【正文】 由尺度函數(shù) ()x?濰坊學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 9 生成的小波函數(shù)為平 1 2 1( ), ( ), .. .. .. ., Mxx? ? ? ?，對應(yīng)的小波變換稱為多進(jìn)小波變換。 多進(jìn)小波和尺度函數(shù)的關(guān)系稍微復(fù)雜一些。設(shè)討論的是多進(jìn)小波，即由尺度函數(shù)生成 M1 個小波函數(shù)，則由該尺度函數(shù)和小波函數(shù)同樣可以生成多分辨分析。且通過 M 帶濾波器的參數(shù)化，可以得到下列關(guān)系 : 2 ,0( ) s in ( ) , 1Mi j l jlv fo rj M???? ? ? ? （ 229） 其中， ,lj? 為 Householder 參數(shù)。對于給定的 一組參數(shù) ,lj? ，確定了唯一的一個尺度函數(shù)以及 M1 個小波函數(shù)，小波函數(shù)由矩陣 ? ?,ijv的其余 M1 行決定，共有 21MC?種選擇法。 無論二進(jìn)小波還是多進(jìn)小波，他們的第二次分解總是只對低頻的部分進(jìn)行。有時希望在小波變換的進(jìn)一步分解時同時對己分解出的低頻部分和高頻部分同時進(jìn)行。既要對低頻部分 進(jìn)一步局部化，同時又對高頻部分進(jìn)一步局部化。這時就要用到小波包 [3]。 小波的分解和重構(gòu)算法 目前，使用最多的是基于二進(jìn)小波的 的快速算法，但是二維情形的小波變換較為復(fù)雜。原因是二維小波基的形式要復(fù)雜一些。一種簡化的形式是用可分離的小波基。設(shè) ()x? 和 ()x? 分別為尺度函數(shù)和小波函數(shù)，二維可分離的尺度函數(shù)定義為 ( , ) ( ) ( )x y x y? ? ?? ，二維小波基由三部分組成 : 1( , ) ( ) ( )x y x y? ? ?? ， 2( , ) ( ) ( )x y x y? ? ?? ， 3( , ) ( ) ( )x y x y? ? ?? （ 230） 從物理的意義上說， 1( , )xy? 是沿水平方向平滑，而沿垂直方向高通濾波的濾波器 。 2( , )xy? 是沿水平方向高通濾波，而沿垂直方向平滑的濾波器 : 1( , )xy? 是沿水平方向和垂直方向均為高通濾波的濾波器。小波變換后的圖像見圖 。 (a)二進(jìn)小波 變換 (b) 3帶小波變換 圖 小波變換圖例 濰坊學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 10 小波變換的邊界延拓方法 小波變換是以卷積的形式出現(xiàn)的。對于有限長度的信號或有限大小的圖像，在邊界處的卷積實(shí)際上時不嚴(yán)格的。設(shè)信號 x(n)的長度為 N，初始信號為 x(o)，濾波器長度 (或小波的支集 )為 L(假設(shè)為偶數(shù) )。則基于二進(jìn)離散小波的變換公式可以表示為 122( ) ( 2 ) ( )2NLh Lk Lx n n k x k?? ???? ? ? ?， 122( ) ( 2 ) ( )2NLg Lk Lx n n k x k?? ???? ? ? ? 0,1, , 12Nn ? ????? ? 上面求和公式中， ( 1), , ( )2Lxx? ????? ?和 ( ) , , ( 1)2Lx N x N????? ? ?沒有定義。因此，為了使上面的公式完善，必須對原信號進(jìn)行邊界延拓。常用的延拓方法有四種 ： (1) 零延拓 ( ), 0() 0,x n n Nxn boundary???? ?? (2) 邊界重復(fù)延拓 ( ), 0( ) ( 0 ), 0( 1),x n n Nx n x nx N n N??????????? (3) 周期延拓 (即纏繞 ) ( ) ( ) , 1 , 2 , . . . . . , 2Lx k x N k k? ? ? ? 