【文章內(nèi)容簡介】 理上不可實 現(xiàn)。為了能夠得到一個可實現(xiàn)的系統(tǒng)，可以將 )(nhd 截取一部分，并順序右移，使之成為一 個因果的有限長序列。這種方法就好比在時域打開一個窗口一樣，因而 稱為時窗法?？梢灶A(yù)見，使用這種方法截取的序列越長，對理想的幅頻特性逼近的越好。 常見的時窗函數(shù)有矩形窗、漢寧窗、漢明窗、布萊克曼窗、凱塞窗等。矩形窗的表達式為：??? ???? 其它,0 10,1)( Nnw nR， n 為整數(shù)。當(dāng)用矩形窗設(shè)計 FIR 濾波器時，所產(chǎn)生的頻率響應(yīng)，與理想濾波器的頻率特 性相比，在理想特性不連續(xù)點 cww? 處附近形成了過渡帶，并在過渡帶兩側(cè)形成持續(xù)時間很長，逐漸衰減的波紋，即通帶內(nèi)產(chǎn)生了波動，而阻帶內(nèi)產(chǎn)生了余振，這種現(xiàn)象稱之為吉布斯 (Gibbs)效應(yīng)。吉布斯效應(yīng)直接影響到濾波器的性能，因為通帶內(nèi)的波動會影響到濾波器的平穩(wěn)性， 阻帶 內(nèi)的波動則影響阻帶最小衰減。 為了克服吉布斯效應(yīng)，可以從兩個方面著手：一是在頻域，避免理想濾波器頻譜中出現(xiàn)的躍變現(xiàn)象，把它改造成一條連續(xù)光滑的曲線，所用的方法是鑲邊法；二是在時間域，對截尾函數(shù) )(nh 進行改造，也即設(shè)計出好的時窗函數(shù)。 一個好的時窗函數(shù)的要求： 。 （振幅或能量）相對于主瓣來說也盡可能地小。但是這兩個標(biāo)準(zhǔn)之間彼此是有矛盾的，即主瓣寬度越大，旁瓣水平才可能越低。因此實際上，我們只能在這兩個標(biāo)準(zhǔn)之間作一權(quán)衡，針對具體問題，找出一個適當(dāng)?shù)臅r窗函數(shù)。五種窗函數(shù)的主要參數(shù)如表 12所示。 應(yīng)當(dāng)說明的是，用 時 窗函數(shù)法設(shè)計的 FIR 濾波器通帶波紋幅度近似等于阻帶波紋幅度。一般阻帶最小衰減達到 40dB 以上，則通帶最大衰減就小于 。 最后，總結(jié)一 下利用 時 窗函數(shù)設(shè)計 FIR 數(shù)字濾波器的步驟： A. 根據(jù)所需設(shè)計的數(shù)字濾波器類型（低通、高通、帶通、帶阻），確定線性相位數(shù)字濾波器類型。 B. 根據(jù)濾波器阻帶衰減 s? ，選擇窗函數(shù) )(nw 的類型，根據(jù)過渡帶寬度確定時窗函數(shù)的長度 N ,并根據(jù)線性相位條件進行修正。 C． 確定理想數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù) )()()( wjdjwd dewHeH ?? ，其中 )(wHd 為幅度特性 8 函數(shù)， )(wd? 為相位特性函數(shù)。 D． 計算理想濾波器的單位脈沖響應(yīng) )(nhd ，即 ?????? dweeHnh jw njwdd )(21)(。 E． 加窗得到設(shè)計結(jié)果 )(nh ，即 )()()( nwnhnh d? 。 表 12 五種窗函數(shù)參數(shù)表 窗函數(shù) 主瓣寬度 /rad 旁瓣水平 /db 過渡帶寬度 /rad 阻帶最小衰減 /db 矩形窗 N/4? 13 N/ ? 21 漢寧窗 N/8? 31 N/ ? 44 漢明窗 N/8? 41 N/ ? 53 布萊克曼窗 N/12? 57 N/11? 74 凱塞窗 （ ? =） N/ ? 57 N/10? 