【文章內容簡介】 橫向濾波器具有完 全相同的結構，所以常常成為橫向濾波器。 FIR數字濾波器的級聯(lián)結構圖 2 畢業(yè)論文（ 設計） 15 如果對 H(z)進行因式分解，即可將它表示為 H(z)=H1(z)H2(z)? HM(z) 22110i )( ?? ??? zhzhhzH iii 式中，設 N ? ?23 NM ?? ， 表示不超過 2N 的整數，當 N 為偶數時 ， 令 021?h ,比較上面兩式， 如果 100302,001 ???? Mhhhhh ?。 只是希望 HI(z)的系數相互 之間不要又太大的不 同，所以需根據濾波器的不同要求，對系數 ),2,1(0 Mih i ?? 進行適當的調整。 級聯(lián)型的結構如圖 2 所示，在級聯(lián)型結構中，各級的系數應進行比例變換，以使各級系數的大小變?yōu)榇笾孪嗤某潭龋@對防止數值溢出是很重要的。 FIR 線性相位濾波器的特點 設 h(n) (0≤n≤M 1)是長度為 M的線性相位濾波器的脈沖響應，它的系統(tǒng)函數為 : H(z)= ?? ????????? ? 101)1(10 )()(MnnMMMnn znhzznh 它的頻率響應函數為 : ????? ???? ???? ,)()( 10 njMnj enheH 它具有一個線性相位約束 : ??????? ?????? ,)( jeH 其中， β =0或 ? π /2， α 為一個常數。則 h(n)有下面的特性 : h(n)=h(M1n), β =0, 0≤n≤M 1 稱之為對稱脈沖響應 :或者 h(n)= h(M1n) , β =? π /2, 0≤n≤M 1 稱之為反對稱脈沖響應 。 畢業(yè)論文（ 設計） 16 于是，根據 β 值的不同和 M的奇偶性，就產生了四種類型的線性 FIR相位濾波器。它們分別是 : (a） 型線性相位 FIR濾波器 : β =0， M為偶數， h(n)以點 (M/2)1與點 (M/2)之間的中心對稱 (b） 型線性相位 FIR濾波器 : β =0， M為奇數， h(n)以中心點 (M1)/2 對稱 。 (c） 型線性相位 FIR濾波器 : β =? π /2,M為偶數 , h(n)以點 (M/2)1與點 (M/2)之間的中心反對稱。 (d） 型線性相位 FIR濾波器 : β =? π /2,M為奇數， h(n)以點 (M1)/2 為中心反對稱 : 根據這 4類 FIR濾波器，可得到相應的頻率響應的特點 : )() )(( ???? ? ?? jrj eHeH 畢業(yè)論文（ 設計） 17 其中 )(?rH 為振幅響應，它與幅值特性 )( ?jeH 不同，前者可正可負，而后者只能為非負值。 與傳統(tǒng)的 濾波器 相比較， FIR 數字濾波器 具有以下幾個主要特點： （ 1） 脈沖響應（ impulse response）為有限長 ， 造成當輸入數位訊號為有限長的時候，輸出數位訊號也為有限長。 （ 2）比無限脈沖響應濾波器（ IIR filter）較容易最佳化（ optimize）。 （ 3）線性相位（ linear phase） ， 造成 h(n)是偶對稱（ even）或奇對稱（ odd）且有限長。 （ 4）一定是穩(wěn)定的（ stable） ， 因為 Z轉換（ Z transform）后所有的極點（ pole）都在單位圓內。 （ 5）可得到多帶幅頻特性 。 （ 6）無反饋運算，運算誤差小 。 實際濾波器的設計指標 當濾波器形狀為非理想 時，要用一些參數指標來描述其關鍵特性。濾波器的通帶定義了濾波器允許通過的頻率范圍。在阻帶內，濾波器對信號嚴重衰減。和 分別稱為通帶截止頻率（或通帶上限頻率）和阻帶截止頻率（或阻帶下限頻率）。參數 定義了通帶波紋，及濾波器通帶內偏移單位增益的最大值。參數 定義了阻帶波紋，及濾波器阻帶內偏離零增益的最大值。參數 定義了過渡帶寬度，即阻帶下限和通帶上限之間的距離， Bt= 過渡帶一般是單調下降的 ，通帶內和阻帶內允許的衰減一般用單位 dB表示，通帶內允許的最大衰減用 表示，阻帶內允許的最小衰減用 表示，它們分別定義為 dB 畢業(yè)論文（ 設計） 18 dB 式中， 是通帶內的幅度最大值； 是通帶內的幅度最小值， 是阻帶內最大值。幅度下降到 即 時， w= ，此時 =3dB，稱 為 3dB 通帶截止頻率。 畢業(yè)論文（ 設計） 19 第 3 章 FIR 數字濾波 器 主要設計方法的比較 概述 數字信號處理的主要 數學工具 是博里葉變換．而傅里葉變換是研究整個時間域和頻率域的關系。不過，當運用計算機實現工程 測試信號處理 時，不可能對無限長的信號進行測量和運算，而是取其有限的時間片段進行分析。