mba數(shù)學(xué)math-1(編輯修改稿)
2025-03-23 08:33 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 )(39。)(39。dddd)(39。00000xufxuuyxyxu????例：設(shè) y= f (x2)，求 y39。 2023/09 32 微積分 ※ 求導(dǎo)數(shù)一般方法 ◇ 反函數(shù)求導(dǎo) 若 y = f (x)嚴(yán)格單調(diào)、可導(dǎo)， y= f 39。(x) ≠0，則其反函數(shù) x=?(y)在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)也可導(dǎo)，且 ◇ 對數(shù)求導(dǎo) 對于 y=f (x) g(x) ，先取對數(shù)，再兩端求導(dǎo)。 ◇ 隱含數(shù)求導(dǎo) 對于 F(x, y)=0確定 y是 x的函數(shù)，由 F 39。(x, y)=0解得 y39。 2023/09 33 微積分 7． 二階導(dǎo)數(shù)的概念及計(jì)算 函數(shù) f (x)的導(dǎo)數(shù) f 39。(x) 的導(dǎo)數(shù) f 39。39。(x)，稱為 f (x)的二階導(dǎo)數(shù)。 ※ 可推廣至 n 階導(dǎo)數(shù) ※ 二階以上稱為高階導(dǎo)數(shù) ? ?? ?xf n? ? 22dd39。39。39。39。xyxfy ??2023/09 34 微積分 例：求下述函數(shù)導(dǎo)數(shù) 2023/09 35 微積分 復(fù)習(xí)思考題： 1．導(dǎo)數(shù)是怎樣定義的？有怎樣的幾何意義？ 2．什么是導(dǎo)函數(shù)？ 3．導(dǎo)數(shù)存在的必要條件及充分條件是什么？ 4．求函數(shù)導(dǎo)數(shù)可利用哪些方法？ 5．高階導(dǎo)數(shù)的概念是什么？ 2023/09 36 微積分 8． 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 ◇ 切線方程 ◇ 求極限 —— 羅必達(dá)法則 ◇ 函數(shù)的單調(diào)性及其判定 ◇ 極值概念及其判定 ◇ 函數(shù)圖像的凹凸性、拐點(diǎn)及其判定 ◇ 函數(shù)的最大值和最小值 2023/09 37 微積分 1）切線方程： 函數(shù) y= f (x)在點(diǎn) (x0， y0) 的切線方程： yy0= f 39。(x0)(xx0) 例：某曲線方程為 ，求曲線上對應(yīng)x=1處的切線方程。 2023/09 38 微積分 2）羅必達(dá)法則 xxxxxxxxxxxexxxxxxnxxxxsinlim)6(lim)5()ln11(lim)4(lnlim)3(1lim)2(39lim)1(11112023????????????????例：求極限： 定理：當(dāng) x?*時(shí)， f (x) ?0(或 ?)， g(x) ?0 (或 ?)，有 注： 非此 2種情形結(jié)論，定理不成立。 2023/09 39 微積分 3）單調(diào)性判定 函數(shù) y= f (x) ： f 39。(x) 0單調(diào)增加； f 39。(x) 0單調(diào)減少 2023/09 40 微積分 4）極值 ———— 極大值、極小值 ※ 依駐點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn) x0鄰域內(nèi)導(dǎo)數(shù)符號變化判定。 用一階導(dǎo)數(shù)判定： ① f 39。(xx0) 0? f 39。(xx0) 0， x0為極大值點(diǎn)； ② f 39。(xx0) 0? f 39。(xx0) 0， x0為極小值點(diǎn) 用二階導(dǎo)數(shù)判定： ① f 39。39。(x0) 0—— ? x0為極小值點(diǎn) ② f 39。39。(x0) 0—— ? x0為極大值點(diǎn) ③ f 39。39。(x0) =0 —— ? 不能判定，改用一階導(dǎo)數(shù)或定義判定 2023/09 41 微積分 5）最值 —— 最大值、最小值 存在位置：極值點(diǎn)，邊界點(diǎn) 6）曲線凹凸性、拐點(diǎn)： 依二階導(dǎo)數(shù)符號性判定 ① f 39。39。(x) 0 —— ?上凹 ② f 39。39。(x) 0 —— ?下凹 ③ f 39。39。(x0) =0時(shí)， f 39。39。(xx0) 與 f 39。39。(xx0) 異號，則 x0為拐點(diǎn)。 ※ 函數(shù)單調(diào)性、極值、凹凸性均可采用三欄列表方式討論。 2023/09 42 微積分 2023/09 43 微積分 例：求函數(shù) f (x)=2x39x2+12x的單調(diào)區(qū)間、極值。 解：基本步驟 （ 1）求 f 39。(x)； （ 2）求駐點(diǎn)及無導(dǎo)數(shù)之點(diǎn) xi； （ 3）按 xi劃分整個定義域區(qū)間； （ 4）列表討論： x f 39。(x) f (x) 2023/09 44 微積分 求：凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)步驟： (1) 求 f 39。39。(x) (2) 求 f 39。39。(x)=0或不存在之點(diǎn) xi (3) 按 xi劃分定義區(qū)間 (4) 列表分析 x f 39。39。(x) f (x) 例：求函數(shù) f (x)=x44x318x2+2x1的凹凸性及拐點(diǎn)。 2023/09 45 微積分 9．微分的概念及微分的應(yīng)用 若 y= f (x)在點(diǎn) x0的某個鄰域內(nèi)有定義，且 △ y= f (x0 +△ x) － f (x0)=A△ x+o(△ x) 其中 A是與 △ x無關(guān)的常數(shù)， 則稱 y= f (x)在 x0點(diǎn)可微，并稱 A△ x 為 f (x)在 x0點(diǎn)的微分記作 dy| x0 = A△ x。 ※ 由于 ? ? 0lim0 ????? xxox所以 dy=f 39。 (x0) △ x 000 00( ) ( ) + ( )39。( ) l im l imxxf x x f x A x o xf x Axx? ? ? ??? ??? ? ???2023/09 46 微積分 ※ 微分的幾何意義 2023/09 47 微積分 考慮到函數(shù) y=x， dy = dx=y 39?！?x， 而 y39。=1 所以有 dx=△ x 因此， dy =f 39。 (x0) dx 可微與可導(dǎo)的關(guān)系：函數(shù)可導(dǎo)即可微。 dd 39。( ) d 39。( )dyy A x f x x f xx? ? ? ? ? ? ?2023/09 48 微積分 微分形式不變性 例： 求微分 dy。 3xey ? ? ?xexxeey xxx d3ddd 333 23 ???解：2023/09 49 微積分 微分運(yùn)算法則： 四則運(yùn)算： （ 1） d(u177。 v)=du177。 dv （ 2） d(uv)=udv+vdu （ 3） 2023/09 50 微積分 微分應(yīng)用 —— 近似計(jì)算 例：求一個薄球殼（內(nèi)半徑為 5米，殼厚）體積的近似值。（ v=4πr3 /3 ） 解： △ v≈dv = v39?！?r =4πr2 dr ， dr =△ r r=5米 ， △ r = ∴ △ v≈dv ≈ ※ 另算： △ v=v1v0 = v=4π(r13 r03) /3 ≈
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