【導(dǎo)讀】濰坊學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文）

　　

【正文】 基，在一定的尺度范圍內(nèi)，其小波變換不會改變原圖像的基于二階導(dǎo)數(shù)零交叉的邊緣點的位置 。進而 討論 一種根據(jù)局部圖像的特點，求出保持圖像局部邊緣點位 置不變的最大尺度的多尺度自適應(yīng)邊緣檢測方法。該算法在盡量保持細節(jié)邊緣不被丟失的情況下，使得在大尺度下求取的邊緣位置不變。 濰坊學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 15 經(jīng)典邊緣檢測方法 (1)梯度算子和 Robert 算子。利用的是邊緣點的一階導(dǎo)數(shù)有極小值，它們對噪聲非常敏感，常產(chǎn)生一些孤立點。 (2)Prewitt 和 Sobel 算子。在計算微分以前，先進行鄰域平均或加權(quán)平均。 (3)Kirsch 算子。是一個 3x3 的非線性算子，基本思想是盡量使邊緣兩側(cè)的像素各自與自己的同類像素取平均，然后再求平均值之差，這樣既抑制了噪聲又減少了由于平均而造成的邊緣細 節(jié)丟失，缺點是增大了計算量。 (4)Laplacian 算子。最基本的二階邊緣檢測算子，它對噪聲更為敏感。 (5)沈俊算子。 證明了指數(shù)濾波器是一階最佳濾波器，井給出了邊緣檢測的遞歸算子。 (6)Canny 算子。 早就證明了一維空間的指數(shù)濾波器的最佳性，并 提出了邊緣檢測的準則，即精確定位準則、良好的檢測準則和邊緣點的一對一響應(yīng)準則。他還證明了最佳濾波實際是用高斯函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)來濾波，并導(dǎo)出了二階邊緣檢測最佳算子，由于 Canny 算子的良好特性，它已成為很多邊緣檢測器設(shè)計的比較標(biāo)準 [6]。 小波分析與多尺度邊緣檢測 與傳統(tǒng)的 Fourier 分析相比，小波分析除了具有和 Fourier 分析類似的頻譜分析功能外，還具有以下兩個特點 :局部化特性和多分辨特性。局部化特性為使用小波變換直接進行邊緣檢測提供了可能 。而多分辨分析則為多尺度邊緣檢測提供了理論基礎(chǔ)。 局部頻率刻畫功能 一般 的 ， 滿足 性 質(zhì) ( ) 1xR x d? ?? 的函 數(shù) ()x? 稱 為平 滑 函 數(shù)。 對 每 一個2( ) ( ), * ( )f x L R f x?? 表示對函 數(shù) f (x)在 x0 附近的一種連續(xù)加權(quán)平均 (離散的情況為 ) 1, ( )iia a ifx? ? ?，因此稱卷積為對原信號的平滑。當(dāng) ()x? 具有緊支集時，這種光滑具有局部刻畫能力。當(dāng) ()x? 和 f (x)時，下面卷積關(guān)系成立。 ? ?( ) ( )* ( ) ( ) * * ( )xxd f x d xx f x d f xdd ???? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? （ 31） 上式的左端為信號 f(x) 的變化率的局部平均，中間項可看成另一函數(shù)( ) ( ) xx d x d??? 對信號 f (x)的平滑。如能找出這樣的函數(shù) ()x? ，則 ( )* ( )f x x? 正好刻畫了 f (x)在點 x 附近的平均變化率。以 ()x? 為尺度函數(shù)產(chǎn)生的小波 ()x? 正好具有這樣的功能。 濰坊學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 16 與 Fourier 分析不同，小波分析能夠計算在每一點附近信號 (圖像 )的頻率 (變化情況 )。