【正文】 which the image was smoothed. One of the shortings of edge detection in large scale is that it’s difficult to locate edge precisely, which will make mistakes in pattern recognition based on edge features. With mufti scale characterization, wavelet analysis was widely used to muftiscale edge detection. In this paper, it was proved that, waveletbased muftiscale edge detection would keep edge positions very well, if symmetric bases were used in wavelet transform. Furthermore, an algorithm of muftiscale edge detection based on biorthogonal symmetric wavelet was put forward。 Digital image sharpness 濰坊學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 1 第一章 前言 小波分析 概述 小波分析真正作為一門理論或?qū)W科被研究?jī)H僅是 20 年的事情。數(shù)學(xué)家認(rèn)為，小波分析是一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支，它是泛函分析、 Fourier 分析、樣條分析和數(shù)值分析的完美結(jié)晶 。小波的概念是由法國(guó)的從事石油勘測(cè)信號(hào)處理的地球物理學(xué)家Morlet 于 1984 年提出的。后來， Stromberg 構(gòu)造了第一個(gè)小波基。平面圖像可以看成二維信號(hào)，因此，小波分析很 自然地被運(yùn)用到圖像處理領(lǐng)域。 本課題對(duì) 小波理論做了粗淺的研究，并給出了小波在某些圖像處理中的應(yīng)用結(jié)果 [1]。 Fourier 變換具有許多重要性質(zhì)，如卷積性質(zhì)和能量守恒性質(zhì)等。這從 Fourier 變換的表達(dá)式中不含 時(shí)域（ 空域 ） 變量這一點(diǎn)可以看出。函數(shù) 2( 0)axe ?? ? 窗口 Fourier 變換的目的是要在每一點(diǎn) nt ，處開一個(gè)窗口以便觀察函 數(shù) f (t)在該點(diǎn)附近的變化情況。如何構(gòu)造一種隨原函數(shù)的頻率變化而變化的窗口函數(shù)，這從理論上要求將 Fourier 變換的核函數(shù)與窗口函數(shù)蹂合在一起考慮，這樣就導(dǎo)致了小波的產(chǎn)生 [2]。類似于 Fourier 分析，小波分析主要 由兩個(gè)變換構(gòu)成，即連續(xù)小波變換和離散小波變換。（ ）式稱為容許條件。 以建立從小波系數(shù)重建原函數(shù)的數(shù)學(xué)方法。若 , , , ,m n l k m l n k? ? ? ?? （ 27） 則稱為規(guī)范正交基。消失矩越大，則基于這樣的小波所對(duì)應(yīng)的函數(shù)分解對(duì)信號(hào)壓縮越有利。若,( ) ( )m n m nmnf x d x???，但存在函數(shù)示 ?()x? ，使得對(duì)于任意的 2( ) ( )f x L R? ，若 , , , ,??, , ,m n m n m n m nf d f d????則 , , , , ??( ) ( ) ( )m n m n m n m nm n m nf x d x d x??? ? ? ? （ 212） 則稱 ? ?,? :,mn m n Z? ? 為 ? ?, :,mn m n Z? ? 對(duì)偶基，原小波基 ? ?, :,mn m n Z? ? 稱為雙正交小波基 (或半正交小波基 )。 