。 ( ) ( ) , 1 , 2 , ... .., 12Lx N k x k k? ? ? ? (4) 對稱延拓 ( ) ( ) , 1 , 2 , ....., 2Lx k x k k? ? ? 。 ( ) ( ) , 1 , 2 , ... .., 2Lx N k x N k k? ? ? ? 小波分析在圖像編碼中的應(yīng)用 圖像的二維小波變換 Mallat 提出的多分辨率塔式分解與合成算法促進(jìn)了小波變換在數(shù)字信號處理中的工程應(yīng)用。對于二維數(shù)字圖像信號，離散小波變換可以通過在水平和垂直方向上分別應(yīng)用 h， g 濾波器進(jìn)行一維濾波來實(shí)現(xiàn)： 二 維離 散 小波變換的 Mallat 實(shí)現(xiàn)濰坊學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 11 如圖 所示： a 二維離散小波分析 圖 二維離散小波變換的實(shí)現(xiàn) 二維離散小波變換每次分解產(chǎn)生一個低頻子圖 LL 和三個高頻子圖，即水平子圖 LH、垂直子圖 HL 和對角子圖 HH，下一級小波變換是在前級產(chǎn)牛的低頻子圖LL 的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，依次重復(fù)，可完成圖像的 N 級小波分解，得到圖像的 N 級分辨率，其中 N1 級對應(yīng)效果最 差 的分辨級， 0 級時 對 應(yīng)效果做好的分辨級。對圖像進(jìn)行 N 級小波小波變換后，產(chǎn)生的 子 圖數(shù)目為 3N+1。圖 是二維圖像小波分解的示意圖 圖 二維圖像小波分解的示意圖 222222hghggh原始圖像行濾波列濾波LL 子圖LH 子圖HL 子圖HH 子圖重構(gòu)圖像222222 h~g~g~g~h~h~列濾波行濾波LL 子圖LH 子圖HL 子圖HH 子圖b 二維離散小波重構(gòu)3 LL2 HL2 LH2 HH1 LH1 HL 1 HH濰坊學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 12 小波的圖像編碼算法 自小波理論應(yīng) 用十圖像編碼領(lǐng)域時起，迄今為止，各國學(xué)者已經(jīng)提出了多種結(jié)合不同量化和編碼措施的基于小波的編碼算法。這些算法大多首先利用小波變換將原始圖像分解成若干個子帶圖像，然后再對各個子圖分別進(jìn)行量化，最后根據(jù)某種失真準(zhǔn)則對各子進(jìn)行比特分配和編碼。通常為低頻 子 帶分配較多的比特數(shù)，而給高頻了帶分配較少的比特數(shù)，甚至為零比特。 原始圖像經(jīng)過小波變換后，其在小波變換域的系數(shù)存在三種相關(guān)性：同一子帶內(nèi)相鄰系數(shù)之間的相關(guān)性；相鄰級同一方向上，兩個子帶對應(yīng)位置系數(shù)之問的相關(guān)性 (子帶的方向性指的是 LH， HL 和 HH 三個方向 )；不同子帶相 同位置系數(shù)之間的相關(guān)性。對變換后的小波域系數(shù)的編碼，人們提出了許多策略，主要有零樹編碼、位平面編碼、基于上下文的自適應(yīng)算術(shù)編碼、矢量量化編碼等。但矢量量化編碼運(yùn)算量較大，且對圖像的依賴性較強(qiáng)，使用中有一定的局限性。目前，小波圖像壓縮算法主要有以下幾種： EZW， SPIHT， SFQ， EPWIC， EBCOTI。 (EZW) EZW 算法是一種簡單而十分有效的壓縮算法。小波分解以后，高頻 子 帶的每個系數(shù)都對應(yīng)著上一分解級上同一位置的四個系數(shù)， 1992 年 Lewis 和 Knowles 最先引入四義樹結(jié)構(gòu)用 于保存小波系數(shù)。 