【優(yōu)化方案】第一課時一元二次不等式及其解法(編輯修改稿)
2024-12-28 04:29 本頁面
【文章內容簡介】 Δ ＝ 490 ，所以方程 3 x2＋ 5 x － 2 ＝ 0 有兩個實數(shù)根，即 x1＝－ 2 ， x2＝13. 畫出 函數(shù) y ＝ 3 x2＋ 5 x － 2 的圖象如圖 2 所示，由圖象得原不等式的解集為 { x | x － 2 或 x 13} ． ( 3) 法一：因為 Δ ＝ 90 ，方程－ 2 x2＋ x ＋ 1 ＝ 0的兩個根為 x1＝－12， x2＝ 1. 函數(shù) y ＝－ 2 x2＋x ＋ 1 的圖象是開口向下的拋物線 ( 如圖 3) ，與 x 軸交于點 ( －12， 0) 和 ( 1, 0) ．觀察圖象得不等式的解集為 { x | x －12或 x 1 } ． 法二：不等式兩邊同乘以－ 1 ，可得 2 x2－ x－ 10. 方程 2 x2－ x － 1 ＝ 0 的解為 x 1 ＝－12， x 2 ＝ 1 ，函數(shù) y ＝ 2 x2－ x － 1 的圖象是開口向上的拋物線，所以不等式的解集為 { x | x －12或 x 1 } ． ( 4 ) 因為 Δ ＝ 0 ，方程 9 x2－ 6 x ＋ 1 ＝ 0 有兩個相等的實數(shù)根： x1＝ x2＝13.函數(shù) y ＝ 9 x2－ 6 x ＋ 1 的圖象是開口向上的拋物線 ( 如圖 4) ，與 x 軸僅有一個交點 (13， 0) ．由圖象可得不等式的解集為 { x | x∈ R 且 x ≠13} ． ( 5 ) 因為 Δ ＝ 16 － 3 2 ＝－ 160 ，所以方程 x2－ 4 x＋ 8 ＝ 0 無實數(shù)根，函數(shù) y ＝ x2－ 4 x ＋ 8 的圖象是開口向上的拋物線，與 x 軸無交點，所以不等式的解集為 ? . 一元二次不等式與相應一元二次方程的關系 例 2 已知不等式 ax2＋ bx＋ c＞ 0的解集為 (α， β)，且 0＜ α＜ β， 求不等式 cx2＋ bx＋ a＜ 0的解集 ． 【分析】 由條件知 a＜ 0， α、 β為方程 ax2＋ bx＋c＝ 0的兩個根，利用根與系數(shù)的關系找出 a、 b、 c與 α、 β的關系，再利用此關系解不等式． 【解】 由 ax2＋ bx ＋ c ＞ 0 的解集為 ( α ， β ) ，知 a ＜ 0 ， α ， β 為方程 ax2＋ bx ＋ c ＝ 0 的兩個根， ∴ α ＋ β ＝－ba， αβ ＝ca， ∴ b ＝－ a ( α ＋ β ) ， c ＝ a α β ， ∴ 不等式變?yōu)?a α β x2－ a ( α ＋ β ) x ＋ a ＜ 0 ， 又 ∵ a ＜ 0 ， ∴ α β x2－ ( α ＋ β ) x ＋ 1 ＞ 0 ， 變形式 ( αx － 1 ) ( βx － 1) ＞ 0 ∵ 0 ＜ α ＜ β ， ∴
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