【正文】 位置不變的多尺度邊緣檢測模型 由定理 1 知，對于階躍型邊緣，在使用恰當(dāng)?shù)男〔ㄗ儞Q后仍然能準(zhǔn)。 說明 ： 由于 ? 是小波的支集半徑，所以條件“ ? ? ? ?0 0 0 0,x x y y? ? ? ?? ? ? ? ?在 x的鄰域 ? ?00,xx????內(nèi)關(guān)于 x=x0 反對稱” ， 表明 ,( , )xf xy 沿水平方向的極大值半徑不小于小波的支集半徑。 ? 稱為極大值半徑。關(guān)于 Y 的偏導(dǎo)數(shù) ,( , )yyf xy 和 , ( , )yg xy 有類似的結(jié)果。引理 1 設(shè)函數(shù) f(x,y)二階連續(xù)可導(dǎo)， ()x? 關(guān)于 Y 軸對稱且具有緊支集 ? ?,S ???? ， ()x? 為 ()x?的導(dǎo)函數(shù)， 1( , ) ( ) ( )w x y x y??? ， ( , ) ( * 1)( , )g x y f W x y? ，而 ,( , )xxf x 在 x0 的鄰域? ?0 , 0xx????內(nèi)關(guān)于 x=x0 反對稱。其中，圖像 f(x,y)在尺度 j 時的模函數(shù)被定義為 ? ? 122 2122 2 2( , ) ( , ) ( , )j j jM f x y f x y f x y?? （ 35） 梯度向量沿水平方向的幅角為 ： 122 2 2( , ) a r g ( ( , ) ( , ) )i i iA f x y um e nt f x y if x y?? （ 36） 這里 i 為虛數(shù)單位。如圖 ，當(dāng)信號的峰和 (或 )谷足夠窄時，可按照某種規(guī)則判斷是否包含屋脊型邊緣 [8]。因此，對稱性的假設(shè)有助于文中的處理，同時又不會影響整體結(jié)果。之所以將模型設(shè)為對稱型，是因為從統(tǒng)計學(xué)的角度講， 圖像 中邊緣處總的不對稱性數(shù)學(xué)期望應(yīng)為零。如圖 所示。 這里的定義與傳統(tǒng)的邊緣定義的本質(zhì)區(qū)別表現(xiàn)在兩點 :連續(xù)性和對稱性。 定義 1 經(jīng)過一定的旋轉(zhuǎn)后，在 (x0, y0)的某鄰域內(nèi)灰度函數(shù)能夠表示成形如00( , ) si n ( ) ( )f x y x x h y y a?? ? ? ?的邊緣點 (x0, y0)稱為廣義階躍型邊緣。 邊緣模型和最小位移的小波基 的 選擇 從上面的分析可知，連續(xù)的邊緣模型具有更好的可行性。即使是方波信號 ,在實際傳輸中，也會轉(zhuǎn)變成比較光滑的形式。實際上，除了階躍型邊緣模型外，常用的 邊緣模型還有階梯邊緣、斜坡邊緣和屋脊型邊緣等。對于加性白噪聲的假設(shè)，從應(yīng)用角度講比較實際，而從數(shù)學(xué)推導(dǎo)而言也是方便的 。如果同時采用多尺度，就有可能避免或更多的減少邊緣的位移。 ? 恰恰代表了濾波器的尺度。其次，按照 Canny 的最優(yōu)化準(zhǔn)則推出的一階微分濾波器近似于高斯函數(shù)的一階導(dǎo)濰坊學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 18 數(shù)。事實并非如此。適當(dāng)?shù)倪x擇h(x)可以減少這種影響。事實上，由公式 (34)可以看出，除了噪聲外，邊緣位移與 ? 和 ` 0()hfx有關(guān)。 問題分析 Canny 首先提出了邊緣檢測的最優(yōu)化準(zhǔn)則，即最大信噪比準(zhǔn)則、最優(yōu)過零點定位準(zhǔn) 則和多峰值響應(yīng)準(zhǔn)則。但是，多尺度邊緣檢測的一個主要問題就是邊緣位置會發(fā)生偏移。