衍生品定價(jià)的方法(編輯修改稿)
2025-03-26 03:08 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 2 481 288 .60 187 ?? 二叉樹(shù)模型 ?二叉樹(shù)模型（， .1979） ?把期權(quán)的有效期分為很多很小的時(shí)間間隔 Δt，并假設(shè)在每一個(gè)時(shí)間間隔 Δt內(nèi)證券價(jià)格只有兩種運(yùn)動(dòng)的可能。 二叉樹(shù)模型 ? 從開(kāi)始的 S0上升到原先的 u倍，即到達(dá) 0； ? 下降到原先的 d倍，即到達(dá) 0。 ?我們進(jìn)一步假設(shè) u1且 d1，價(jià)格上升的概率為 p，下降的概率為 1。 ? 0 ? S0 ? 0 ?相應(yīng)地，期權(quán)價(jià)值分別為和。 p1p 二叉樹(shù)模型 ?由前面討論的 ，我們有 。 ?從而 。 ?故對(duì)于單期的情形期權(quán)的合理價(jià)格是可以確定。 ?下面我們討論多期二叉樹(shù)，首先先考慮二期的情形： ?為了研究問(wèn)題方便，我們假設(shè)股票從第一步的兩個(gè)狀態(tài)的一個(gè)開(kāi)始，繼續(xù)保持與第一步相同的規(guī)律變動(dòng)。即股票只可能以 u因子增長(zhǎng)，以 d的因子下降。 ?0rtdude S Sp=S S?rte dp= u d ()?0 u d[ 1 ] r tV = e pV + p V 二叉樹(shù)模型 ?故我們可以得到二期股票二叉樹(shù)圖 二叉樹(shù)模型 ?由于，故我們可以將剛才的二叉樹(shù)簡(jiǎn)化： 二叉樹(shù)模型 ?假設(shè)一項(xiàng)金融衍生品對(duì)于股票二叉樹(shù)中的每一個(gè)最終結(jié)果都有一個(gè)特定的價(jià)格。三種可能的價(jià)格是 U、 M和 D，分別對(duì)應(yīng)股票價(jià)值 u2S0、 0和 d2S0。 二叉樹(shù)模型 ?如何確定衍生品的價(jià)格 V0？關(guān)鍵是找到衍生品在第一期的價(jià)格，假設(shè)分別為 X和 Y。 ?那么我們可以利用前面討論的結(jié)果先給出 X和 Y的值，從而確定 V0 。 ()? [ 1 ] r t= e pU + p M? [ 1 ] r tY = e pM p D022()( ) ( ) ??[ 1 ]= [ 1 1 ] r t 2r tV = e pX + p Ye p U + 2p p M + p D 二叉樹(shù)模型 ?例 假設(shè)開(kāi)始時(shí)，股價(jià)為 $20，在兩步二叉樹(shù)中的每個(gè)單步二叉樹(shù)中，股票價(jià)格將上升 10%或是下降 10%。我們假設(shè)每個(gè)單步二叉樹(shù)的時(shí)間步長(zhǎng)是 3個(gè)月，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率為 12%。問(wèn)執(zhí)行價(jià)格為 $21的歐式看漲期權(quán)的價(jià)格為多少？ 二叉樹(shù)模型 ?股票價(jià)格二叉樹(shù)為： 二叉樹(shù)模型 ? ， ， ， ?于是 ?則 B點(diǎn)處期權(quán)價(jià)值為： 0. 12 0. 25 523 e?? ????rte dp=u d 0. 12 0. 25()[ 23 77 0] 57 e?? ? ? ? ??[ 1 ]= r tB D EV = e pV + p V 二叉樹(shù)模型 ? C點(diǎn)處期權(quán)價(jià)值為 0，故 A點(diǎn)處期權(quán)價(jià)值為 ?也可以根據(jù)我們之前推導(dǎo)的公式，一步求得 0. 12 0. 25 ( 523 257 477 0) 823e ?? ? ? ? ? ?2202 0. 12 0. 25 22( ) ( )( 3 2 3 7 0 7 0) 3 e?? ? ?? ? ?? ? ? ? ??= [ 1 1 ]= 2r tV e p U + 2p p M + p D 歐式看跌期權(quán) ?例 一個(gè) 2年期歐式股票看跌期權(quán)，執(zhí)行價(jià)格為 52，當(dāng)前股價(jià)為 50。我們假設(shè)價(jià)格為兩步二叉樹(shù)，每個(gè)步長(zhǎng)為 1年，在每個(gè)單步二叉樹(shù)中股票價(jià)格或者按比例上升 20%，或者按比例下降 20%，若無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為 5%，求此期權(quán)的價(jià)格。 歐式看跌期權(quán) ?我們求得 ?故 0. 05 1 ?? ??? ?rte dq= u d2 0. 05 1 202( 82 02 82 18 4 18 20) 23 e ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??=V 歐式看跌期權(quán) ?采用逐步回推的方式也可得到類(lèi)似的結(jié)果，股票期權(quán)的二叉樹(shù)為：
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