【正文】 之一。它被認(rèn)為是在假定的模型下使邊緣檢測(cè)成為具有完善解的最優(yōu)化方法。因此，抑制噪聲和保持邊緣具有一定的矛盾性。一般而言，對(duì)于不同的小波，在提取圖像的邊緣特征的能力上是有差別的。在計(jì)算微分以前，先進(jìn)行鄰域平均或加權(quán)平均。 早就證明了一維空間的指數(shù)濾波器的最佳性，并 提出了邊緣檢測(cè)的準(zhǔn)則，即精確定位準(zhǔn)則、良好的檢測(cè)準(zhǔn)則和邊緣點(diǎn)的一對(duì)一響應(yīng)準(zhǔn)則。當(dāng) ()x? 和 f (x)時(shí)，下面卷積關(guān)系成立。當(dāng)小波變換的尺度變化時(shí)，利用小波變換的高頻信息可以檢測(cè)出基于不同尺度下的邊緣。 通過(guò)證明可以得到這樣 的結(jié)論 :對(duì)于尖銳邊緣，隨著小波尺度的縮小，小波分支的系數(shù)迅速增加 。實(shí)際上，到目前為止，尚沒(méi)有一個(gè)準(zhǔn)確而完整的邊緣定義。該方法的實(shí) 質(zhì)是找出一個(gè)最優(yōu)的平滑濾波器，使得用該濾波器對(duì)圖象平滑后，邊緣 問(wèn)題變成非病態(tài)的，同時(shí)能最好的保持原圖 像 的性質(zhì)。適當(dāng)?shù)倪x擇h(x)可以減少這種影響。如果同時(shí)采用多尺度，就有可能避免或更多的減少邊緣的位移。 邊緣模型和最小位移的小波基 的 選擇 從上面的分析可知，連續(xù)的邊緣模型具有更好的可行性。之所以將模型設(shè)為對(duì)稱型，是因?yàn)閺慕y(tǒng)計(jì)學(xué)的角度講， 圖像 中邊緣處總的不對(duì)稱性數(shù)學(xué)期望應(yīng)為零。引理 1 設(shè)函數(shù) f(x,y)二階連續(xù)可導(dǎo)， ()x? 關(guān)于 Y 軸對(duì)稱且具有緊支集 ? ?,S ???? ， ()x? 為 ()x?的導(dǎo)函數(shù)， 1( , ) ( ) ( )w x y x y??? ， ( , ) ( * 1)( , )g x y f W x y? ，而 ,( , )xxf x 在 x0 的鄰域? ?0 , 0xx????內(nèi)關(guān)于 x=x0 反對(duì)稱。 位置不變的多尺度邊緣檢測(cè)模型 由定理 1 知，對(duì)于階躍型邊緣，在使用恰當(dāng)?shù)男〔ㄗ儞Q后仍然能準(zhǔn)。關(guān)于 Y 的偏導(dǎo)數(shù) ,( , )yyf xy 和 , ( , )yg xy 有類似的結(jié)果。因此，對(duì)稱性的假設(shè)有助于文中的處理，同時(shí)又不會(huì)影響整體結(jié)果。 定義 1 經(jīng)過(guò)一定的旋轉(zhuǎn)后，在 (x0, y0)的某鄰域內(nèi)灰度函數(shù)能夠表示成形如00( , ) si n ( ) ( )f x y x x h y y a?? ? ? ?的邊緣點(diǎn) (x0, y0)稱為廣義階躍型邊緣。對(duì)于加性白噪聲的假設(shè)，從應(yīng)用角度講比較實(shí)際，而從數(shù)學(xué)推導(dǎo)而言也是方便的 。事實(shí)并非如此。但是，多尺度邊緣檢測(cè)的一個(gè)主要問(wèn)題就是邊緣位置會(huì)發(fā)生偏移。根據(jù)這一認(rèn)識(shí)，邊緣的數(shù)學(xué)模型就被定義為“一階導(dǎo)數(shù)極大值的點(diǎn)或二階導(dǎo)數(shù)的零交叉”。文獻(xiàn)中介紹了小波變換后模極大值的范圍，若信號(hào) f(x)在 x0 處是奇異，則存在一個(gè)收斂到小波變換模極大值序列 (當(dāng)尺度逐步減小時(shí) )。則對(duì) 2()f L R? ，有 jjgW? 和 kkfV? 使 j k jj Z j kf g f g??? ? ? ? ? （ 32） 事實(shí)上，可以證明，閉子空間 V2 由 12 ()jM M x k Z?????????生成， W2 能夠由12 ( ) , 1 1 ,jxM M x k s M k Z???? ? ? ? ?????生成。