高中數(shù)學北師大版選修2-1第三章4243圓錐曲線的共同特征直線與圓錐曲線的交點(編輯修改稿)
2024-12-24 08:08 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ?4 63， 2 為所求的點 . [ 例 2] 若直線 y ＝ kx ＋ 1 與焦點在 x 軸上的橢圓x25＋y2m＝ 1總有公共點，求 m 的取值范圍． [ 思路點撥 ] 幾何法：由于直線過定點 ( 0,1) ，而直線與橢圓總有公共點，所以 ( 0,1) 必在橢圓內(nèi)部或邊界上，結(jié)合橢圓的位置關(guān)系可求 m 的范圍．代數(shù)法：聯(lián)立直線與橢圓方程組成方程組，根據(jù)方程組有解來求 m 的范圍． [ 精解詳析 ] 法一： 由于橢圓的焦點在 x 軸上，知： 0 m 5 ， 又 ∵ 直線與橢圓總有公共點， ∴ 直線所經(jīng)過的定點 (0,1) 必在橢圓內(nèi)部或邊界上， ∴025＋12m≤ 1 ，即 m ≥ 1 ， 故 m 的取值范圍是 m ∈ [ 1,5) ． 法二： 由橢圓方程及橢圓焦點在 x 軸上知： 0 m 5. 由????? y ＝ kx ＋ 1x25＋y2m＝ 1 得： (m＋ 5k2)x2＋ 10kx＋ 5(1－ m)＝ 0， 又直線與橢圓有公共點， ∴ 上述方程的 Δ≥0對一切 k都成立， 即 (10k)2－ 4(m＋ 5k2) 5(1－ m)≥0， 亦即 5k2≥1－ m對一切 k都成立， ∴ 1－ m≤0，即 m≥1，故 m的取值范圍是 m∈ [1,5)． [一點通 ] 解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，有兩種方法，代數(shù)法是一般方法，思路易得，但運算量較大，利用幾何法求解思路靈活，方法簡捷，故在解題時選擇適當?shù)姆椒蛇_到事半功倍的效果． 3．求過點 P(0,1)且與拋物線 y2＝ 2x只有一個公共點的直線 方程． 解： (1)若直線的斜率不存在，則過點 P(0,1)的直線方程為 x＝ 線只有一個公共點，即直線 x＝ 0與拋 物線只有一個公共點． (2) 若直線的斜率存在，設(shè)方程為 y ＝ kx ＋ 1 ， 由????? y2＝ 2 x ，y ＝ kx ＋ 1 ，得 k2x2＋ 2( k － 1) x ＋ 1 ＝ 0 ，當 k ＝ 0 時， 解得 y ＝ 1 ， 即直線 y ＝ 1 與拋物線只有一個公共點． 當 k ≠ 0 時，由 Δ ＝ 4( k － 1)2－ 4 k2＝ 0 ，得 k ＝12. 即直線 y ＝12x ＋ 1 與拋物線只有一個公共點． 綜上所述，所求直線方程為 x ＝ 0 或 y ＝ 1 或 y ＝12x ＋ 1. 4．已知雙曲線 C： 2x2－ y2＝ 2與點 P(1,2)，求過點 P(1,2)的 直線 l的斜率 (存在 )的取值范圍，使 l與 C分別有一個交 點，兩個交點，沒有交點． 解： 設(shè)直線 l 為 y － 2 ＝ k ( x － 1) ，代入雙曲線方程中，有 (2－ k2) x2＋ 2( k2－ 2 k ) x － k2＋ 4 k － 6 ＝ 0. 當 k2＝ 2 時，即 k ＝ 177。 2 時，有一個解． 當 k2≠ 2 時， Δ ＝ 4( k2－ 2 k )2－ 4( 2 － k2)( － k2＋ 4 k － 6) ＝
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