北師大版高中數學必修514數列在日常經濟生活中的應用之三(編輯修改稿)
2025-12-24 00:48 本頁面
【文章內容簡介】 ≤n≤20)．所以 {an}組成以 60為首項，－ ，所以，總數＝ S20＋ 150＝ 20a1＋ d＋ 150＝ 1255(元 )， ∴ 第十個月該交 ，全部付清實際花 1255元． ? 評析： 審題，建立等差數列模型，應用等差數列的通項公式及前 n項和公式求解，但需注意最后一次付款利息是 50元欠款的利息，第一次付款利息是 1000元的利息而不是 950元，此處易出錯． ? 解決數列在實際應用中的問題關鍵是通過仔細審題，將實際問題轉化為數列模型，運用等差數列和等比數列的知識解決問題，因此在做題過程中必須明確建立的是等差數列模型還是等比數列模型，明確是求 n，還是求 an，或是求 Sn. ? [例 2] 陳老師購買工程集資房 92 m2，單價為 1000元 /m2，一次性國家財政補貼28800元，學校補貼 14400元，余款由個人負擔．房地產開發(fā)公司對教師實行分期付款 (注 ① )，經過一年付款一次， ?? 共付10次， 10年后付清，如果按年利率 %，每年按復利計算 (注 ② )，那么每年應付款多少元？ (注 ③ )． ? 注： ① 分期付款，各期所付的款以及最后一次付款時所生的利息合計，應等于個人負擔的購房余額的現價及這個房款現價到最后一次付款時所生的利息之和． ? ② 每年按復利計算，即本年利息計入次年的本金生息． ? ③ 必要時參考下列數據 . ? ≈,≈,≈. ? 解析： 設每年應付款 x元，那么到最后一次付款時 (即購房十年后 )，第一年付款及所生利息之和為 x ，第二年付款及所生利息之和為 x ， ? ，第九年付款及其所生利息之和為 x ，第十年付款為 x元，而所購房余款的現價及其利息之和為 [1000 92－ (28800＋ 14400)] ＝48800 (元 )．因此有 x(1＋ ＋＋ ? ＋ )＝ 48800 (元 )，所以 x＝ 48800 ≈48800 ≈7141(元 )． ? ∴ 每年需交款 7141元． ? [變式訓練 2] 為了迎接 2020年北京奧運會，我國決定治理垃圾．經調查，近 10年來我國城市垃圾的年平均增長率為 3%，到 2020年底堆存垃圾已達 60億噸，侵占了約 5億平方米的土地，目前我國還以年產 1億噸的速度產生新的垃圾，垃圾治理已刻不容緩！ ? (1)問 1991年我國城市垃圾約有多少億噸？ ? (2)如果從 2020年起，每年處理上年堆存垃圾的 ，到 2020年底，我國城市垃圾約有多少億噸？可節(jié)約土地多少億平方米？ 解析： ( 1) 設 10 年前我國城市垃圾約有 a 億噸，則有 a ＋ a (1 ＋ 3% ) ＋ a (1 ＋ 3% )2＋ ? ＋ a (1 ＋ 3% )9＝ 60 ， ∴ a 1 － 101 － ＝ 60 ， ∴ a ＝60 10－ 1≈ ( 億噸 ) ． ( 2) 2020 年底有垃圾 60 910＋ 1 億噸； 2020 年底有垃圾 ( 60 910＋ 1) 910＋ 1 ＝ 60 92102 ＋910＋ 1 ； 2020 年底有垃圾 ( 60 92102 ＋910＋ 1) 910＋ 1 ＝ 60 93103＋92102 ＋910＋ 1 ； ?? 2020 年底有垃圾 60 (910)6＋ (910)5＋ (910)4＋ ? ＋ 1 ＝60 (910)6＋1 － 61 － ≈ ( 億噸 ) ． 可節(jié)約土地 560≈ 2( 億平方米 ) ． ? 數列的遞推應用問題往往是以一定的實際問題作為背景進行命題的，該問題來源于生產實踐，解題時先將實際生活模型用數學公式或等量關系式列出，然后得出數列的遞推關系式．適當的時候也可以利用特殊化思想方法先求得前幾項，應用不完全歸納法得出通項后再進行進一步的論證．其最終目的是把應用問題轉化為 an與an＋ 1之間的關系，或 an與 Sn間的關系，然后利用所學知識加以解決． ? [例 3] 某國采用養(yǎng)老儲備金制度．公民在就業(yè)的第一年就交納養(yǎng)老儲備金，數目為 a1，以后每年交納的數目均比上一年增加 d(d0)，因此，歷年所交納的儲備金數目 a1， a2， ? 是一個公差為 d的等差數列．與此同時，國家給予優(yōu)惠的計息政策，不僅采用固定利率，而且計算復利．這就是說，如果固定年利率為r(r0)，那么，在第 n年末，第一年所交納的儲備金就變?yōu)?a1(1＋ r)n－ 1，第二年所交納的儲備金就變?yōu)?a2(1＋ r)n－ 2， ? .以 Tn表示到第 n年末所累計的儲備金總額． ? (1)寫出 Tn與 Tn－ 1(n≥2)的遞推關系式； ? (2)求證： Tn＝ An＋ Bn，其中 {An}是一個等比數列， {Bn}是一個等差數列． ? 解析： (1)由題意有， Tn＝ Tn－ 1(1＋ r)＋an(n≥2)． ? (2)T1＝ a1，對 n≥2反復使用上述關系式，得 ? Tn＝ Tn－ 1(1＋ r)＋ an＝ Tn－ 2(1＋ r)2＋ an－ 1(1＋ r)＋ an＝ ? ＝ a1(1＋ r)n－ 1＋ a2(1＋ r)n－ 2＋ ? ＋ an－ 1(1＋ r)＋ an.① ? 在 ① 式兩端同乘 1＋ r，得 (1＋ r)Tn＝ a1(1＋r)n＋ a2(1＋ r)n－ 1＋ ? ＋ an－ 1(1＋ r)2＋ an(1＋r)， ② ② － ① ，得 rTn＝ a
教學課件相關推薦
鄂ICP備17016276號-1