消失矩性質(zhì)表明了，次數(shù)不大于 m 的多項(xiàng)式在小波分解后，對(duì)應(yīng)的分支都?xì)w于零。 (2)正交性質(zhì) 設(shè) ()x? 為小波函數(shù)， ? ?:m mZ? ? 構(gòu)成一組規(guī)范正交基。并設(shè) , m n m nfd? ? （ 210） 若同時(shí)還有重構(gòu)關(guān)系 ,( ) ( )m n m nmnf x d x??? （ 211） 則 ()x? 稱為正交小波。若,( ) ( )m n m nmnf x d x???，但存在函數(shù)示 ?()x? ，使得對(duì)于任意的 2( ) ( )f x L R? ，若 , , , ,??, , ,m n m n m n m nf d f d????則 , , , , ??( ) ( ) ( )m n m n m n m nm n m nf x d x d x??? ? ? ? （ 212） 則稱 ? ?,? :,mn m n Z? ? 為 ? ?, :,mn m n Z? ? 對(duì)偶基，原小波基 ? ?, :,mn m n Z? ? 稱為雙正交小波基 (或半正交小波基 )。正交小波在信號(hào)分解時(shí)，具有獨(dú)立性，對(duì)于提取信號(hào)的特征以便進(jìn)行模式識(shí)別很有用。 (3)緊支撐性質(zhì) 和對(duì)稱性 濰坊學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 6 設(shè) ()x? 為小波函數(shù)，如果它的支集 sup(? )有限，則稱 ()x? 為緊支撐小波。緊支撐小波變換可以刻畫信號(hào)的局部特征，這對(duì)于分析和描述突變信號(hào)很有用。 如果小波函數(shù)為對(duì)稱的或反對(duì)稱的，則對(duì)應(yīng)的小波基稱為對(duì)稱小波基。對(duì)稱小波基用于小波變換，可以保持重要紋理位置不變。這對(duì)于多尺度邊緣檢測、或運(yùn)用多尺度方法進(jìn)行目標(biāo)跟蹤有利。 常用的小波有 Mexican hat 小波 ， Meyer 小波， Morlet 小波，三次 B 樣條小波，Daubechies 小波和 Simoncelli 小波等。這些小波都為正交小波，且具有緊支集。不同小波在刻畫信號(hào)或圖像的屬性時(shí)存在差異，如 Morlet 小波用于紋理圖像的分割較好 。而 Mexican hat 小波更適合于直邊物體的分割。小波分析具有的方向性對(duì)紋理分類不利，但對(duì)于圖象分割卻是優(yōu)點(diǎn)。 Daubechies 構(gòu)造出的系列小波 {Dn}中，D0(Haar)可用于刻畫不連續(xù)性， D4 可用于檢測一階導(dǎo)數(shù)的不連續(xù)性， D8 可用于檢測二階導(dǎo)數(shù)的不連續(xù)性，等等。 遺憾的是，除 Haar 小波外，同時(shí)具有緊支性和正交性的小波將肯定不具有對(duì)稱性。在有些應(yīng)用中，希望小波基在具有緊支集的前提下，仍然具有正交性和對(duì)稱性。這時(shí)，可以用雙正交小波。 小波多分辨分析 在數(shù)字信號(hào)或數(shù)字圖像處理領(lǐng)域，一般將離散小波的步長取為 2。即若 ()x? 是小波函數(shù)，令 2, ( ) 2 ( 2 )m mmn xn??? ??? （ 213） 如果它滿足穩(wěn)定性條件 ? (2 )jjAB??? ????? ? ? （ 214） 則稱 ()x? 是一個(gè)二進(jìn)小波。此時(shí)不論小波是否為正交 2( ) ( )f x L R? ，均存在級(jí)數(shù)表示對(duì)任何 ,( ) ( )j k j kjkf x d x??????? （ 215） 對(duì)于每個(gè) j，令 ? ?2 ,() :j j kLRW clo s k Z??? （ 216） 即 jW 是由 ? ?, :,jk j k Z? ? 線性張成的閉子空間。 (2. 16)式表明，空間 2()LR能夠分解為子空間 jw 的直接和。即 ： 濰坊學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 7 2 1 0 1( ) . . . . . . . .jjZL R W W W W??? ? ? ? ? ? ? （ 217） 在此意義下，對(duì)每個(gè) 2( ) ( )f x L R? ，都有一個(gè)分解 1 0 1( ) .. . ( ) ( ) ( ) .. .f x g x g x g x?? ? ? ? ? （ 218） 其中 , ()jjg x W? ，對(duì)所有 jz? 成立。 定義： 2()LR中的閉子空間序列 ? ?kkzV ?稱為形成一個(gè) (二進(jìn) )多分辨分析，若 ? ?kkzV ?滿足 : (1) ? ?kkzV ?是一個(gè)嵌套序列，即 1 0 1...... ...... ..V V V?? ? ? ? (2)所有 kV 的并在 2()LR中是稠密的，即2 2()( ) ( )kLRclos U V L R? (3)所有 kV 的交是零空間，即 0kkzV??? (4) 1( ) ( 2 ) , 。