如果小波函數(shù)為對(duì)稱的或反對(duì)稱的，則對(duì)應(yīng)的小波基稱為對(duì)稱小波基。這些小波都為正交小波，且具有緊支集。 Daubechies 構(gòu)造出的系列小波 {Dn}中，D0(Haar)可用于刻畫不連續(xù)性， D4 可用于檢測(cè)一階導(dǎo)數(shù)的不連續(xù)性， D8 可用于檢測(cè)二階導(dǎo)數(shù)的不連續(xù)性，等等。 小波多分辨分析 在數(shù)字信號(hào)或數(shù)字圖像處理領(lǐng)域，一般將離散小波的步長(zhǎng)取為 2。即 ： 濰坊學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 7 2 1 0 1( ) . . . . . . . .jjZL R W W W W??? ? ? ? ? ? ? （ 217） 在此意義下，對(duì)每個(gè) 2( ) ( )f x L R? ，都有一個(gè)分解 1 0 1( ) .. . ( ) ( ) ( ) .. .f x g x g x g x?? ? ? ? ? （ 218） 其中 , ()jjg x W? ，對(duì)所有 jz? 成立。 若 存 在 2()LR 中 的 一 個(gè) 函 數(shù) ()x? ， 使 得 族? ?0, ( ) ( ) :n x x n n Z??? ? ?是 0V 的一個(gè) Riesz 基，則 ??kV 滿足上述定義的所有條件。這里著重指 出，多分辨分析的定義，以及小波函數(shù) ()x? 所滿足的上述條件，為構(gòu)造小波函數(shù)提供了一種思路，同時(shí)也為小波變換的算法實(shí)施提供了一種思路。而母函數(shù)由可以由尺度向量構(gòu)成。由基于兩尺度關(guān)系的多分辨分析可導(dǎo)出如下關(guān)系 : 1( 1)nnngh???? 或 12( 1)nn n ngh? ? ??? （ 228） 其中， 2N為尺度向量的支撐區(qū)間的長(zhǎng)度。 由二進(jìn)小波的定義，二進(jìn)小波在對(duì)信號(hào)分解時(shí)，將原信號(hào)分解為波長(zhǎng)相等的兩個(gè)分支。這是的小波變換稱為多進(jìn)小波。且通過 M 帶濾波器的參數(shù)化，可以得到下列關(guān)系 : 2 ,0( ) s in ( ) , 1Mi j l jlv fo rj M???? ? ? ? （ 229） 其中， ,lj? 為 Householder 參數(shù)。既要對(duì)低頻部分 進(jìn)一步局部化，同時(shí)又對(duì)高頻部分進(jìn)一步局部化。一種簡(jiǎn)化的形式是用可分離的小波基。 (a)二進(jìn)小波 變換 (b) 3帶小波變換 圖 小波變換圖例 濰坊學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 10 小波變換的邊界延拓方法 小波變換是以卷積的形式出現(xiàn)的。因此，為了使上面的公式完善，必須對(duì)原信號(hào)進(jìn)行邊界延拓。對(duì)于二維數(shù)字圖像信號(hào)，離散小波變換可以通過在水平和垂直方向上分別應(yīng)用 h， g 濾波器進(jìn)行一維濾波來實(shí)現(xiàn)： 二 維離 散 小波變換的 Mallat 實(shí)現(xiàn)濰坊學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 11 如圖 所示： a 二維離散小波分析 圖 二維離散小波變換的實(shí)現(xiàn) 二維離散小波變換每次分解產(chǎn)生一個(gè)低頻子圖 LL 和三個(gè)高頻子圖，即水平子圖 LH、垂直子圖 HL 和對(duì)角子圖 HH，下一級(jí)小波變換是在前級(jí)產(chǎn)牛的低頻子圖LL 的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，依次重復(fù)，可完成圖像的 N 級(jí)小波分解，得到圖像的 N 級(jí)分辨率，其中 N1 級(jí)對(duì)應(yīng)效果最 差 的分辨級(jí)， 0 級(jí)時(shí) 對(duì) 應(yīng)效果做好的分辨級(jí)。