【正文】 尺度函數(shù)和小波函數(shù)之間的關系。下一次的分解總是對低頻部分 h(x)再進行頻帶的二分之一分解。 無論二進小波還是多進小波，他們的第二次分解總是只對低頻的部分進行。 2( , )xy? 是沿水平方向高通濾波，而沿垂直方向平滑的濾波器 : 1( , )xy? 是沿水平方向和垂直方向均為高通濾波的濾波器。 ( ) ( ) , 1 , 2 , ... .., 12Lx N k x k k? ? ? ? (4) 對稱延拓 ( ) ( ) , 1 , 2 , ....., 2Lx k x k k? ? ? 。對變換后的小波域系數(shù)的編碼，人們提出了許多策略，主要有零樹編碼、位平面編碼、基于上下文的自適應算術編碼、矢量量化編碼等。則小波系數(shù)之間存在以下關系：若某個小波系數(shù)為次要系數(shù)，與之對應的較高頻子帶上的四個子系數(shù)也以較人概率為次要系數(shù)，所有的次要系數(shù)編碼的時候都不需要保存。建立在這些認識的基礎上，他們提出了一種更加有效的編碼策略 SPHIT 以取代EZW 算法， SPIHT 的獨特之處在于對重要系數(shù)所對應的樹結構分段進行處理。 (EPWlC) EPWIC 算法 1997 年由 Simon celli 提出。同時，系數(shù)分塊使得EBCOT 算法可以滿足感興趣區(qū)編碼，容錯編碼等特殊應 用 要求。為此，必須平滑噪聲 ，但同時又要盡可能的保持原圖象的信息不變。這些算子雖然對抑制噪聲有了一定的改善，但卻忽視了邊緣位移的問題。在使用小波分析提取邊緣的過程中，人們已經(jīng)注意到采用不同的小波基進行的小波變換獲得結果的效率是不一樣的，如 Marlet 小波用于紋理圖像的分割較好 。利用的是邊緣點的一階導數(shù)有極小值，它們對噪聲非常敏感，常產(chǎn)生一些孤立點。 證明了指數(shù)濾波器是一階最佳濾波器，井給出了邊緣檢測的遞歸算子。 對 每 一個2( ) ( ), * ( )f x L R f x?? 表示對函 數(shù) f (x)在 x0 附近的一種連續(xù)加權平均 (離散的情況為 ) 1, ( )iia a ifx? ? ?，因此稱卷積為對原信號的平滑。由于 圖像 中的物體邊緣處灰度值變化較快，因此正好可利用小波的局部刻畫特性，以檢測邊緣而達到分割的目的。不同類型的邊緣在尺度變化時的表現(xiàn)不一樣。因此，小波分析的多尺度特性對于多尺度 邊緣檢測很有用。因 而在檢測真正的邊緣點時，常常會檢測出遠遠多于實際的邊緣點，而且可能真正的邊緣點反而沒有被檢測出來。事實上，由公式 (34)可以看出，除了噪聲外，邊緣位移與 ? 和 ` 0()hfx有關。 ? 恰恰代表了濾波器的尺度。即使是方波信號 ,在實際傳輸中，也會轉變成比較光滑的形式。如圖 所示。其中，圖像 f(x,y)在尺度 j 時的模函數(shù)被定義為 ? ? 122 2122 2 2( , ) ( , ) ( , )j j jM f x y f x y f x y?? （ 35） 梯度向量沿水平方向的幅角為 ： 122 2 2( , ) a r g ( ( , ) ( , ) )i i iA f x y um e nt f x y if x y?? （ 36） 這里 i 為虛數(shù)單位。 說明 ： 由于 ? 是小波的支集半徑，所以條件“ ? ? ? ?0 0 0 0,x x y y? ? ? ?? ? ? ? ?在 x的鄰域 ? ?00,xx????內關于 x=x0 反對稱” ， 表明 ,( , )xf xy 沿水平方向的極大值半徑不小于小波的支集半徑。 ? 稱為極大值半徑。如圖 ，當信號的峰和 (或 )谷足夠窄時，可按照某種規(guī)則判斷是否包含屋脊型邊緣 [8]。 這里的定義與傳統(tǒng)的邊緣定義的本質區(qū)別表現(xiàn)在兩點 :連續(xù)性和對稱性。實際上，除了階躍型邊緣模型外，常用的 邊緣模型還有階梯邊緣、斜坡邊緣和屋脊型邊緣等。其次，按照 Canny 的最優(yōu)化準則推出的一階微分濾波器近似于高斯函數(shù)的一階導濰坊學院本科畢業(yè)設計（論文） 18 數(shù)。 問題分析 Canny 首先提出了邊緣檢測的最優(yōu)化準則，即最大信噪比準則、最優(yōu)過零點定位準 則和多峰值響應準則。但是，若基于這樣的定義，人們立即發(fā)現(xiàn)邊緣檢測問題是一個病態(tài)問題。此時該分支稱為主分支。小波分析的多分辨特性有助于根據(jù)先驗知識確定邊緣檢測的尺度，或自適應的選擇多個尺度進行邊緣檢測 [7]。 