該方法的實 質(zhì)是找出一個最優(yōu)的平滑濾波器，使得用該濾波器對圖象平滑后，邊緣 問題變成非病態(tài)的，同時能最好的保持原圖 像 的性質(zhì)。因 而在檢測真正的邊緣點時，常常會檢測出遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于實際的邊緣點，而且可能真正的邊緣點反而沒有被檢測出來。但是，若基于這樣的定義，人們立即發(fā)現(xiàn)邊緣檢測問題是一個病態(tài)問題。根據(jù)這一認(rèn)識，邊緣的數(shù)學(xué)模型就被定義為“一階導(dǎo)數(shù)極大值的點或二階導(dǎo)數(shù)的零交叉”。實際上，到目前為止，尚沒有一個準(zhǔn)確而完整的邊緣定義。因此，小波分析的多尺度特性對于多尺度 邊緣檢測很有用。此時該分支稱為主分支。文獻(xiàn)中介紹了小波變換后模極大值的范圍，若信號 f(x)在 x0 處是奇異，則存在一個收斂到小波變換模極大值序列 (當(dāng)尺度逐步減小時 )。 通過證明可以得到這樣 的結(jié)論 :對于尖銳邊緣，隨著小波尺度的縮小，小波分支的系數(shù)迅速增加 。不同類型的邊緣在尺度變化時的表現(xiàn)不一樣。小波分析的多分辨特性有助于根據(jù)先驗知識確定邊緣檢測的尺度，或自適應(yīng)的選擇多個尺度進(jìn)行邊緣檢測 [7]。則對 2()f L R? ，有 jjgW? 和 kkfV? 使 j k jj Z j kf g f g??? ? ? ? ? （ 32） 事實上，可以證明，閉子空間 V2 由 12 ()jM M x k Z?????????生成， W2 能夠由12 ( ) , 1 1 ,jxM M x k s M k Z???? ? ? ? ?????生成。當(dāng)小波變換的尺度變化時，利用小波變換的高頻信息可以檢測出基于不同尺度下的邊緣。由于 圖像 中的物體邊緣處灰度值變化較快，因此正好可利用小波的局部刻畫特性，以檢測邊緣而達(dá)到分割的目的。 濰坊學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 16 與 Fourier 分析不同，小波分析能夠計算在每一點附近信號 (圖像 )的頻率 (變化情況 )。如能找出這樣的函數(shù) ()x? ，則 ( )* ( )f x x? 正好刻畫了 f (x)在點 x 附近的平均變化率。當(dāng) ()x? 和 f (x)時，下面卷積關(guān)系成立。 對 每 一個2( ) ( ), * ( )f x L R f x?? 表示對函 數(shù) f (x)在 x0 附近的一種連續(xù)加權(quán)平均 (離散的情況為 ) 1, ( )iia a ifx? ? ?，因此稱卷積為對原信號的平滑。而多分辨分析則為多尺度邊緣檢測提供了理論基礎(chǔ)。 小波分析與多尺度邊緣檢測 與傳統(tǒng)的 Fourier 分析相比，小波分析除了具有和 Fourier 分析類似的頻譜分析功能外，還具有以下兩個特點 :局部化特性和多分辨特性。 早就證明了一維空間的指數(shù)濾波器的最佳性，并 提出了邊緣檢測的準(zhǔn)則，即精確定位準(zhǔn)則、良好的檢測準(zhǔn)則和邊緣點的一對一響應(yīng)準(zhǔn)則。 證明了指數(shù)濾波器是一階最佳濾波器，井給出了邊緣檢測的遞歸算子。最基本的二階邊緣檢測算子，它對噪聲更為敏感。是一個 3x3 的非線性算子，基本思想是盡量使邊緣兩側(cè)的像素各自與自己的同類像素取平均，然后再求平均值之差，這樣既抑制了噪聲又減少了由于平均而造成的邊緣細(xì) 節(jié)丟失，缺點是增大了計算量。在計算微分以前，先進(jìn)行鄰域平均或加權(quán)平均。利用的是邊緣點的一階導(dǎo)數(shù)有極小值，它們對噪聲非常敏感，常產(chǎn)生一些孤立點。該算法在盡量保持細(xì)節(jié)邊緣不被丟失的情況下，使得在大尺度下求取的邊緣位置不變。