80 頻率采樣法 頻率采樣法是一種基于頻率域抽樣來逼近所要設(shè)計的 FIR 濾波器的頻率特性的一種方法。頻率設(shè)計法的基本設(shè)計流程 如圖 16所示。 )( jwd eH確定)()( /2 kHeH dNjd ??))(()( nHID F Tnh d?))(()( nhZTzH ?抽樣點離散傅里葉逆變換 圖 16 頻率設(shè)計法流程 為了保證 )(zH 具有線性相位條件，其單位采樣響應(yīng) )(nh 是實序列，且滿足條件)1()( ???? nNhnh 。對于 )(nh 偶對稱的情況來說，線性相位條件如下： )()()( wjgjwd ewHeH ?? (113) wNw )1(21)( ???? (114) 9 令 Nkw /2?? 代入式（ 113）、（ 114），得到 )()()( kjgd ekHkH ?? (115) 式中， Nkwgg wHkH /2|)()( ??? Nkwwk /2|)()( ??? ?? )()( kNHkH gg ?? ， N 為奇數(shù) )()( kNHkH gg ??? ， N為偶數(shù)。 頻率響應(yīng)函數(shù) )( jweH 在各采樣點上等于 )(kHd ，而采樣點之間的值 )( jweH 是由各采樣值之間的內(nèi)插函數(shù)疊加形成，因而有一定的逼近誤差，誤差的大小取決于理想頻率響應(yīng)的曲線形狀。采樣點之間的理想頻率特性變化越陡，則內(nèi)插值與理想值之間的誤差就越大，因而在理想頻率響應(yīng)特性的不連續(xù)點附近，就會產(chǎn)生肩峰和波紋；反之，理想頻率響應(yīng)特性變化越平緩，則內(nèi)插值越接近理想值，逼近誤差小。因此，可以在理想頻率下響應(yīng)特性的通帶與阻帶之間設(shè)置過渡帶，從而減小逼近誤差。 過渡帶的采樣點個數(shù) m與所設(shè)計的濾波器的阻帶最 小衰減 s? 有關(guān)，具體如表 23所示。此外過渡帶的帶寬與采樣點數(shù) m 之間的關(guān)系為： NmB /)1(2 ??? ? (116) 表 13 過渡帶采樣點數(shù)與阻帶最小衰減的關(guān)系 m 0 1 2 3 s? /dB 20 44～ 54 65～ 75 85～ 95 綜上，頻率采樣法的設(shè)計步驟為： A. 根據(jù)阻帶最小衰減 s? ，確定過渡帶的樣點數(shù) m。 B. 根據(jù)過渡帶寬度 B? 的要求，估算濾波器的長度。 C. 構(gòu)造希望逼近的頻率響應(yīng)函數(shù) )( jwd eH ，一般 )( jwd eH 為具有理想頻率特性，并滿足線性相位的要求。 D. 對 )( jwd eH 進行頻域等間隔 N點采樣，得到 )(kHd 。 E. 對 )(kHd 進行 N點 IDFT，得到 )(nh 。 10 等波紋最佳逼近法 等波紋最佳逼近法是基于最大誤差最小化的設(shè)計原則。最大誤差最小化能使幅度誤差在整個逼近頻段上均勻分布，即所設(shè)計的 FIR 數(shù)字濾波器的幅度特性在通帶和阻帶范圍內(nèi)是等波紋的，且可以分別獨立控制通帶和阻帶的波紋幅度，并且在濾波器長度給定的情況下，加權(quán)的幅度波紋誤差最小。 定義加權(quán)幅度誤差函數(shù)為 )]()()[()( wHwHwWwe d ?? (117) ，式中 )(wW 為幅度誤差加權(quán)函數(shù)，用來控制不同頻帶 的幅度逼近誤差。一般地，在要求逼近精度高的頻帶， )(wW 取值大，而要求逼近誤差精度低的頻帶， )(wW 取值小。設(shè)計過程中 )(wW 是由設(shè)計者根據(jù)通帶最大衰減 p? 和阻帶最小衰減 s? 