北師大版高中數(shù)學(xué)必修514數(shù)列在日常經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用之三(編輯修改稿)
2024-12-24 00:48 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ≤n≤20)．所以 {an}組成以 60為首項(xiàng)，－ ，所以，總數(shù)＝ S20＋ 150＝ 20a1＋ d＋ 150＝ 1255(元 )， ∴ 第十個(gè)月該交 ，全部付清實(shí)際花 1255元． ? 評(píng)析： 審題，建立等差數(shù)列模型，應(yīng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前 n項(xiàng)和公式求解，但需注意最后一次付款利息是 50元欠款的利息，第一次付款利息是 1000元的利息而不是 950元，此處易出錯(cuò)． ? 解決數(shù)列在實(shí)際應(yīng)用中的問(wèn)題關(guān)鍵是通過(guò)仔細(xì)審題，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)列模型，運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的知識(shí)解決問(wèn)題，因此在做題過(guò)程中必須明確建立的是等差數(shù)列模型還是等比數(shù)列模型，明確是求 n，還是求 an，或是求 Sn. ? [例 2] 陳老師購(gòu)買工程集資房 92 m2，單價(jià)為 1000元 /m2，一次性國(guó)家財(cái)政補(bǔ)貼28800元，學(xué)校補(bǔ)貼 14400元，余款由個(gè)人負(fù)擔(dān)．房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)公司對(duì)教師實(shí)行分期付款 (注 ① )，經(jīng)過(guò)一年付款一次， ?? 共付10次， 10年后付清，如果按年利率 %，每年按復(fù)利計(jì)算 (注 ② )，那么每年應(yīng)付款多少元？ (注 ③ )． ? 注： ① 分期付款，各期所付的款以及最后一次付款時(shí)所生的利息合計(jì)，應(yīng)等于個(gè)人負(fù)擔(dān)的購(gòu)房余額的現(xiàn)價(jià)及這個(gè)房款現(xiàn)價(jià)到最后一次付款時(shí)所生的利息之和． ? ② 每年按復(fù)利計(jì)算，即本年利息計(jì)入次年的本金生息． ? ③ 必要時(shí)參考下列數(shù)據(jù) . ? ≈,≈,≈. ? 解析： 設(shè)每年應(yīng)付款 x元，那么到最后一次付款時(shí) (即購(gòu)房十年后 )，第一年付款及所生利息之和為 x ，第二年付款及所生利息之和為 x ， ? ，第九年付款及其所生利息之和為 x ，第十年付款為 x元，而所購(gòu)房余款的現(xiàn)價(jià)及其利息之和為 [1000 92－ (28800＋ 14400)] ＝48800 (元 )．因此有 x(1＋ ＋＋ ? ＋ )＝ 48800 (元 )，所以 x＝ 48800 ≈48800 ≈7141(元 )． ? ∴ 每年需交款 7141元． ? [變式訓(xùn)練 2] 為了迎接 2020年北京奧運(yùn)會(huì)，我國(guó)決定治理垃圾．經(jīng)調(diào)查，近 10年來(lái)我國(guó)城市垃圾的年平均增長(zhǎng)率為 3%，到 2020年底堆存垃圾已達(dá) 60億噸，侵占了約 5億平方米的土地，目前我國(guó)還以年產(chǎn) 1億噸的速度產(chǎn)生新的垃圾，垃圾治理已刻不容緩！ ? (1)問(wèn) 1991年我國(guó)城市垃圾約有多少億噸？ ? (2)如果從 2020年起，每年處理上年堆存垃圾的 ，到 2020年底，我國(guó)城市垃圾約有多少億噸？可節(jié)約土地多少億平方米？ 解析： ( 1) 設(shè) 10 年前我國(guó)城市垃圾約有 a 億噸，則有 a ＋ a (1 ＋ 3% ) ＋ a (1 ＋ 3% )2＋ ? ＋ a (1 ＋ 3% )9＝ 60 ， ∴ a 1 － 101 － ＝ 60 ， ∴ a ＝60 10－ 1≈ ( 億噸 ) ． ( 2) 2020 年底有垃圾 60 910＋ 1 億噸； 2020 年底有垃圾 ( 60 910＋ 1) 910＋ 1 ＝ 60 92102 ＋910＋ 1 ； 2020 年底有垃圾 ( 60 92102 ＋910＋ 1) 910＋ 1 ＝ 60 93103＋92102 ＋910＋ 1 ； ?? 2020 年底有垃圾 60 (910)6＋ (910)5＋ (910)4＋ ? ＋ 1 ＝60 (910)6＋1 － 61 － ≈ ( 億噸 ) ． 可節(jié)約土地 560≈ 2( 億平方米 ) ． ? 數(shù)列的遞推應(yīng)用問(wèn)題往往是以一定的實(shí)際問(wèn)題作為背景進(jìn)行命題的，該問(wèn)題來(lái)源于生產(chǎn)實(shí)踐，解題時(shí)先將實(shí)際生活模型用數(shù)學(xué)公式或等量關(guān)系式列出，然后得出數(shù)列的遞推關(guān)系式．適當(dāng)?shù)臅r(shí)候也可以利用特殊化思想方法先求得前幾項(xiàng)，應(yīng)用不完全歸納法得出通項(xiàng)后再進(jìn)行進(jìn)一步的論證．其最終目的是把應(yīng)用問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 an與an＋ 1之間的關(guān)系，或 an與 Sn間的關(guān)系，然后利用所學(xué)知識(shí)加以解決． ? [例 3] 某國(guó)采用養(yǎng)老儲(chǔ)備金制度．公民在就業(yè)的第一年就交納養(yǎng)老儲(chǔ)備金，數(shù)目為 a1，以后每年交納的數(shù)目均比上一年增加 d(d0)，因此，歷年所交納的儲(chǔ)備金數(shù)目 a1， a2， ? 是一個(gè)公差為 d的等差數(shù)列．與此同時(shí)，國(guó)家給予優(yōu)惠的計(jì)息政策，不僅采用固定利率，而且計(jì)算復(fù)利．這就是說(shuō)，如果固定年利率為r(r0)，那么，在第 n年末，第一年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)?a1(1＋ r)n－ 1，第二年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)?a2(1＋ r)n－ 2， ? .以 Tn表示到第 n年末所累計(jì)的儲(chǔ)備金總額． ? (1)寫(xiě)出 Tn與 Tn－ 1(n≥2)的遞推關(guān)系式； ? (2)求證： Tn＝ An＋ Bn，其中 {An}是一個(gè)等比數(shù)列， {Bn}是一個(gè)等差數(shù)列． ? 解析： (1)由題意有， Tn＝ Tn－ 1(1＋ r)＋an(n≥2)． ? (2)T1＝ a1，對(duì) n≥2反復(fù)使用上述關(guān)系式，得 ? Tn＝ Tn－ 1(1＋ r)＋ an＝ Tn－ 2(1＋ r)2＋ an－ 1(1＋ r)＋ an＝ ? ＝ a1(1＋ r)n－ 1＋ a2(1＋ r)n－ 2＋ ? ＋ an－ 1(1＋ r)＋ an.① ? 在 ① 式兩端同乘 1＋ r，得 (1＋ r)Tn＝ a1(1＋r)n＋ a2(1＋ r)n－ 1＋ ? ＋ an－ 1(1＋ r)2＋ an(1＋r)， ② ② － ① ，得 rTn＝ a
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