從而可用于分析 圖像 的局部信息，提取 圖像 的局部特征，發(fā)現(xiàn) 圖像 的細節(jié)信息。由于 圖像 中的物體邊緣處灰度值變化較快，因此正好可利用小波的局部刻畫特性，以檢測邊緣而達到分割的目的。并進一步從包含多個物體對象的 圖像 中識別特殊的對象。當(dāng)小波變換的尺度變化時，利用小波變換的高頻信息可以檢測出基于不同尺度下的邊緣。 小波多分辨分析 設(shè) L2 (R)為平方可積函數(shù)， L2 (R)上的一個多分辨分析是指滿足一定條件的閉子空間序列 11, ...... .....j j jVj V V V??? ? ?設(shè) Wj 是 Vj 在 Vj1 上的正交補空間，即1j j jV W V ???。則對 2()f L R? ，有 jjgW? 和 kkfV? 使 j k jj Z j kf g f g??? ? ? ? ? （ 32） 事實上，可以證明，閉子空間 V2 由 12 ()jM M x k Z?????????生成， W2 能夠由12 ( ) , 1 1 ,jxM M x k s M k Z???? ? ? ? ?????生成。這里 ()x? 為尺度函數(shù) ? ?( ),1 1s x s M? ? ? ?為小波函數(shù)，它們滿足如下方程 : ( ) ( ) , ( ) ( )sk s kkZx c M x k x d M x k? ? ? ??? ? ? ? ? ? （ 33） 其中 c2 稱為濾波系數(shù)， d2 為小波系數(shù)。小波分析的多分辨特性有助于根據(jù)先驗知識確定邊緣檢測的尺度，或自適應(yīng)的選擇多個尺度進行邊緣檢測 [7]。 邊緣的多尺度特性刻畫 邊緣在不同的尺度下的變化具有一定的規(guī)律性。不同類型的邊緣在尺度變化時的表現(xiàn)不一樣。利用這些性質(zhì)可區(qū)分噪聲與實際邊緣，以及邊緣的種類。 通過證明可以得到這樣 的結(jié)論 :對于尖銳邊緣，隨著小波尺度的縮小，小波分支的系數(shù)迅速增加 。而對于光滑邊緣，當(dāng)尺度縮小時，相應(yīng)的小波分支系數(shù)變化緩慢。文獻中介紹了小波變換后模極大值的范圍，若信號 f(x)在 x0 處是奇異，則存在一個收斂到小波變換模極大值序列 (當(dāng)尺度逐步減小時 )。對于光滑邊緣 (灰度值變化較緩慢 )，當(dāng)小波尺度最小時，該分支系數(shù)并非最大，隨著尺度的逐步增加，該分支系數(shù)將會增加，當(dāng)尺度增加到一定值時又會開始下降。此時該分支稱為主分支。小波主分支分析無論在邊緣檢測還是 圖像 分類中都有很好的應(yīng)用。因此，小波分析的多尺度特性對于多尺度 邊緣檢測很有用。 濰坊學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 17 邊緣檢測準則與多尺度邊緣檢測 邊緣檢測準則與多尺度邊緣檢測 邊緣檢測算法的設(shè)計取決于邊緣的定義。實際上，到目前為止，尚沒有一個準確而完整的邊緣定義。一般認為，邊緣是那些局部灰度變化劇烈的地方。根據(jù)這一認識，邊緣的數(shù)學(xué)模型就被定義為“一階導(dǎo)數(shù)極大值的點或二階導(dǎo)數(shù)的零交叉”?！耙浑A導(dǎo)數(shù)極大值”的定義更精確一些 ； 而“二階導(dǎo)數(shù)的零交叉”更容易實施。但是，若基于這樣的定義，人們立即發(fā)現(xiàn)邊緣檢測問題是一個病態(tài)問題。因為，無論是隨機噪聲、孤立噪聲還是條帶噪聲，都滿足上面的邊緣定義。因 而在檢測真正的邊緣點時，常常會檢測出遠遠多于實際的邊緣點，而且可能真正的邊緣點反而沒有被檢測出來。解決這類問題的較普遍的方法是正則化方法。該方法的實 質(zhì)是找出一個最優(yōu)的平滑濾波器，使得用該濾波器對圖象平滑后，邊緣 問題變成非病態(tài)的，同時能最好的保持原圖 像 的性質(zhì)。