的指標(biāo)要求取定的已知函數(shù)。對于 FIR 數(shù)字低通濾波器，常取 : ??? ?? ??? ??? wwk wwkwWpp, 0,/)( 12 (118) 式中， 1? 和 2? 分別為濾波器設(shè)計指標(biāo)中通帶和阻帶 的振蕩波紋幅度， k 為正的系數(shù)。 濾波器的通帶最大衰減 p? 和阻帶最小衰減 s? 與通帶和阻帶的振蕩波紋幅度 1? 和 2? 的換算關(guān)系為： 110 110 20/20/1 ??? pp??? (119) 20/2 10 s?? ?? (120) 等波紋最佳逼近法的設(shè)計，在于找到濾波器的系數(shù)向量 )(nh ，使得在通帶 ],0[ pw 和阻 帶],[ ?sw 頻帶內(nèi)的最大絕對值幅度誤差 )(we 為最小。 帕克斯 麥克萊倫采用基于交替定理的雷米茲交替算法，通過逐次迭代逼近的運算求得濾波器的系數(shù)向量 )(nh ，從而實現(xiàn)等波紋最佳逼近法。 一般情況下，估計濾波器長度 N的凱塞經(jīng)驗公式為： 1)2/(13lg (20 21 ????????ps wwN (121) 11 綜上，用等波紋最佳逼近法設(shè)計 FIR 數(shù)字濾波器的步 驟為： A. 根據(jù)濾波器的設(shè)計指標(biāo)要求：邊界頻率、通帶最大衰減 p? 、阻帶最小衰減 s? 等，估計濾波器的長度，并確定幅度誤差加權(quán)函數(shù)。 B. 采用雷米茲交替算法，獲得所設(shè)計的濾波器的單位脈沖響應(yīng) )(nh 。 三種設(shè)計方法的比較 時窗函數(shù)法和頻率采樣法，設(shè)計簡單方便，易于實現(xiàn)，缺點是不能夠精確指定濾波器的邊界頻率 pw 和 sw ，并且不能夠分別控制通帶和阻帶波紋。等波紋法能夠分別獨立控制通帶和阻帶波紋，確定邊界頻率，并且所設(shè)計的濾波器的階數(shù) 與 前兩種方法 相比要 少 。 12 第二章 基于 MATLAB 的 FIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計與仿真 MATLAB 軟件 MATLAB 是由 MATRIX 和 LABORATORY 兩個英文單詞的前三個字母組合而成，意為矩陣實驗室。它有著強大的數(shù)值分析、符號運算、信號處理和圖形顯示的功能，能夠滿足絕大部分的計算要求。 MATLAB 程序語言語法結(jié)構(gòu)和 C 語言相似，簡單 易用，可移植性好，易于開發(fā)。 MATLAB 內(nèi)嵌了許多科學(xué)研究和工程應(yīng)用領(lǐng)域的工具箱（ Tool box），諸如優(yōu)化算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、信號處理、圖像處理、嵌入式系統(tǒng)開發(fā)、 DSP 與通訊、電力系統(tǒng)仿真等，使用戶可以直接使用工具箱進行學(xué)習(xí)、應(yīng)用和研究而不需要自己編寫代碼。 MATLAB 內(nèi)嵌了一個優(yōu)秀的仿真軟件 Simulink，主要用來實現(xiàn)對工程問題的建模和動態(tài)仿真。 Simulink 應(yīng)用了模塊化設(shè)計和系統(tǒng)級仿真的思想，使得建模仿真如同搭積木一樣簡單。 Simulink 可以應(yīng)用于動力系統(tǒng)、信號控制、通信系統(tǒng)設(shè)計、金融財 會及生物醫(yī)學(xué)等多個領(lǐng)域。 Simulink 還可以與 MATLAB 中的 DSP 工具箱、信號處理工具箱以