高中數(shù)學北師大版選修2-1第三章31雙曲線及其標準方程(更新版)
【正文】 1PF2＝| PF1|2＋ | PF2|2－ | F1F2|22| PF1| | PF2|＝ 0 ， ( 10 分 ) ∴∠ F1PF2＝ 90176。 1) ． (1) 求 t 為何值時，曲線 C 分別為橢圓、雙曲線； (2) 求證：不論 t 為何值，曲線 C 有相同的焦點． [思路點撥 ] 方程 Ax2＋ By2＝ 1表示的軌跡是由參數(shù) A、 B的值及符號確定，因此要確定軌跡，需對 A、 B進行討論． [ 精解詳析 ] (1) 當 | t | 1 時， t20 ， t2－ 10 ，且 t2≠ t2－ 1 ，曲線 C 為橢圓； 當 | t | 1 時， t20 ， t2－ 1 0 ，曲線 C 為雙曲線． (2) 證明：當 | t | 1 時，曲線 C 是橢圓，且 t2 t2－ 1 ， 因此 c2＝ a2－ b2＝ t2－ ( t2－ 1) ＝ 1 ， ∴ 焦點為 F1( － 1,0) ， F2(1,0) ． 當 | t | 1 時，雙曲線 C 的方程為x2t2 －y21 － t2＝ 1 ， ∵ c2＝ a2＋ b2＝ t2＋ 1 － t2＝ 1 ， ∴ 焦點為 F1( － 1,0) ， F2(1,0) ． 綜上所述，無論 t 為何值，曲線 C 有相同的焦點． [一點通 ] 方程 Ax2＋ By2＝ 1(A、 B≠0)表示橢圓的充要條件為 A0， B0，且 A≠B；表示雙曲線的充要條件為AB0，若 A0， B0，則方程表示焦點在 y軸上的雙曲線；若 B0， A0，則方程表示焦點在 x軸上的雙曲線．即雙曲線的焦點位置是由 x2， y2的系數(shù)正負決定的． 3．方程 (m＋ 2)x2＋ (m－ 1)y2＝ 1表示雙曲線的充要條件 為 ________． 解析： 由題意，若 (m＋ 2)x2＋ (m－ 1)y2＝ 1表示雙曲線，則等價于 (m＋ 2)(m－ 1)0，即－ 2m1. 答案： － 2m1 解析： 原方程化為：y2k2－ 1－x21 ＋ k＝ 1. ∵ k 1 ， ∴ k2－ 10,1 ＋ k 0 ， ∴ 方程的曲線為焦點在 y 軸上的雙曲線． 4． k1，則關(guān)于 x、 y的方程 (1－ k)x2＋ y2＝ k2－ 1所表示 的曲線是 ( ) A．焦點在 x軸上的橢圓 B．焦點在 y軸上的雙曲線 C．焦點在 y軸上的橢圓 D．焦點在 x軸上的雙曲線 答案： B [ 思路點撥 ] 欲求 △ F 1 PF 2 的面積，可考慮 12| PF 1 || PF 2 | sin ∠ F 1 PF 2 求解，只要求出 ∠ F 1 PF 2 的正弦值即可．而 △ F 1 PF 2 的三邊中， | PF 1 |－ | PF 2 |＝ 177。2 a ＝
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