如能找出這樣的函數(shù) ()x? ，則 ( )* ( )f x x? 正好刻畫了 f (x)在點(diǎn) x 附近的平均變化率。 小波分析與多尺度邊緣檢測(cè) 與傳統(tǒng)的 Fourier 分析相比，小波分析除了具有和 Fourier 分析類似的頻譜分析功能外，還具有以下兩個(gè)特點(diǎn) :局部化特性和多分辨特性。是一個(gè) 3x3 的非線性算子，基本思想是盡量使邊緣兩側(cè)的像素各自與自己的同類像素取平均，然后再求平均值之差，這樣既抑制了噪聲又減少了由于平均而造成的邊緣細(xì) 節(jié)丟失，缺點(diǎn)是增大了計(jì)算量。然后證明，對(duì)于特定的一類小波基，在一定的尺度范圍內(nèi)，其小波變換不會(huì)改變?cè)瓐D像的基于二階導(dǎo)數(shù)零交叉的邊緣點(diǎn)的位置 。主觀上則取決于平滑算子和自適應(yīng)選擇尺度的算法 [4][5]。并沒(méi)有完全解決噪聲問(wèn)題。按照人們的直觀認(rèn)識(shí)， 圖像 邊緣是那些局部灰度變化最劇烈的地方。 (EBCOT) EBCOT 算法 1999 年由 David Taubman 提出。 (SFQ) SFQ 算法 1997 年由 Xiong 提出。 EZW 算法不需要預(yù)先知道圖像的特性，不需要訓(xùn)練，也不用保存額外的碼表，算法簡(jiǎn)潔而高效，是小波圖像壓縮的一個(gè)經(jīng)典算法。小波分解以后，高頻 子 帶的每個(gè)系數(shù)都對(duì)應(yīng)著上一分解級(jí)上同一位置的四個(gè)系數(shù)， 1992 年 Lewis 和 Knowles 最先引入四義樹(shù)結(jié)構(gòu)用 于保存小波系數(shù)。圖 是二維圖像小波分解的示意圖 圖 二維圖像小波分解的示意圖 222222hghggh原始圖像行濾波列濾波LL 子圖LH 子圖HL 子圖HH 子圖重構(gòu)圖像222222 h~g~g~g~h~h~列濾波行濾波LL 子圖LH 子圖HL 子圖HH 子圖b 二維離散小波重構(gòu)3 LL2 HL2 LH2 HH1 LH1 HL 1 HH濰坊學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 12 小波的圖像編碼算法 自小波理論應(yīng) 用十圖像編碼領(lǐng)域時(shí)起，迄今為止，各國(guó)學(xué)者已經(jīng)提出了多種結(jié)合不同量化和編碼措施的基于小波的編碼算法。設(shè)信號(hào) x(n)的長(zhǎng)度為 N，初始信號(hào)為 x(o)，濾波器長(zhǎng)度 (或小波的支集 )為 L(假設(shè)為偶數(shù) )。 小波的分解和重構(gòu)算法 目前，使用最多的是基于二進(jìn)小波的 的快速算法，但是二維情形的小波變換較為復(fù)雜。 多進(jìn)小波和尺度函數(shù)的關(guān)系稍微復(fù)雜一些。由樣條函數(shù)構(gòu)造出的二進(jìn)小波函數(shù)可以表示成尺度函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 小波分析的算法 小波分析的算法主要包括兩個(gè)方面 :生成小波基的算法和基于小波基的函數(shù)分解和重構(gòu)算法。kkf x V f x V k Z?? ? ? ? (5) 1( ) ( ) ,2kkkf x V f x V k Z? ? ? ? ?), 并 且 ， 存 在 2()LR的 一 個(gè) 函 數(shù) ()x? 使得? ?0, ( ) ( ) :n x x n n Z??? ? ?是 0V 的一個(gè) Riesz 基，即 ? ?20 () ( ) :LRV c lo s x n n Z?? ? ?且存在常數(shù) 0 AB? ? ?? ，使對(duì)所有雙無(wú)限平方和序列 ??nC ，有 ? ? ? ?2222()n n nllnA c c x n B c?? ? ? ? （ 219） 此時(shí)稱 ()x? 為對(duì)應(yīng)于基小波 ()x? 的尺度函數(shù)。在有些應(yīng)用中，希望小波基在具有緊支集的前提下，仍然具有正交性和對(duì)稱性。