第3章-32-321-322常數(shù)與冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)公式表(編輯修改稿)
2024-12-23 23:48 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 求導(dǎo)函數(shù)在相應(yīng)點(diǎn)的函數(shù)值． 【自主解答】 ( 1 ) ∵ y ＝ ax， ∴ y ′ ＝ ( ax) ′ ＝ ax l n a ， 則 y ′ | x ＝ 3 ＝ a3 l n a . ( 2 ) ∵ y ＝ l n x ， ∴ y ′ ＝ ( l n x ) ′ ＝1x，則 y ′ | x ＝ 5 ＝15. 求函數(shù)在某定點(diǎn) ( 點(diǎn)在函數(shù)曲線上 ) 的導(dǎo)數(shù)的方法步驟是： ( 1 ) 先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)； ( 2 ) 把對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)求相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值． 本例中 ( 2 ) 的 P 點(diǎn)處的切線方程如何求解？ 【解】 ∵ y ′ | x ＝ 5 ＝15， ∴ 切線方程為： y － l n 5 ＝15( x － 5) ， 即 x － 5 y － 5 ＋ 5 l n 5 ＝ 0. 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 若曲線 y ＝ x －12 在點(diǎn) ( a ， a －12 ) 處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為 18 ，求 a 的值． 【 思 路 探 究 】 先求切線方程 → 求切線的橫縱截距→ 利用面積公式列方程求 a 【自主解答】 y ′ ＝－12x －32( x 0 ) ，故在點(diǎn) ( a ， a －12) 處的切線的斜率 k ＝－12a －32， 所以切線方程為 y － a －12＝－12a －32( x － a ) ， 易得切線在 x 軸、 y 軸上的截距分別為 3 a ，32a －12， 所以切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為 S ＝12 3 a 32a －12＝94a12＝ 1 8 . ∴ a ＝ 6 4 . 切線方程、截距、面積的計(jì)算是對(duì)導(dǎo)數(shù)的幾何意義、運(yùn)算的綜合運(yùn)用，看清切點(diǎn)位置的同時(shí)構(gòu)造方程是解題的關(guān)鍵． 已知函數(shù) f ( x ) 在 R 上滿足 f ( x ) ＝ 2 f (2 － x ) － x 2 ＋ 8 x － 8 ，求曲線 y＝ f ( x ) 在點(diǎn) (2 ， f ( 2 ) ) 處的切線方程． 【解】 由 f ( x ) ＝ 2 f (2 － x ) － x2＋ 8 x － 8 ，令 x ＝ 2 － x ，得 f ( 2 －x ) ＝ 2 f ( x ) － (2 － x )2＋ 8 ( 2 － x ) － 8 ， 即 2 f ( x ) － f (2 － x ) ＝ x2＋ 4 x － 4 ， 聯(lián)立 f ( x ) ＝ 2 f (2 － x ) － x2＋ 8 x － 8 ，得 f ( x ) ＝ x2， ∴ f ′ ( x ) ＝ 2 x ， f ′ ( 2 ) ＝ 4 ，即所求切線斜率為 4 ， ∴ 切線方程為 y － 4 ＝ 4( x － 2) ， 即 4 x － y － 4 ＝ 0 . 因求導(dǎo)公式不熟而出錯(cuò) 給出下列結(jié)論： ① ( c o s
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