從尺度分析的角度看，該方法實際上是在大尺度下對 圖像 進行邊緣檢測。但是，多尺度邊緣檢測的一個主要問題就是邊緣位置會發(fā)生偏移。在假設(shè)邊緣模型為階躍邊緣 時， 即信號 00,( ) ( ) 0,A x xf x A x xx? ???? ? ??，設(shè) ()x? 是方差為 2? 的加性白噪聲， h(x)是方差為 2? 的二階微分濾波器，容易推出邊緣點偏移的方差為 222 ` 200 `20( ( ) ) ( ( ) )hE x x fx??? ? ? ? （ 34） 由于噪聲是未知的，因此，改善邊緣檢測算子在保持邊緣位置方面就取決于二階微分濾波器 h(x)了。 問題分析 Canny 首先提出了邊緣檢測的最優(yōu)化準則，即最大信噪比準則、最優(yōu)過零點定位準 則和多峰值響應(yīng)準則。其中，前兩條是相互矛盾的，只能取某種折中 ； 第二條和第三條是一致的。事實上，由公式 (34)可以看出，除了噪聲外，邊緣位移與 ? 和 ` 0()hfx有關(guān)。當(dāng)其它邊緣點離 x0 很近時，對 ` 0()hfx的影響很大。適當(dāng)?shù)倪x擇h(x)可以減少這種影響。 從公式 (34)看，似乎在大尺度下檢測出的邊緣不可避免的要發(fā)生位移。事實并非如此。首先 (34)式表示的是一種統(tǒng)計誤差，而 并不代表具體點的實際誤差。其次，按照 Canny 的最優(yōu)化準則推出的一階微分濾波器近似于高斯函數(shù)的一階導(dǎo)濰坊學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 18 數(shù)。從而 (34)式中的方差。 ? 恰恰代表了濾波器的尺度。因而 (34)式反映了單一尺度下邊緣位移的統(tǒng)計誤差。如果同時采用多尺度，就有可能避免或更多的減少邊緣的位移。再次，（ 34）式的推導(dǎo)是在兩個基本假設(shè)之下得出的。對于加性白噪聲的假設(shè)，從應(yīng)用角度講比較實際，而從數(shù)學(xué)推導(dǎo)而言也是方便的 。而對于階躍型邊緣的假設(shè)則很值得推敲。實際上，除了階躍型邊緣模型外，常用的 邊緣模型還有階梯邊緣、斜坡邊緣和屋脊型邊緣等。另外，實際的邊緣并非 像 上面的那樣迅速發(fā)生突變。即使是方波信號 ,在實際傳輸中，也會轉(zhuǎn)變成比較光滑的形式。從屋脊型邊緣的模型來看，真正希望被檢測出來的是屋脊的頂點，但若按照階躍型邊緣的模型定義，實際檢測出來的將是屋脊兩腰的點。 邊緣模型和最小位移的小波基 的 選擇 從上面的分析可知，連續(xù)的邊緣模型具有更好的可行性。下邊給出一種廣義的連續(xù)階躍型邊緣模型。 定義 1 經(jīng)過一定的旋轉(zhuǎn)后，在 (x0, y0)的某鄰域內(nèi)灰度函數(shù)能夠表示成形如00( , ) si n ( ) ( )f x y x x h y y a?? ? ? ?的邊緣點 (x0, y0)稱為廣義階躍型邊緣。其中 n 為正整數(shù)。 這里的定義與傳統(tǒng)的邊緣定義的本質(zhì)區(qū)別表現(xiàn)在兩點 :連續(xù)性和對稱性。事實上，這里的階躍型邊緣的定義是傳統(tǒng)的階躍邊、斜坡邊、脈沖邊和階梯邊的綜合，且更能反映邊緣的灰度變化。如圖 所示。前面已經(jīng)說明了建立連續(xù)型邊緣模型的原因。之所以將模型設(shè)為對稱型，是因為從統(tǒng)計學(xué)的角度講， 圖像 中邊緣處總的不對稱性數(shù)學(xué)期望應(yīng)為零。而 本課題 的處理是按點進行的。因此，對稱性的假設(shè)有助于文中的處理，同時又不會影響整體結(jié)果。 按照這樣定義的階躍模型還有一個好 處，即有可能將屋脊型邊緣與階躍型邊緣統(tǒng)一起來處理。