【文章內(nèi)容簡介】 + ？ + + + + + + + + + + 二 假設(shè)和符號 ? 為分析問題 ， 可以合理地假定 不存在套利機(jī)會 ? 以下字母的含義為： ? S： 股票現(xiàn)價 ? X： 期權(quán)執(zhí)行價格 ? T： 期權(quán)的到期時間 ? t: 現(xiàn)在的時間 ? ST： 在 T時刻股票的價格 ? r: 在 T時刻到期的無風(fēng)險利率 ? C： 一股股票的美式看漲期權(quán)的價值 ? P： 一股股票的美式看跌期權(quán)的價值 ? c: 一股股票的歐式看漲期權(quán)的價值 ? p: 一股股票的歐式看跌期權(quán)的價值 ? :股票價格的波動率 ? 三、 期權(quán)價格的上下限 1 期權(quán)價格的上限 股票價格是期權(quán)價格的上限 : SCSc ?? 和 2. 不付紅利的歐式看跌期權(quán)的下限 ? 對于不付紅利的歐式看跌期權(quán)來說，其價格的下限為： ? ? SXe tTr ??? ? 假定 S=$37， X=$40， r=5%， Tt= ? Xer(Tt) S = * = 或 $ ? 如果歐式看跌期權(quán)價格 $ $(理論最小值 ) ? 套利者可借入六個月期的 $，購買看跌期權(quán)和股票。 ? 在六個月末 套利者將支付 $*=$。 ? 如果股票價格低于 $,套利執(zhí)行期權(quán)以 $，歸還所借款項本金和利息， 其獲利為： $$=$ ? 如果股票價格高于 $，套利者放棄期權(quán)，賣出股票并償付所借款項本金和利息，甚至可獲得更高的利潤。 ? 例如，如果股票價格為 $，則套利者的利潤為： $$=$ 考慮下面兩個組合： ? 組合 C： 一個歐式看跌期權(quán)加上一股股票 ? 組合 D： 金額為 Xer(Tt)的現(xiàn)金 ? 如果 STX， 在 T時刻組合 C中的期權(quán)將被執(zhí)行，該組合的價值為 X。 如果 ST X，在 T時刻看跌期權(quán)到期價值為零，該組合的價值為 ST。 因此，組合 C在 T時刻的價值為： max (ST , X) ? 假定現(xiàn)金按無風(fēng)險利率進(jìn)行投資，則在 T時刻組合 D的價值為 X。 ? 因此，在 T時刻組合 C的價值通常不低于組合 D的價值，并且有時組合 C的價值會高于組合 D的價值。 ? 在不存在套利機(jī)會時，組合 C的現(xiàn)在價值一定高于組合 D的現(xiàn)在價值。因此： p+SXer(Tt) 或 pXer(Tt)S ? 由于對于一個看跌期權(quán)來說，可能發(fā)生的最壞情況是期權(quán)到期價值為零 ? 所以期權(quán)的價值必須為正值，即 p0 ? 這意味著： pmax(Xer(Tt)S,0) 式（ *1） 3. 不付紅利的看漲期權(quán)的下限 ? 不付紅利的歐式看漲期權(quán)的下限是 )( tTrXeS ??? 例 ? 考慮一個不付紅利的股票的美式看漲期權(quán) ? 此時股票價格為 $51時，執(zhí)行價格為 $50 ? 距到期日有六個月，無風(fēng)險年利率為 12％ ? 即在本例中， S＝ $51， X=$50， Tt=，r=。 ? 根據(jù) c max(S Xe r(Tt)， 0) ? 該期權(quán)價格的下限為 SXer(Tt) 或 *=$ 四、 提前執(zhí)行 ： 提前執(zhí)行不付紅利的美式看漲期權(quán)是不明智的。 ? 考慮一個不付紅利股票的美式看漲期權(quán)，距到期日還有 1個月，股票價格為 $50，執(zhí)行價格為 $40。期權(quán)的實值額很大，期權(quán)的持有者可能很想立即執(zhí)行它。 ? 那些確實想持有股票的投資者將會購買該期權(quán)。這類投資者是一定存在的。否則股票的現(xiàn)價就不會是 $50。 CSXer(Tt) ? 所以 CSX。 ? 如果提前執(zhí)行是明智的，那么 C應(yīng)該等于SX。 ? 我們的結(jié)論是：提前執(zhí)行是不明智的。 圖 616 股價為 S的不付紅利股票的美式或歐式看漲期權(quán)的價格變化 五、 提前執(zhí)行： 提前執(zhí)行不付紅利的看跌期權(quán) 可能是明智的。 ? 提前執(zhí)行不付紅利的看跌期權(quán)可能是明智的。 ? 事實上，在期權(quán)有效期內(nèi)的任一給定的時刻，如果看跌期權(quán)的實值額很大，則應(yīng)提前執(zhí)行它。 ? 考慮一個極端的例子 ? 假定執(zhí)行價格為 $10，股票價格接近為 0。 ? 通過立即執(zhí)行期權(quán)，投資者可立即獲利$10 ? 如果投資者等待，則執(zhí)行期權(quán)的盈利可能低于 $10，但是由于股票價格不可能為負(fù)值，所以盈利不會超過 $10。 ? 另外，現(xiàn)在收到 $10比將來收到 $10要好。 ? 這說明該期權(quán)應(yīng)立即執(zhí)行。 圖 617 股價為 S的美式看跌期權(quán)的價格變化圖 圖 618 股價為 S的歐式看跌期權(quán)的價格變化圖 六、美式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間的關(guān)系 ? 看漲與看跌期權(quán)之間平價關(guān)系僅適用于歐式期權(quán)。 ? 但也可推導(dǎo)出不付紅利股票的美式期權(quán)價格之間的某種關(guān)系。 SXCPSXer(Tt) 式（ *2） 例 ? 考慮不付紅利股票的美式看漲期權(quán)，執(zhí)行價格為 $20，到期期限為 5個月，期權(quán)價格為 $。 ? 則同一股票相同執(zhí)行價格和到期期限的歐式看漲期權(quán)的價格也是如此。 ? 假定股票的現(xiàn)價為 $19，無風(fēng)險年利率為10％。 ? 根據(jù) C+Xer(Tt)=P+S， 執(zhí)行價格為 $20，到期期限為 5個月的歐式看跌期權(quán)的價格為：＋ * = $ ? 根據(jù)式（ *2） ? 19 20 C P 19 * 或 1 PC ? 這表明 PC在 $ $。 ? 由于 C為 $， P必須在 $ $ ? 換句話說，與美式看漲期權(quán)執(zhí)行價格和到期期限相同的美式看跌期權(quán)價格的上限和下限分別為 $ $。 七、紅利的影響 ? 用字母 D表示在期權(quán)有效期內(nèi)紅利的現(xiàn)值 ? 為此，人們假定在除息日發(fā)放紅利。 1. 看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的下限 2. 提前執(zhí)行 3. 看漲與看跌期權(quán)之間的平價關(guān)系 1. 看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的下限 c SDXer(Tt) p D+Xer(Tt)S 2. 提前執(zhí)行 ? 當(dāng)預(yù)期有紅利發(fā)放時，我們不再肯定美式看漲期權(quán)不應(yīng)提前執(zhí)行。 ? 有時在除息日前，立即執(zhí)行美式看漲期權(quán)是明智的。 ? 這是因為發(fā)放紅利將使股票價格跳躍性下降，使期權(quán)的吸引力下降。 3. 看漲與看跌期權(quán)之間的平價關(guān)系 c+D+Xer(Tt)=p+S SDXCPSXer(Tt) 二項式定價 圖 6 19 一期二項程序一般情況 例子： ?u ， ?d ， 1000 ?S 0SdSuSCdCuC 在圖 4 20 中唯一未知的為看漲期權(quán)在到期日前的一段時期的價格 C ，以下證明 C 的適當(dāng)價值可以通過建立期權(quán)和對應(yīng)資產(chǎn)的 零風(fēng)險套頭交易 來決定。 100 120 90 風(fēng)險資產(chǎn) 期權(quán) C 20 0 圖 420 一期二項程序 ——具體舉例 考慮這樣一個資產(chǎn)組合 （ 1）以價格 C賣出三口看漲期權(quán) (100) （ 2）以價格 100買進(jìn)兩個單位的根本資產(chǎn) （ 3）以 10%的利率借入資金 期末 期初 上升 下降 （ 1 ） 3C 60 0 （ 2 ） 200 240 180 （ 3 ） 163. 64 180 180 現(xiàn)金流 0 0 0 ? ?