然后證明，對于特定的一類小波基，在一定的尺度范圍內(nèi)，其小波變換不會改變原圖像的基于二階導(dǎo)數(shù)零交叉的邊緣點的位置 。一般而言，對于不同的小波，在提取圖像的邊緣特征的能力上是有差別的。在使用小波分析提取邊緣的過程中，人們已經(jīng)注意到采用不同的小波基進(jìn)行的小波變換獲得結(jié)果的效率是不一樣的，如 Marlet 小波用于紋理圖像的分割較好 。而且，小波基函數(shù)可以具有緊支集 (絕大多數(shù)小波函數(shù)滿足該性質(zhì) )，用基于小波基函數(shù)的平滑因子可以減少對原圖 像 的局部擾動。主觀上則取決于平滑算子和自適應(yīng)選擇尺度的算法 [4][5]。因此，抑制噪聲和保持邊緣具有一定的矛盾性。這些算子雖然對抑制噪聲有了一定的改善，但卻忽視了邊緣位移的問題。 Marr 曾經(jīng)指出，為了可靠的檢測邊緣，應(yīng)當(dāng)同時使用多個尺度不同的算子 .這一思想后來由 Witkin等發(fā)展成了尺度空間濾波的概念。并沒有完全解決噪聲問題。它被認(rèn)為是在假定的模型下使邊緣檢測成為具有完善解的最優(yōu)化方法。為此，必須平滑噪聲 ，但同時又要盡可能的保持原圖象的信息不變。但是，由于導(dǎo)數(shù)定義本身的局部性，因而無法避免噪聲的干擾。按照人們的直觀認(rèn)識， 圖像 邊緣是那些局部灰度變化最劇烈的地方。 濰坊學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 14 第三章 小波分析的多尺度邊緣檢測 小波分析的多尺度邊緣檢測 邊緣檢測是低級視覺中要解決的關(guān)鍵問題之一。同時，系數(shù)分塊使得EBCOT 算法可以滿足感興趣區(qū)編碼，容錯編碼等特殊應(yīng) 用 要求。 EBCOT 算法和上述算法的一個重大區(qū)別在于前者不再利用不同分解級或者足不同頻帶上小波系數(shù)的相似性，而是簡單地將所有小 波系數(shù)分成規(guī)則的小方塊進(jìn)行處理，這樣小波系數(shù)的管理不再牽涉復(fù)雜的四叉樹結(jié)構(gòu)，簡化了編碼算法。 (EBCOT) EBCOT 算法 1999 年由 David Taubman 提出。 EZW 算法利用了不同分解級上小波系數(shù)分布的相似性。 (EPWlC) EPWIC 算法 1997 年由 Simon celli 提出。小波變換將圖像的能量轉(zhuǎn)移到少量低頻系數(shù)和一些成簇分布的高頻系數(shù)上。 (SFQ) SFQ 算法 1997 年由 Xiong 提出。和 EZW 一樣， SPIHT算法也采用了標(biāo)量量化方法。建立在這些認(rèn)識的基礎(chǔ)上，他們提出了一種更加有效的編碼策略 SPHIT 以取代EZW 算法， SPIHT 的獨特之處在于對重要系數(shù)所對應(yīng)的樹結(jié)構(gòu)分段進(jìn)行處理。 (SPIHT) SPIHT 算法 1996 年由 Said 和 Pearlman 提出。 EZW 算法不需要預(yù)先知道圖像的特性，不需要訓(xùn)練，也不用保存額外的碼表，算法簡潔而高效，是小波圖像壓縮的一個經(jīng)典算法。零樹編碼的順序是從低頻到高頻掃描每一個系數(shù)，重要的系數(shù)始終在前而，形成嵌入式碼流。則小波系數(shù)之間存在以下關(guān)系：若某個小波系數(shù)為次要系數(shù)，與之對應(yīng)的較高頻子帶上的四個子系數(shù)也以較人概率為次要系數(shù)，所有的次要系數(shù)編碼的時候都不需要保存。 EZW 算法的一個基本假定是不同分解級的小波系數(shù)仍然存在一定相關(guān)。小波分解以后，高頻 子 帶的每個系數(shù)都對應(yīng)著上一分解級上同一位置的四個系數(shù)， 1992 年 Lewis 和 Knowles 最先引入四義樹結(jié)構(gòu)用 于保存小波系數(shù)。