濰坊學院本科畢業(yè)設計（論文） 16 與 Fourier 分析不同，小波分析能夠計算在每一點附近信號 (圖像 )的頻率 (變化情況 )。而多分辨分析則為多尺度邊緣檢測提供了理論基礎。最基本的二階邊緣檢測算子，它對噪聲更為敏感。該算法在盡量保持細節(jié)邊緣不被丟失的情況下，使得在大尺度下求取的邊緣位置不變。而且，小波基函數(shù)可以具有緊支集 (絕大多數(shù)小波函數(shù)滿足該性質 )，用基于小波基函數(shù)的平滑因子可以減少對原圖 像 的局部擾動。 Marr 曾經(jīng)指出，為了可靠的檢測邊緣，應當同時使用多個尺度不同的算子 .這一思想后來由 Witkin等發(fā)展成了尺度空間濾波的概念。但是，由于導數(shù)定義本身的局部性，因而無法避免噪聲的干擾。 EBCOT 算法和上述算法的一個重大區(qū)別在于前者不再利用不同分解級或者足不同頻帶上小波系數(shù)的相似性，而是簡單地將所有小 波系數(shù)分成規(guī)則的小方塊進行處理，這樣小波系數(shù)的管理不再牽涉復雜的四叉樹結構，簡化了編碼算法。小波變換將圖像的能量轉移到少量低頻系數(shù)和一些成簇分布的高頻系數(shù)上。 (SPIHT) SPIHT 算法 1996 年由 Said 和 Pearlman 提出。 EZW 算法的一個基本假定是不同分解級的小波系數(shù)仍然存在一定相關。通常為低頻 子 帶分配較多的比特數(shù)，而給高頻了帶分配較少的比特數(shù)，甚至為零比特。因此，為了使上面的公式完善，必須對原信號進行邊界延拓。一種簡化的形式是用可分離的小波基。且通過 M 帶濾波器的參數(shù)化，可以得到下列關系 : 2 ,0( ) s in ( ) , 1Mi j l jlv fo rj M???? ? ? ? （ 229） 其中， ,lj? 為 Householder 參數(shù)。 由二進小波的定義，二進小波在對信號分解時，將原信號分解為波長相等的兩個分支。而母函數(shù)由可以由尺度向量構成。 若 存 在 2()LR 中 的 一 個 函 數(shù) ()x? ， 使 得 族? ?0, ( ) ( ) :n x x n n Z??? ? ?是 0V 的一個 Riesz 基，則 ??kV 滿足上述定義的所有條件。 小波多分辨分析 在數(shù)字信號或數(shù)字圖像處理領域，一般將離散小波的步長取為 2。這些小波都為正交小波，且具有緊支集。若,( ) ( )m n m nmnf x d x???，但存在函數(shù)示 ?()x? ，使得對于任意的 2( ) ( )f x L R? ，若 , , , ,??, , ,m n m n m n m nf d f d????則 , , , , ??( ) ( ) ( )m n m n m n m nm n m nf x d x d x??? ? ? ? （ 212） 則稱 ? ?,? :,mn m n Z? ? 為 ? ?, :,mn m n Z? ? 對偶基，原小波基 ? ?, :,mn m n Z? ? 稱為雙正交小波基 (或半正交小波基 )。若 , , , ,m n l k m l n k? ? ? ?? （ 27） 則稱為規(guī)范正交基。（ ）式稱為容許條件。如何構造一種隨原函數(shù)的頻率變化而變化的窗口函數(shù)，這從理論上要求將 Fourier 變換的核函數(shù)與窗口函數(shù)蹂合在一起考慮，這樣就導致了小波的產(chǎn)生 [2]。這從 Fourier 變換的表達式中不含 時域（ 空域 ） 變量這一點可以看出。 本課題對 小波理論做了粗淺的研究，并給出了小波在某些圖像處理中的應用結果 [1]。后來， Stromberg 構造了第一個小波基。數(shù)學家認為，小波分析是一個新的數(shù)學分支，它是泛函分析、 Fourier 分析、樣條分析和數(shù)值分析的完美結晶 。 