這對(duì)于多尺度邊緣檢測(cè)、或運(yùn)用多尺度方法進(jìn)行目標(biāo)跟蹤有利。 (2)正交性質(zhì) 設(shè) ()x? 為小波函數(shù)， ? ?:m mZ? ? 構(gòu)成一組規(guī)范正交基。 一般而言，小波函數(shù)族是相關(guān)的。設(shè) ()x? 為變換的核函數(shù)，函數(shù) 2( ) ( )f x L R? 的連續(xù)小波變換定義為 ： 12( ) ( , ) ( ) ( )xR xbW f a b a f x da? ? ?? ? （ 21） 其中，核函數(shù) ()x? 要滿足的下面的容許條件。這與設(shè)立窗口的初衷不完全相符，事實(shí)上，在函數(shù)變化較快的地方需要較窄的窗口 。但 Fourier 分析并非完美無(wú)缺。但在某些方面的應(yīng)用并沒(méi)有達(dá)到很完美的程度 。但 Fourier 變換很難滿足這一要求，隨后他引用了高斯余弦調(diào)制函數(shù)，將其伸縮平移得到一組函數(shù)系，該函數(shù)系后來(lái)被稱作 Morlet 小波基。通過(guò)伸縮和平移等運(yùn)算功能可對(duì)函數(shù)或信號(hào)進(jìn)行多尺度的細(xì)化分析。這種方法按照以下步驟和流程 :原始含噪模糊圖像→小波圖像去噪→直方圖調(diào)整→小波圖像增強(qiáng)→中值 濾波圖像平滑→清晰化綜合處理圖像。這種定義對(duì)噪聲非常敏感，因此邊緣檢測(cè)需要通過(guò)圖像平滑在大尺度下進(jìn)行。 傳統(tǒng)的邊緣檢測(cè)基于一階導(dǎo)數(shù)極大值或二階導(dǎo)數(shù)零交叉的定義。 通過(guò)對(duì)數(shù)字圖像處理的多種方法進(jìn)行研究，重點(diǎn)選取小波圖像去噪、小波圖像增強(qiáng)、灰度直方圖調(diào)整、中值濾波圖像平滑四種方法，在此基礎(chǔ)上，將其聯(lián)合起來(lái)進(jìn)行綜合研究，給出了一種基于小波分析的數(shù)字圖像清晰化綜合處理方法。與 Fourier 分析和 Gabor 變換相比，小波變換是空間 (時(shí)間 )和頻率的局部變換，因而能有效地從信號(hào)中提取局部信息。他在分析地震波的時(shí)頻局部特性時(shí)，希望使用在高頻處時(shí)窗變窄，低頻處頻窗變窄的自適應(yīng)變換。目前小波分析已經(jīng)被運(yùn)用到圖像處理的幾 乎所有分支。這些性質(zhì)對(duì)信號(hào)處理既非常有用，又非常方便。窗口函數(shù)的中心定義為 ： 2*22()tt w txdw????? (13) 窗口函數(shù)的寬度為 2Δ g，其中 ? ?2*2( ) ( ) tt x w t dgw??? ??? ? (14) 從上面的定義可知，這樣定義的窗口 Fourier 變換有其固有的缺陷，其窗口的濰坊學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 3 大小 (寬度 )是固定不 變的。連續(xù)的小波變換的形式化定義最早由 Morlet 和Grossman 提出。特別地， ,2( ) , ( )m n m nf x f x Rab ??? ? ?? （ 26） 濰坊學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 5 其中， R 為余項(xiàng)， ( 1)BR o fA??。因?yàn)橐话愫瘮?shù)都可以由多項(xiàng)式函數(shù)逼近 (Taylor 定理 )，消失矩性質(zhì)表明了，次數(shù)不大于 m 的多項(xiàng)式在小波分解后，對(duì)應(yīng)的分支都?xì)w于零。對(duì)稱小波基用于小波變換，可以保持重要紋理位置不變。 遺憾的是，除 Haar 小波外，同時(shí)具有緊支性和正交性的小波將肯定不具有對(duì)稱性。 定義： 2()LR中的閉子空間序列 ? ?kkzV ?稱為形成一個(gè) (二進(jìn) )多分辨分析，若 ? ?kkzV ?滿足 : (1) ? ?kkzV ?