1993 年 Shapiro 在這種結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上發(fā)展了零樹算法。 EZW 算法的一個基本假定是不同分解級的小波系數(shù)仍然存在一定相關(guān)。設(shè)定一個閾值 T，凡是小于 T 的系數(shù)都為次要系數(shù)。則小波系數(shù)之間存在以下關(guān)系：若某個小波系數(shù)為次要系數(shù)，與之對應(yīng)的較高頻子帶上的四個子系數(shù)也以較人概率為次要系數(shù)，所有的次要系數(shù)編碼的時候都不需要保存。零樹編碼以后，高頻子帶上大帶的次要系數(shù)只需要網(wǎng)叉樹上少量的節(jié)點(diǎn)就可以表達(dá)。零樹編碼的順序是從低頻到高頻掃描每一個系數(shù)，重要的系數(shù)始終在前而，形成嵌入式碼流。這種結(jié)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)在于，編 碼器和解碼器可以在任意碼率上停下米，并且保證壓縮質(zhì)量始終最優(yōu)。 EZW 算法不需要預(yù)先知道圖像的特性，不需要訓(xùn)練，也不用保存額外的碼表，算法簡潔而高效，是小波圖像壓縮的一個經(jīng)典算法。此后，很多學(xué)者對 EZW 算法做了改進(jìn)，又發(fā)展出一些新的算法， SPIHT， SFQ 和 EPWIC是其中具有代表性的幾種算法。 (SPIHT) SPIHT 算法 1996 年由 Said 和 Pearlman 提出。他們認(rèn)為 EZW 算法之所以成功來自于三方面的原因：首先，根據(jù)小波系數(shù)的幅值對系數(shù)做了局部分段排序；其次，精細(xì)比特采用位平面方式 傳輸；最后，利用了不同分解級上系數(shù)的相似性。建立在這些認(rèn)識的基礎(chǔ)上，他們提出了一種更加有效的編碼策略 SPHIT 以取代EZW 算法， SPIHT 的獨(dú)特之處在于對重要系數(shù)所對應(yīng)的樹結(jié)構(gòu)分段進(jìn)行處理。該濰坊學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 13 算法同時也保留了 EZW 的幅度排序和重要比特優(yōu)先等策略。和 EZW 一樣， SPIHT算法也采用了標(biāo)量量化方法。根據(jù)原作者的實(shí)驗(yàn)， SPIHT 的壓縮性能在多數(shù)情況下都超過了 EZW 算法。 (SFQ) SFQ 算法 1997 年由 Xiong 提出。和傳統(tǒng)的圖像壓縮算法不同， SFQ 算法建立在一個相對簡單的圖像模型之上，認(rèn)為 圖像的特性可以由頻域和時域能量分布的線性組和共同描述，即圖像的能量主要集中在低頻部分，高頻部分只殘存一少部分，但同時圖像的能量又主要集中在邊緣和突變的地方，平坦的區(qū)域相對能量較少。小波變換將圖像的能量轉(zhuǎn)移到少量低頻系數(shù)和一些成簇分布的高頻系數(shù)上。SFQ 算法的理論模型非常簡單，性能也不錯，其不足之處在于系數(shù)取舍的優(yōu)化過程需要多次迭代計算。 (EPWlC) EPWIC 算法 1997 年由 Simon celli 提出。小波編碼壓縮提出以后，人們逐漸意識到正交變換之后小波系數(shù)之間還存在一定的相關(guān)性 和相似性，利用這種相關(guān)性和相似性可以提高圖像壓縮的性能。 EZW 算法利用了不同分解級上小波系數(shù)分布的相似性。 EPWIC 算法在這方面則通過分析相鄰空間位置、方向和分解級系數(shù)幅度的相關(guān)性，設(shè)計基于統(tǒng)計模型的小波系數(shù)預(yù)測算法，從而降低小波系數(shù)的熵值。 (EBCOT) EBCOT 算法 1999 年由 David Taubman 提出。