高中數(shù)學(xué)北師大版選修2-1第三章31雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(編輯修改稿)
2024-12-24 08:09 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 代入上述方程，得 ????? m ＋ n ＝ 1 ，4 m ＋ 25 n ＝ 1 ，解得????? m ＝87，n ＝－17. 所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x278－y27＝ 1. [一點(diǎn)通 ] 求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法： (1)定義法：若由題設(shè)條件能夠判斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足雙曲線的定義，則可根據(jù)雙曲線的定義確定方程． (2)用待定系數(shù)法，具體步驟如下： 解： 設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 mx2＋ ny2＝1( mn 0) ，又雙曲線過 P 、 Q 兩點(diǎn)， ∴????? 9 m ＋ 28 n ＝ 1 ，72 m ＋ 49 n ＝ 1 ，解得????? m ＝－175，n ＝125. 故所求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為y225－x275＝ 1. 1．已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn) P(3,2)和點(diǎn) Q(－ 6， 7)，求該雙曲 線的標(biāo)準(zhǔn)方程． 解： 因?yàn)闄E圓x227＋y236＝ 1 的焦點(diǎn)為 (0 ，－ 3) ， (0,3) ， A 點(diǎn)的坐標(biāo)為 ( 15 ， 4) 或 ( － 15 ， 4) ， 設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 2 ．已知雙曲線與橢圓x 227＋y 236＝ 1 有共同的焦點(diǎn)，且與橢 圓相交，一個(gè)交點(diǎn) A 的縱坐標(biāo)為 4 ，求雙曲線的方程． y2a2 －x2b2 ＝ 1( a 0 ， b 0) ， 所以????? a2＋ b2＝ 9 ，16a2 －15b2 ＝ 1 ， ????? a2＝ 4 ，b2＝ 5. 所以所求的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y24－x25＝ 1. [ 例 2] 已知曲線 C ：x2t2 ＋y2t2－ 1＝ 1( t ≠0 ， t ＝ 177。 1) ． (1) 求 t 為何值時(shí)，曲線 C 分別為橢圓、雙曲線； (2) 求證：不論 t 為何值，曲線 C 有相同的焦點(diǎn)． [思路點(diǎn)撥 ] 方程 Ax2＋ By2＝ 1表示的軌跡是由參數(shù) A、 B的值及符號(hào)確定，因此要確定軌跡，需對(duì) A、 B進(jìn)行討論． [ 精解詳析 ] (1) 當(dāng) | t | 1 時(shí)， t20 ， t2－ 10 ，且 t2≠ t2－ 1 ，曲線 C 為橢圓； 當(dāng) | t | 1 時(shí)， t20 ， t2－ 1 0 ，曲線 C 為雙曲線． (2) 證明：當(dāng) | t | 1 時(shí)，曲線 C 是橢圓，且 t2 t2－ 1 ， 因此 c2＝ a2－ b2＝ t2－ ( t2－ 1) ＝ 1 ， ∴ 焦點(diǎn)為 F1( － 1,0) ， F2(1,0
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