這個資產(chǎn)組合不管對應(yīng)資產(chǎn)價格上升還是下降，結(jié)果都一樣，這就是 零風(fēng)險套頭交易 。 ? ?如果這個特殊組合在期末的現(xiàn)金流總是零，那么在期初獲得這個組合的適當(dāng)價格也為零 ? ? ???C ，即 ?C 考慮更一般的情況： （ 1 ） 賣出一口看漲期權(quán) （ 2 ） 買 h 個單位的根本資產(chǎn) （ 3 ） 借入金額為 B 的款項 ??????????????000BhSCBRChdSBRChuSdu， 解 h ， B 和 C 式中iteR ? ， i 是連續(xù)復(fù)合零風(fēng)險利率 )( duSCChdu??? 套頭率 )( duRuCdCBdu??? )()()(duRCRuCdRCdu?????， 令dudRp???，有RCppCCdu)1( ??? p 和 (1 p ) 相當(dāng)于概率，它們在 0 和 1 之間。 ? ?每一步期權(quán)的價值只是預(yù)期結(jié)果的現(xiàn)值 ? ?每一種結(jié)果按其發(fā)生概率加權(quán) 將例子中的數(shù)值代入公式，可以得到相同的結(jié)果： 666 )(100/)020( ????h )()( ???????B C = hS B = 67 100 5 = 12. 12 從一期擴(kuò)展到兩期 100 120 90 風(fēng)險資產(chǎn) 期權(quán) C 144 108 81 上升 C下降 44 8 0 圖 621 兩期二項期權(quán)定價 C 分割法：將兩期期權(quán)定價問題化解為若干個小問題 120 144 108 風(fēng)險資產(chǎn) 期權(quán) C 44 8 圖 622 兩期二項期權(quán)定價 ——右上方分支 由一期期權(quán)定價方法求出這一分支中的套頭率和 上升C 分別為 1 和 29 . 09 。 同樣求出左下方分支中的套頭率和 下降C 分別為 0 和 5 。 100 120 90 風(fēng)險資產(chǎn) 期權(quán) C 圖 623 兩期二項期權(quán)定價 ——左方分支 最后求出整個兩期期權(quán)的價格 100 120 90 風(fēng)險資產(chǎn) 期權(quán) 144 108 81 44 8 0 套頭率 =1 套頭率 = 套頭率 = 一般情況： N 期期權(quán)定價（見下頁） 圖 624 兩期二項期權(quán)定價 ——完整過程 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 表 63 十步二項模型定價 ——資產(chǎn)價格 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 表 64 十步二項模型定價 ——期權(quán)價值 5步數(shù) 期權(quán)價格 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 圖 625 二項模型的可靠性 一般采用的 u 值和 d 值使二項模型近似于實際中價格的對數(shù)正態(tài)分布，即： Nteu?? ，Nted??? ，NtieR ? ?：收益率的年標(biāo)準(zhǔn)差 N ：二項式展開階次 t ：期權(quán)持有時間 i ： 年利率 例子： %20?? ， 1?t 年， %10?i ， 10?N ，得 ?u ?d ?R 價格波動 期權(quán)定 價模型 期權(quán)費 對應(yīng)資產(chǎn)價格 交割價格 到期日 波動率估計 利率 “向前” 期權(quán)定 價模型 期權(quán)費 對應(yīng)資產(chǎn)價格 交割價格 到期日 波動率估計 利率 “向后” 圖 626 通過期權(quán)定價模型計算隱含波動率 隱含波動率 ： ? ?通常來說，期權(quán)定價模型通過波動率和其他變量計算期權(quán)的價格。 ? ?反過來 , 模型可以通過期權(quán)價格來計算隱含波動率，通過這種方法計算出來的波動率叫作隱含波動率。 案例 外匯結(jié)構(gòu)性產(chǎn)