通常為低頻 子 帶分配較多的比特?cái)?shù)，而給高頻了帶分配較少的比特?cái)?shù)，甚至為零比特。目前，小波圖像壓縮算法主要有以下幾種： EZW， SPIHT， SFQ， EPWIC， EBCOTI。 EZW 算法的一個(gè)基本假定是不同分解級(jí)的小波系數(shù)仍然存在一定相關(guān)。零樹編碼的順序是從低頻到高頻掃描每一個(gè)系數(shù)，重要的系數(shù)始終在前而，形成嵌入式碼流。 (SPIHT) SPIHT 算法 1996 年由 Said 和 Pearlman 提出。和 EZW 一樣， SPIHT算法也采用了標(biāo)量量化方法。小波變換將圖像的能量轉(zhuǎn)移到少量低頻系數(shù)和一些成簇分布的高頻系數(shù)上。 EZW 算法利用了不同分解級(jí)上小波系數(shù)分布的相似性。 EBCOT 算法和上述算法的一個(gè)重大區(qū)別在于前者不再利用不同分解級(jí)或者足不同頻帶上小波系數(shù)的相似性，而是簡(jiǎn)單地將所有小 波系數(shù)分成規(guī)則的小方塊進(jìn)行處理，這樣小波系數(shù)的管理不再牽涉復(fù)雜的四叉樹結(jié)構(gòu)，簡(jiǎn)化了編碼算法。 濰坊學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 14 第三章 小波分析的多尺度邊緣檢測(cè) 小波分析的多尺度邊緣檢測(cè) 邊緣檢測(cè)是低級(jí)視覺中要解決的關(guān)鍵問題之一。但是，由于導(dǎo)數(shù)定義本身的局部性，因而無法避免噪聲的干擾。它被認(rèn)為是在假定的模型下使邊緣檢測(cè)成為具有完善解的最優(yōu)化方法。 Marr 曾經(jīng)指出，為了可靠的檢測(cè)邊緣，應(yīng)當(dāng)同時(shí)使用多個(gè)尺度不同的算子 .這一思想后來由 Witkin等發(fā)展成了尺度空間濾波的概念。因此，抑制噪聲和保持邊緣具有一定的矛盾性。而且，小波基函數(shù)可以具有緊支集 (絕大多數(shù)小波函數(shù)滿足該性質(zhì) )，用基于小波基函數(shù)的平滑因子可以減少對(duì)原圖 像 的局部擾動(dòng)。一般而言，對(duì)于不同的小波，在提取圖像的邊緣特征的能力上是有差別的。該算法在盡量保持細(xì)節(jié)邊緣不被丟失的情況下，使得在大尺度下求取的邊緣位置不變。在計(jì)算微分以前，先進(jìn)行鄰域平均或加權(quán)平均。最基本的二階邊緣檢測(cè)算子，它對(duì)噪聲更為敏感。 早就證明了一維空間的指數(shù)濾波器的最佳性，并 提出了邊緣檢測(cè)的準(zhǔn)則，即精確定位準(zhǔn)則、良好的檢測(cè)準(zhǔn)則和邊緣點(diǎn)的一對(duì)一響應(yīng)準(zhǔn)則。而多分辨分析則為多尺度邊緣檢測(cè)提供了理論基礎(chǔ)。當(dāng) ()x? 和 f (x)時(shí)，下面卷積關(guān)系成立。 濰坊學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 16 與 Fourier 分析不同，小波分析能夠計(jì)算在每一點(diǎn)附近信號(hào) (圖像 )的頻率 (變化情況 )。當(dāng)小波變換的尺度變化時(shí)，利用小波變換的高頻信息可以檢測(cè)出基于不同尺度下的邊緣。小波分析的多分辨特性有助于根據(jù)先驗(yàn)知識(shí)確定邊緣檢測(cè)的尺度，或自適應(yīng)的選擇多個(gè)尺度進(jìn)行邊緣檢測(cè) [7]。 通過證明可以得到這樣 的結(jié)論 :對(duì)于尖銳邊緣，隨著小波尺度的縮小，小波分支的系數(shù)迅速增加 。此時(shí)該分支稱為主分支。實(shí)際上，到目前為止，尚沒有一個(gè)準(zhǔn)確而完整的邊緣定義。但是，若基于這樣的定義，人們立即發(fā)現(xiàn)邊緣檢測(cè)問題是一個(gè)病態(tài)問題。該方法的實(shí) 質(zhì)是找出一個(gè)最優(yōu)的平滑濾波器，使得用該濾波器對(duì)圖象平滑后，邊緣 問題變成非病態(tài)的，同時(shí)能最好的保持原圖 像 的性質(zhì)。 