如圖 ，當(dāng)信號的峰和 (或 )谷足夠窄時，可按照某種規(guī)則判斷是否包含屋脊型邊緣 [8]。 圖 廣義階躍型邊緣 圖 屋脊型邊緣介于兩階躍邊緣之間 濰坊學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 19 定義 2 設(shè) f(x,y)表示二維圖像，基于而進小波分解后尺度 j 時的“邊”被定義為這樣的點 (x0,y0)的集合，在這些點上，函數(shù)沿著梯度向量場的方向，梯度向量的模達到極大值。其中，圖像 f(x,y)在尺度 j 時的模函數(shù)被定義為 ? ? 122 2122 2 2( , ) ( , ) ( , )j j jM f x y f x y f x y?? （ 35） 梯度向量沿水平方向的幅角為 ： 122 2 2( , ) a r g ( ( , ) ( , ) )i i iA f x y um e nt f x y if x y?? （ 36） 這里 i 為虛數(shù)單位。在進行邊緣檢測時需記下模極大值及其位置和幅角。引理 1 設(shè)函數(shù) f(x,y)二階連續(xù)可導(dǎo)， ()x? 關(guān)于 Y 軸對稱且具有緊支集 ? ?,S ???? ， ()x? 為 ()x?的導(dǎo)函數(shù)， 1( , ) ( ) ( )w x y x y??? ， ( , ) ( * 1)( , )g x y f W x y? ，而 ,( , )xxf x 在 x0 的鄰域? ?0 , 0xx????內(nèi)關(guān)于 x=x0 反對稱。若 (xo,y0)點是 ,( , )xxf xy 的過零點，則 (x0,y0)也是,( , )xg xy 的 過零點。關(guān)于 Y 的偏導(dǎo)數(shù) ,( , )yyf xy 和 , ( , )yg xy 有類似的結(jié)果。定義 3 設(shè) (xo, y0)為函數(shù) f (x, y)的極大值點，若存在這樣一個正數(shù) ? ，使得當(dāng) f(x,y)限制在 (x0,y0)點的 ? 一閉鄰域 ? ? ? ?0 0 0 0,U x x y y? ? ? ?? ? ? ? ? ?內(nèi)時，沿梯度方向 f(x0,yo)為 f(x,y)的最大值點，而在任何包含 u 的開 鄰域內(nèi)， (x0,y0)不為 f (x)的最大值點，則稱 U為 f(x,y)關(guān)于點 (x0,y0)的極大值區(qū)間。 ? 稱為極大值半徑。在離散的情況，即nx??? ，稱其極大值半徑為 n，極大值區(qū)間長度為 ，稱其模函數(shù)的極大值半徑為該邊緣點的半徑 ； 其模函數(shù)的極大值區(qū)間稱為該邊緣點的極大值區(qū)間。 說明 ： 由于 ? 是小波的支集半徑，所以條件“ ? ? ? ?0 0 0 0,x x y y? ? ? ?? ? ? ? ?在 x的鄰域 ? ?00,xx????內(nèi)關(guān)于 x=x0 反對稱” ， 表明 ,( , )xf xy 沿水平方向的極大值半徑不小于小波的支集半徑。 定理 1： 設(shè) f (x, y)為二維圖像， ()x? 為關(guān)于 Y 軸對稱的且具有緊支集的非負尺度函數(shù)， ,( ) ( )xx??? 為對應(yīng)小波函數(shù)，令 0 ( , ) ( ) ( )W x y x y??? ， 1 ( , ) ( ) ( )W x y x y??? ，2 ( , ) ( ) ( )W x y x y??? ， 3 ( , ) ( ) ( )W x y x y??? ，則以 0( , )W xy 為尺度函數(shù)，以 w1, w2，和w3為基小波的小波變換，對于廣義階躍型邊緣在小波變換后仍然能準確定位。 位置不變的多尺度邊緣檢測模型 由定理 1 知，對于階躍型邊緣，在使用恰當(dāng)?shù)男〔ㄗ儞Q后仍