是一個(gè)嵌套序列，即 1 0 1...... ...... ..V V V?? ? ? ? (2)所有 kV 的并在 2()LR中是稠密的，即2 2()( ) ( )kLRclos U V L R? (3)所有 kV 的交是零空間，即 0kkzV??? (4) 1( ) ( 2 ) , 。即小波函數(shù)可以通過(guò)尺度函數(shù)構(gòu)造，小波變換可以通過(guò)多分辨分析的方法逐層進(jìn)行。許多小波函數(shù)由樣條 函數(shù)構(gòu)造出來(lái)的。設(shè)由尺度函數(shù) ()x?濰坊學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 9 生成的小波函數(shù)為平 1 2 1( ), ( ), .. .. .. ., Mxx? ? ? ?，對(duì)應(yīng)的小波變換稱為多進(jìn)小波變換。這時(shí)就要用到小波包 [3]。對(duì)于有限長(zhǎng)度的信號(hào)或有限大小的圖像，在邊界處的卷積實(shí)際上時(shí)不嚴(yán)格的。對(duì)圖像進(jìn)行 N 級(jí)小波小波變換后，產(chǎn)生的 子 圖數(shù)目為 3N+1。 (EZW) EZW 算法是一種簡(jiǎn)單而十分有效的壓縮算法。這種結(jié)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)在于，編 碼器和解碼器可以在任意碼率上停下米，并且保證壓縮質(zhì)量始終最優(yōu)。根據(jù)原作者的實(shí)驗(yàn)， SPIHT 的壓縮性能在多數(shù)情況下都超過(guò)了 EZW 算法。 EPWIC 算法在這方面則通過(guò)分析相鄰空間位置、方向和分解級(jí)系數(shù)幅度的相關(guān)性，設(shè)計(jì)基于統(tǒng)計(jì)模型的小波系數(shù)預(yù)測(cè)算法，從而降低小波系數(shù)的熵值。邊緣檢測(cè)的首要任務(wù)是邊緣的定義。但正則化方法只是證明了在單一尺度下用 3 次樣條函數(shù)平滑可以使整體誤差最小。矛盾解決的效果客觀上取決于邊緣附近噪聲的類型和強(qiáng)度相鄰邊緣的強(qiáng)度和邊緣之間的距離。 本課題 首先給出一種廣義的階躍型邊緣的定義。 (3)Kirsch 算子。他還證明了最佳濾波實(shí)際是用高斯函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)來(lái)濾波，并導(dǎo)出了二階邊緣檢測(cè)最佳算子，由于 Canny 算子的良好特性，它已成為很多邊緣檢測(cè)器設(shè)計(jì)的比較標(biāo)準(zhǔn) [6]。 ? ?( ) ( )* ( ) ( ) * * ( )xxd f x d xx f x d f xdd ???? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? （ 31） 上式的左端為信號(hào) f(x) 的變化率的局部平均，中間項(xiàng)可看成另一函數(shù)( ) ( ) xx d x d??? 對(duì)信號(hào) f (x)的平滑。 小波多分辨分析 設(shè) L2 (R)為平方可積函數(shù)， L2 (R)上的一個(gè)多分辨分析是指滿足一定條件的閉子空間序列 11, ...... .....j j jVj V V V??? ? ?設(shè) Wj 是 Vj 在 Vj1 上的正交補(bǔ)空間，即1j j jV W V ???。而對(duì)于光滑邊緣，當(dāng)尺度縮小時(shí)，相應(yīng)的小波分支系數(shù)變化緩慢。一般認(rèn)為，邊緣是那些局部灰度變化劇烈的地方。從尺度分析的角度看，該方法實(shí)際上是在大尺度下對(duì) 圖像 進(jìn)行邊緣檢測(cè)。 從公式 (34)看，似乎在大尺度下檢測(cè)出的邊緣不可避免的要發(fā)生位移。再次，（ 34）式的推導(dǎo)是在兩個(gè)基本假設(shè)之下得出的。下邊給出一種廣義的連續(xù)階躍型邊緣模型。而 本課題 的處理是按點(diǎn)進(jìn)行的。若 (xo,y0)點(diǎn)是 ,( , )xxf xy 的過(guò)零點(diǎn)，則 (x0,y0)也是,( , )xg xy 的 過(guò)零