目前己被新的圖像壓縮國際標(biāo)準(zhǔn)JPEG2020 所采用。 EBCOT 算法和上述算法的一個重大區(qū)別在于前者不再利用不同分解級或者足不同頻帶上小波系數(shù)的相似性，而是簡單地將所有小 波系數(shù)分成規(guī)則的小方塊進(jìn)行處理，這樣小波系數(shù)的管理不再牽涉復(fù)雜的四叉樹結(jié)構(gòu)，簡化了編碼算法。作為補(bǔ)償， EBCOT 采用上卜．義相關(guān)二進(jìn)制 MQ 算術(shù)編碼器對小波系數(shù)做熵編碼，其總體壓縮性能不遜于上述任意一種算法。同時，系數(shù)分塊使得EBCOT 算法可以滿足感興趣區(qū)編碼，容錯編碼等特殊應(yīng) 用 要求。 綜上，小波變換圖像算法日益成熟，目前只有小波圖像編碼的幾種算法能夠超過 DCT 編碼；而 EZW， SPIHT 由于涉及浮點(diǎn)運(yùn)算，需要較大的緩存，也不在可選之列： SFQ 算法由于需要進(jìn)行多次迭代不適合用于固定碼率的圖像壓縮；剩下的兩種算法 EPWIC 和 EBCOT 比前述算法更有可取之處，比較而言， EBCOT 的壓縮效率更高，可生成嵌入式碼流，支持無損壓縮 [17]。 濰坊學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 14 第三章 小波分析的多尺度邊緣檢測 小波分析的多尺度邊緣檢測 邊緣檢測是低級視覺中要解決的關(guān)鍵問題之一。邊緣檢測的首要任務(wù)是邊緣的定義。按照人們的直觀認(rèn)識， 圖像 邊緣是那些局部灰度變化最劇烈的地方。由此引入基于導(dǎo)數(shù)的階躍型邊緣的定義 :即一階導(dǎo)數(shù)的極大值或二階導(dǎo)數(shù)的零交叉。但是，由于導(dǎo)數(shù)定義本身的局部性，因而無法避免噪聲的干擾?；谶@樣定義的邊緣是一個病態(tài)問題。為此，必須平滑噪聲 ，但同時又要盡可能的保持原圖象的信息不變。比較好的方法是正則化方法。它被認(rèn)為是在假定的模型下使邊緣檢測成為具有完善解的最優(yōu)化方法。但正則化方法只是證明了在單一尺度下用 3 次樣條函數(shù)平滑可以使整體誤差最小。并沒有完全解決噪聲問題。一般而言，大尺度平滑因子可以平滑更多的噪聲而失去較多的細(xì)節(jié)，而小尺度平滑因子可以保留較多的細(xì)節(jié)邊緣，但對噪聲的抑制能力減弱。 Marr 曾經(jīng)指出，為了可靠的檢測邊緣，應(yīng)當(dāng)同時使用多個尺度不同的算子 .這一思想后來由 Witkin等發(fā)展成了尺度空間濾波的概念。在此基礎(chǔ)上，出現(xiàn)了多種自適應(yīng)多尺度邊 緣檢測算子。這些算子雖然對抑制噪聲有了一定的改善，但卻忽視了邊緣位移的問題。多尺度邊緣檢測時發(fā)生位移的原因包括兩個方面 :噪聲的影響和相鄰邊緣的干擾。因此，抑制噪聲和保持邊緣具有一定的矛盾性。矛盾解決的效果客觀上取決于邊緣附近噪聲的類型和強(qiáng)度相鄰邊緣的強(qiáng)度和邊緣之間的距離。主觀上則取決于平滑算子和自適應(yīng)選擇尺度的算法 [4][5]。 小波分析具有多分辨特性，因而被很多多尺度邊緣檢測方法采用 。而且，小波基函數(shù)可以具有緊支集 (絕大多數(shù)小波函數(shù)滿足該性質(zhì) )，用基于小波基函數(shù)的平滑因子可以減少對原圖 像 的局部擾動。同時， 小波分解的高頻信息有助于提取邊緣信息。在使用小波分析提取邊緣的過程中，人們已經(jīng)注意到采用不同的小波基進(jìn)行的小波變換獲得結(jié)果的效率是不一樣的，如 Marlet 小波用于紋理圖像的分割較好 。而 Mexican hat 小波更適合于直邊物體的分割 。一般而言，對于不同的小波，在提取圖像的邊緣特征的能力上是有差別的。 本課題 首先給出一種廣義的階躍型邊緣的定義。然后證明，對于特定的一類小波