目前，小波圖像壓縮算法主要有以下幾種： EZW， SPIHT， SFQ， EPWIC， EBCOTI。對變換后的小波域系數(shù)的編碼，人們提出了許多策略，主要有零樹編碼、位平面編碼、基于上下文的自適應(yīng)算術(shù)編碼、矢量量化編碼等。通常為低頻 子 帶分配較多的比特數(shù)，而給高頻了帶分配較少的比特數(shù)，甚至為零比特。圖 是二維圖像小波分解的示意圖 圖 二維圖像小波分解的示意圖 222222hghggh原始圖像行濾波列濾波LL 子圖LH 子圖HL 子圖HH 子圖重構(gòu)圖像222222 h~g~g~g~h~h~列濾波行濾波LL 子圖LH 子圖HL 子圖HH 子圖b 二維離散小波重構(gòu)3 LL2 HL2 LH2 HH1 LH1 HL 1 HH濰坊學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 12 小波的圖像編碼算法 自小波理論應(yīng) 用十圖像編碼領(lǐng)域時起，迄今為止，各國學(xué)者已經(jīng)提出了多種結(jié)合不同量化和編碼措施的基于小波的編碼算法。對于二維數(shù)字圖像信號，離散小波變換可以通過在水平和垂直方向上分別應(yīng)用 h， g 濾波器進(jìn)行一維濾波來實現(xiàn)： 二 維離 散 小波變換的 Mallat 實現(xiàn)濰坊學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 11 如圖 所示： a 二維離散小波分析 圖 二維離散小波變換的實現(xiàn) 二維離散小波變換每次分解產(chǎn)生一個低頻子圖 LL 和三個高頻子圖，即水平子圖 LH、垂直子圖 HL 和對角子圖 HH，下一級小波變換是在前級產(chǎn)牛的低頻子圖LL 的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，依次重復(fù)，可完成圖像的 N 級小波分解，得到圖像的 N 級分辨率，其中 N1 級對應(yīng)效果最 差 的分辨級， 0 級時 對 應(yīng)效果做好的分辨級。 ( ) ( ) , 1 , 2 , ... .., 12Lx N k x k k? ? ? ? (4) 對稱延拓 ( ) ( ) , 1 , 2 , ....., 2Lx k x k k? ? ? 。因此，為了使上面的公式完善，必須對原信號進(jìn)行邊界延拓。設(shè)信號 x(n)的長度為 N，初始信號為 x(o)，濾波器長度 (或小波的支集 )為 L(假設(shè)為偶數(shù) )。 (a)二進(jìn)小波 變換 (b) 3帶小波變換 圖 小波變換圖例 濰坊學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 10 小波變換的邊界延拓方法 小波變換是以卷積的形式出現(xiàn)的。 2( , )xy? 是沿水平方向高通濾波，而沿垂直方向平滑的濾波器 : 1( , )xy? 是沿水平方向和垂直方向均為高通濾波的濾波器。一種簡化的形式是用可分離的小波基。 小波的分解和重構(gòu)算法 目前，使用最多的是基于二進(jìn)小波的 的快速算法，但是二維情形的小波變換較為復(fù)雜。既要對低頻部分 進(jìn)一步局部化，同時又對高頻部分進(jìn)一步局部化。 無論二進(jìn)小波還是多進(jìn)小波，他們的第二次分解總是只對低頻的部分進(jìn)行。且通過 M 帶濾波器的參數(shù)化，可以得到下列關(guān)系 : 2 ,0( ) s in ( ) , 1Mi j l jlv fo rj M???? ? ? ? （ 229） 其中， ,lj? 為 Householder 參數(shù)。 多進(jìn)小波和尺度函數(shù)的關(guān)系稍微復(fù)雜一些。這