kkf x V f x V k Z?? ? ? ? (5) 1( ) ( ) ,2kkkf x V f x V k Z? ? ? ? ?), 并 且 ， 存 在 2()LR的 一 個(gè) 函 數(shù) ()x? 使得? ?0, ( ) ( ) :n x x n n Z??? ? ?是 0V 的一個(gè) Riesz 基，即 ? ?20 () ( ) :LRV c lo s x n n Z?? ? ?且存在常數(shù) 0 AB? ? ?? ，使對(duì)所有雙無限平方和序列 ??nC ，有 ? ? ? ?2222()n n nllnA c c x n B c?? ? ? ? （ 219） 此時(shí)稱 ()x? 為對(duì)應(yīng)于基小波 ()x? 的尺度函數(shù)。 設(shè) ()x? 為基小波，令 ? ?2 ,() :j j kLRW clo s k Z??? 21......k k kV W W??? ? ? （ 220） 則有 1 ,k k kV V W k Z? ? ? ?。 若 存 在 2()LR 中 的 一 個(gè) 函 數(shù) ()x? ， 使 得 族? ?0, ( ) ( ) :n x x n n Z??? ? ?是 0V 的一個(gè) Riesz 基，則 ??kV 滿足上述定義的所有條件。于是，由小波函數(shù)可生成一個(gè)多分辨分析。尺度函數(shù) ()x? 與小波函數(shù) ()x? 存在兩尺度關(guān)系 : ( ) (2 )kkx P x k??? ? ? （ 221） ( ) ( 2 )kx q x k??? ? ? （ 222） 及分解關(guān)系 ? ?2( 2 ) ( ) ( )l k l z kkx l a x k b x k? ? ???? ? ? ? ? ? lZ? （ 223） 濰坊學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 8 其中 1( 1)kkkqp???? 11,22k k k ka p b q?? 用 0()x? 表示 ()x? ， 1()x? 表示 ()x? ，兩尺度關(guān)系可以重寫為 00( ) ( 2 )kkx p x k??? ? ? （ 224） 10( ) ( 2 )kkx q x k??? ? ? （ 225） 在 此基礎(chǔ)上，定義 2 ( ) ( 2 )l k lkx p x k??? ? ? （ 226） 2 ( ) ( 2 )l k lkx q x k??? ? ? （ 227） 則函數(shù)族 ? ?( ) : 2 , 2 1 , 0 , 1. .....n x n l or l l? ? ? ?稱為關(guān)于尺度函數(shù) ()x? 的小波包。 本課題 不在此陳述函數(shù) ()x? 生成一個(gè)多分辨分析的條件。這里著重指 出，多分辨分析的定義，以及小波函數(shù) ()x? 所滿足的上述條件，為構(gòu)造小波函數(shù)提供了一種思路，同時(shí)也為小波變換的算法實(shí)施提供了一種思路。即小波函數(shù)可以通過尺度函數(shù)構(gòu)造，小波變換可以通過多分辨分析的方法逐層進(jìn)行。 小波分析的算法 小波分析的算法主要包括兩個(gè)方面 :生成小波基的算法和基于小波基的函數(shù)分解和重構(gòu)算法。由上面的分析知，小波基由小波母函數(shù)經(jīng)平移和伸縮構(gòu)成。而母函數(shù)由可以由尺度向量構(gòu)成。因此生成一組小波基的關(guān)鍵是找到一個(gè)尺度向量以及由尺度向量生成小波向量的 算法。 由尺度函數(shù)生成小波函數(shù) 由多分辨分析可以導(dǎo)出基于二進(jìn)小波的尺度函數(shù)和小波函數(shù)之間的關(guān)系。設(shè)??nh 為尺度向量， ??ng 為對(duì)應(yīng)的小波向量。由基于兩尺度關(guān)系的多分辨分析可導(dǎo)出如下關(guān)系 : 1( 1)nnngh???? 或 12( 1)nn n ngh? ? ??? （ 228） 其中， 2N為尺度向量的支撐區(qū)間的長度。許多小波函數(shù)由樣條 函數(shù)構(gòu)造出來的。由樣條函數(shù)構(gòu)造出的二進(jìn)小波函數(shù)可以表示成尺度函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。這在多尺度邊緣檢測中很有用。 由二進(jìn)小波的定義，二進(jìn)小波在對(duì)信號(hào)分解時(shí)，將原信號(hào)分解為波長相等的兩個(gè)分支。設(shè)分解后的高頻部分和低頻部分分別為 g(x)和 h(x)，他們所代表的頻帶寬度各占一半。下一次的分解總是對(duì)低頻部分 h(x)再進(jìn)行頻帶的二分之一分解。有時(shí)希望對(duì)信號(hào)進(jìn)行小波變換后得到的分支所代表的頻帶寬度不是原來的二分之一，而是三分之一或五分之一。這是的小波變換稱為多進(jìn)小波。設(shè)