問題分析 Canny 首先提出了邊緣檢測(cè)的最優(yōu)化準(zhǔn)則，即最大信噪比準(zhǔn)則、最優(yōu)過零點(diǎn)定位準(zhǔn) 則和多峰值響應(yīng)準(zhǔn)則。適當(dāng)?shù)倪x擇h(x)可以減少這種影響。其次，按照 Canny 的最優(yōu)化準(zhǔn)則推出的一階微分濾波器近似于高斯函數(shù)的一階導(dǎo)濰坊學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 18 數(shù)。如果同時(shí)采用多尺度，就有可能避免或更多的減少邊緣的位移。實(shí)際上，除了階躍型邊緣模型外，常用的 邊緣模型還有階梯邊緣、斜坡邊緣和屋脊型邊緣等。 邊緣模型和最小位移的小波基 的 選擇 從上面的分析可知，連續(xù)的邊緣模型具有更好的可行性。 這里的定義與傳統(tǒng)的邊緣定義的本質(zhì)區(qū)別表現(xiàn)在兩點(diǎn) :連續(xù)性和對(duì)稱性。之所以將模型設(shè)為對(duì)稱型，是因?yàn)閺慕y(tǒng)計(jì)學(xué)的角度講， 圖像 中邊緣處總的不對(duì)稱性數(shù)學(xué)期望應(yīng)為零。如圖 ，當(dāng)信號(hào)的峰和 (或 )谷足夠窄時(shí)，可按照某種規(guī)則判斷是否包含屋脊型邊緣 [8]。引理 1 設(shè)函數(shù) f(x,y)二階連續(xù)可導(dǎo)， ()x? 關(guān)于 Y 軸對(duì)稱且具有緊支集 ? ?,S ???? ， ()x? 為 ()x?的導(dǎo)函數(shù)， 1( , ) ( ) ( )w x y x y??? ， ( , ) ( * 1)( , )g x y f W x y? ，而 ,( , )xxf x 在 x0 的鄰域? ?0 , 0xx????內(nèi)關(guān)于 x=x0 反對(duì)稱。 ? 稱為極大值半徑。 位置不變的多尺度邊緣檢測(cè)模型 由定理 1 知，對(duì)于階躍型邊緣，在使用恰當(dāng)?shù)男〔ㄗ儞Q后仍然能準(zhǔn)。 說明 ： 由于 ? 是小波的支集半徑，所以條件“ ? ? ? ?0 0 0 0,x x y y? ? ? ?? ? ? ? ?在 x的鄰域 ? ?00,xx????內(nèi)關(guān)于 x=x0 反對(duì)稱” ， 表明 ,( , )xf xy 沿水平方向的極大值半徑不小于小波的支集半徑。關(guān)于 Y 的偏導(dǎo)數(shù) ,( , )yyf xy 和 , ( , )yg xy 有類似的結(jié)果。其中，圖像 f(x,y)在尺度 j 時(shí)的模函數(shù)被定義為 ? ? 122 2122 2 2( , ) ( , ) ( , )j j jM f x y f x y f x y?? （ 35） 梯度向量沿水平方向的幅角為 ： 122 2 2( , ) a r g ( ( , ) ( , ) )i i iA f x y um e nt f x y if x y?? （ 36） 這里 i 為虛數(shù)單位。因此，對(duì)稱性的假設(shè)有助于文中的處理，同時(shí)又不會(huì)影響整體結(jié)果。如圖 所示。 定義 1 經(jīng)過一定的旋轉(zhuǎn)后，在 (x0, y0)的某鄰域內(nèi)灰度函數(shù)能夠表示成形如00( , ) si n ( ) ( )f x y x x h y y a?? ? ? ?的邊緣點(diǎn) (x0, y0)稱為廣義階躍型邊緣。即使是方波信號(hào) ,在實(shí)際傳輸中，也會(huì)轉(zhuǎn)變成比較光滑的形式。對(duì)于加性白噪聲的假設(shè)，從應(yīng)用角度講比較實(shí)際，而從數(shù)學(xué)推導(dǎo)而言也是方便的 。 ? 恰恰代表了濾波器的尺度。事實(shí)并非如此。事實(shí)上，由公式 (34)可以看出，除了噪聲外，邊緣位移與 ? 和 ` 0()hfx有關(guān)。但是，多尺度邊緣檢測(cè)的一個(gè)主要問題就是邊緣位置會(huì)發(fā)生偏移。因 而在檢測(cè)真正的邊緣點(diǎn)時(shí)，常常會(huì)