【正文】 023/09 40 微積分 4）極值 ———— 極大值、極小值 ※ 依駐點、導(dǎo)數(shù)不存在點 x0鄰域內(nèi)導(dǎo)數(shù)符號變化判定。 2023/09 39 微積分 3）單調(diào)性判定 函數(shù) y= f (x) ： f 39。(x0)(xx0) 例：某曲線方程為 ，求曲線上對應(yīng)x=1處的切線方程。39。39。(x)，稱為 f (x)的二階導(dǎo)數(shù)。(x) 的導(dǎo)數(shù) f 39。(x, y)=0解得 y39。(x) ≠0，則其反函數(shù) x=?(y)在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)也可導(dǎo)，且 ◇ 對數(shù)求導(dǎo) 對于 y=f (x) g(x) ，先取對數(shù)，再兩端求導(dǎo)。00000xufxuuyxyxu????例：設(shè) y= f (x2)，求 y39。)(39。39。 （ 3）商： 39。u2u n + u2= u139。u2 v + u v39。 v] 39。 un39。 u239。= u139。177。 u2177。 v 39。 = u39。= axln1x12023/09 30 微積分 5． 導(dǎo)數(shù)的四則運算 設(shè) u=u (x)， v=v (x)可導(dǎo)，則 （ 1）和差： [u 177。= ex （ 4）對數(shù)函數(shù) ： (logax) 39。= μxμ1 （ μ為常數(shù) ） （ 3）指數(shù)函數(shù)： ( ax) 39。 ※ 可導(dǎo)必連續(xù)，連續(xù)未必可導(dǎo) 2023/09 29 微積分 4．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 （ 1）常數(shù) : (c) 39。記作 y39。(0) 定義：設(shè) y= f (x)在點 x0的某個鄰域內(nèi)有定義，如果 存在，則稱函數(shù)在點 x0處可導(dǎo)。 ※ 導(dǎo)函數(shù) f 39。 4．連續(xù)函數(shù)的四則運算，連續(xù)函數(shù)復(fù)合函數(shù)仍是連續(xù)函數(shù)。 ? ? ? ?00lim xfxfxx ??※ 連續(xù)函數(shù)：若 f (x)在（ a, b）內(nèi)每一點都連續(xù)，則稱f (x) 在（ a, b）上是連續(xù)函數(shù)。 例 20)1(lnli mxxxx???※ 注意： ， ln(1+x)不能用 x代換。 記為 f (x)= ∞ 0)(lim * ?? xfx性質(zhì)： 1）有限個無窮小量之和差仍是無窮小量 2）有限個無窮小量之積，無窮小量與有界函數(shù)之積仍為無窮小量。v(x) ?A， 那么， [1+ u(x) ]v(x) ?eA 例： 2023/09 17 微積分 4．無窮小量與無窮大量 （ 1） ，稱 f (x)在 x→* （ x→ x0或 x → ∞）為無窮小量。 g(x)]=A g(x)]=A 177。 當(dāng) x→ x0時的極限：若當(dāng) x→ x0時， f (x)的函數(shù)值無限趨近于 A。記為 ※ 極限唯一性：若存在，則極限值唯一。,an {an}： a1,a2, 2023/09 8 微積分 3 2 ) 2 ( ) ln 1 ( ) 1 ( 2 x e y x y ? ? ? 例：找函數(shù)復(fù)合關(guān)系。 例： f (x)是偶函數(shù)， f (x 2)是奇函數(shù)，且 f (0) =1998，求 f (2023)。討論函數(shù)例： )1(lg)(2 xxxf ???例：若 f (x)定義域為 (0， 2)，求 f (x2)定義域。求例：)23(lg125 2????xxy例：若等腰三角形周長為 20，底邊長為 y，一腰長為 x，求 y與 x之間的函數(shù)關(guān)系，并確定定義域。2023/09 1 微積分 第一部分：微積分 （一）函數(shù) 極限 連續(xù) ◇ 函數(shù)概念 ◇ 數(shù)列極限與函數(shù)極限的概念 ◇ 極限的四則運算 ◇ 無窮小量和無窮大量的概念 ◇ 函數(shù)連續(xù)性 一、一元函數(shù)微分學(xué) ☆ 函數(shù) 極限 連續(xù) ☆ 導(dǎo)數(shù)與微分 2023/09 2 微積分 1． 函數(shù) （ 1）定義式： y = f (x) ? 要點： (ⅰ )定義域 (ⅱ )值域 (ⅲ ) 函數(shù)關(guān)系 ? 定義域：①使抽象表達(dá)式在實數(shù) R范圍內(nèi)有計算意義 ②自變量與函數(shù)應(yīng)符合實際問題的取值要求 （ 2）表示方法： (ⅰ )公式法 (ⅱ )圖像法 (ⅲ )列表法 2023/09 3 微積分 （ 3）函數(shù)的分類 ： (ⅰ )基本初等函數(shù)： ①常數(shù) y= c (c為常數(shù) ) ②冪函數(shù) y =x ? （ ?為任意實數(shù)） ③指數(shù) y =ax （ a 0,a≠1） ④對數(shù)函數(shù) y=logax （ a 0,a≠1） ※ 熟悉基本初等函數(shù)特性、圖像形態(tài)。 (ⅱ )分段函數(shù)： (ⅲ )復(fù)合函數(shù)： (ⅳ )反函數(shù)： (ⅴ ) 隱函數(shù)： (ⅵ )初等函數(shù) ： 2023/09 4 微積分 冪函數(shù) 指數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù) 2023/09 5 微積分 （ 4）函數(shù)基本性質(zhì)： (ⅰ )奇偶性 (ⅱ )周期性 (ⅲ )單調(diào)性 (ⅳ )有界性 ?注意所指區(qū)間，圖形對稱性質(zhì) （ 5）區(qū)間： 開區(qū)間；閉區(qū)間；半開區(qū)間；無窮區(qū)間； （ 6）鄰域： 鄰域中心；鄰域半徑；空（去）心鄰域 2023/09 6 微積分 的定義域。 的奇偶性。 2023/09 7 微積分 例：判斷函數(shù) y=x3的單調(diào)性 例：討論 y=1+1/x2的有界性。 例：設(shè) 與 g(x)圖形關(guān)于直線 y=x 對稱，求 g(x)。 2023/09 9 微積分 復(fù)習(xí)思考題： 1．函數(shù)的概念是什么？有哪些表示方法？ 2．怎樣確定函數(shù)定義域？ 3．什么樣函數(shù)被稱為基本初等函數(shù)？初等函數(shù)是如何形成的？ 4．函數(shù)的主要性質(zhì)有哪些？ 5．區(qū)間有哪些表示方法？怎樣理解鄰域概念？ 2023/09 10 微積分 2． 數(shù)列極限與函數(shù)極限的概念 （ 1）數(shù)列： 依一定次序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列。 an—— 通項， an=f (n)—— 通項公式 ※ 研究數(shù)的變化規(guī)律 等差數(shù)列：當(dāng) n≥2， an－ an1=d， sn= (a1+an) n/2 等比數(shù)列：當(dāng) n≥2， an/an1=q， sn= a1(1