關鍵詞 : 小波分析 ； 多尺度邊緣檢測 ； 圖像壓縮 ； 數(shù)字 圖像 清晰化 The Application and Study of Wavelet Analysis in Digital 濰坊學院本科畢業(yè)設計（論文） II Image Processing ABSTRACT Wavelet analysis is a tool of timefrequency analysis after Fourier analysis. In the field of image processing, its application covered imaging technique, image preprocessing, image pression and transferring, image registration, image analysis, feature extraction and pattern classification, etc. In this paper, it’s researched on wavelets application in the fields of mufti scale edge detection, remote sensing image processing and medical imaging. The traditional methods of edge detection are based on one order derivative’s maximum, or twoorder derivative’s zerocrossing. This kind of edge definition is very sensitive to noises. And thus, edge detection should be carried out in large scale, by which the image was smoothed. One of the shortings of edge detection in large scale is that it’s difficult to locate edge precisely, which will make mistakes in pattern recognition based on edge features. With mufti scale characterization, wavelet analysis was widely used to muftiscale edge detection. In this paper, it was proved that, waveletbased muftiscale edge detection would keep edge positions very well, if symmetric bases were used in wavelet transform. Furthermore, an algorithm of muftiscale edge detection based on biorthogonal symmetric wavelet was put forward。這對于基于邊緣特征的模式識別而言會造成誤識別。在圖像處理領域，其應用包括從圖像生成、圖 像預處理、圖像壓縮與傳輸、圖像配準、圖像分析、特征提取與圖像分類等圖像處理的幾乎所有階段。本課題 的工作 討論 了一種基于雙正交對稱小波的多尺度邊緣檢測算法。 Image pression。 小波變換繼承和發(fā)展了 Gabor 變換的局部化思想，基本思想來源于可變窗口的伸縮和平移。 小波分析理論作為時頻分析工具，在信號分析和處理中得到了很好地運用。函數(shù) f? 2L (R)的積分 Fourier變換如下 : ? ( ) ( ) ( ) ( ) xf w F f w f x d????? ? (11) Fourier 變換的作用是 將時 (空 )域信號轉變成頻域信號，在頻域上對原信號的頻譜進行分析，以便對原信號進行去噪、平滑和壓縮等處理以及信號分解等分析工作。最常用的窗口函數(shù)是 Gaussian。理想的小波基應是緊支的。如果存在常數(shù) 0A,B? ，使得 222, ,mnm n ZA f f B f??? ? ? （ 25） 則 函數(shù)族 ? ?, :,mn m n Z? ? 稱為一個框架 。 小波函數(shù)均有非負的消失矩。緊支撐小波變換可以刻畫信號的局部特征，這對于分析和描述突變信號很有用。小波分析具有的方向性對紋理分類不利，但對于圖象分割卻是優(yōu)點。 (2. 16)式表明，空間 2()LR能夠分解為子空間 jw 的直接和。 本課題 不在此陳述函數(shù) ()x? 生成一個多分辨分析的條件。設??nh 為尺度向量， ??ng 為對應的小波向量。有時希望對信號進行小波變換后得到的分支所代表的頻帶寬度不是原來的二分之一，而是三分之一或五分之一。有時希望在小