做法是從信號中截取一個時間片段，然后用觀察的信號時間片段進行周期延拓處理，得到虛擬的無限長的信號，然后就可以對信號進行傅里葉變換、相關分析等數學處理。無線長的信號被截斷以后，其頻譜發(fā)生了畸變，原來集中在 f(0)處的能量被分散到兩個較寬的頻帶中去了 (這種現象稱之為頻譜能量泄漏 )。 為了減少頻譜能量泄漏，可采用不同的截取函數對信號進行截短，截短函數稱為窗函數，簡稱為窗。信號截短以后產生的能量泄漏現象是必然的，因為窗函數 w(t)是一個頻帶無 限的函數，所以即使原信號 x(t)是限帶寬信號，而在截短以后也必然成為無限帶寬的函數，即信號在頻域的能量與分布被擴展了窗函數法設計的基本思想是：首先根據技術指標要求，選取合適的階數 N和窗函數的類型 w(n)，使其幅頻特性逼近理想濾波器幅頻特性。其次，因為理想濾波器的 hd(n)是無限長的，所以需要對 hd(n) 進行截斷，數學上稱這種方法為窗函數法。 簡而言之，用窗函數法設計 FIR濾波器是在時域進行的，先用傅里葉變換求出理想濾波器單位抽樣相應 hd(n)，然后加時間窗 w(n)對其進行截斷，以求得 FIR數字 濾波器 的單位抽樣響應 h(n)。 對于窗函數的選擇，應考慮被分析信號的性質與處理要求。如果僅要求精確讀出主瓣頻率，而不考慮幅值精度，則可選用主瓣寬度比較窄而便于分辨的矩形窗，例如測量物體的自振頻率等；如果分析窄帶信號，且有較強的干擾噪聲，則應選用旁瓣幅度小的窗函數，如漢寧窗、三角窗等；對于隨時間按指數衰減的函數，可采用指數窗來提高信噪比。 畢業(yè)論文（ 設計） 20 優(yōu) 缺 點 窗函數有截短和平滑的作用，窗函數選擇的好，可以在相同階次的情況下，提高濾波器的性能，或是在滿足設計要求的情況下，減少濾波器階數。窗函數法是從時域進行設計。窗函 數法由于簡單、物理意義清晰，因而得到了較為廣泛的應用 不同的窗函數對信號頻譜的影響是不一樣的，這主要是因為不同的窗函數，產生泄漏的大小不一樣，頻率分辨能力也不一樣。信號的截短產生了能量泄漏，而用 FFT算法計算頻譜又產生了柵欄效應，從原理上講這兩種誤差都是不能消除的，但是我們可以通過選擇不同的窗函數對它們的影響進行抑制。 (矩形窗主瓣窄，旁瓣大，頻率識別精度最高，幅值識別精度最低；布萊克曼窗主瓣寬，旁瓣小，頻率識別精度最低，但幅值識別精度最高 ) 選窗標準 如下 ： 1. 較低的旁瓣幅度，尤其是第一旁瓣 。 2. 旁瓣幅 度要下降得快，以利于增加阻帶衰減 。 3. 主瓣寬度要窄，這樣濾波器過渡帶較窄。 當選用主瓣寬度較窄時，雖然得到的幅頻特性較陡峭，但通帶、阻帶波動會明顯增加；當選用較低的旁瓣幅度時，雖然得到的幅頻特性較平緩勻滑，但過渡帶變寬。因此，實際的選擇往往是取折衷。 概述 一個有限長的序列，如果滿足頻率采樣定理，可以通過頻譜的有限個采樣點的值被準確地得以恢復。頻率取樣法是指在脈沖響應 h(n)為有限長度的條件下，根據頻域取樣定理，對所要求的頻率響應進行取樣，從樣點中恢復原來的頻率特性，達到設計 濾波器的目的 頻 率抽樣法從頻域出發(fā) ， 把給定的理想頻率響應 加 以等間隔抽 樣得到 Hd(k) 頻率取樣法先對理想頻響抽樣，得到樣值 H(k)[6]。再利用插值公式直接求出系統(tǒng)函 Hd(ejw)數 H(z)以便實現之，或者求出頻響 Hd(ejw)以便與理想頻響作比較。 畢業(yè)論文（ 設計） 21 在 [O， 2π] 區(qū)間上對 Hd(ejw)進行 N點采樣，等效于時域以 N為周期延拓。 設理想頻響 Hd(ejw)的采樣是 H(k)， k=0， 1,?,N1，則其 IDFT是 101( ) ( )N nkNkh n H k WN? ??? ? 則 FIR 濾波器的系統(tǒng)函數可寫為： 110 ()1() 1N Nkk NHkzHz WZN? ?????? ? ? 所以當采樣點數 N已知后， KNW?便是常數，只要采樣值 H(k)確定，則系統(tǒng)函數 H(z)就可以確定，要求的 FIR濾波器就設計出來了。 頻率取樣法設計的關鍵是正確確定數字頻域系統(tǒng)函數 H(k)在 Ω ∈ [0， 2π]內的 N個樣點，其約束條件為 ( ) ( )( ) ( ){ H k H N km N m?????? ? 0 ≤ k≤ N1 優(yōu)缺點 頻率取樣法的阻帶衰耗比較小，可以通過增加過渡帶樣點的方法增大阻帶衰耗。對于一個無限長的序列，用頻率采樣法必然有一定的逼近誤差 ,誤差的大小取決于理想頻響曲線的形狀 , 理想頻響特性變換越平緩 , 則內插函數值越接近理想值 ,誤差越小。為了提高逼近的質量，可以通過在頻率相應的過渡帶內插入比較連續(xù)的采樣點，擴展過渡帶使其比較連續(xù)，從而使得通帶和阻帶之間變換比較緩慢，以達到減少逼近誤差的目的 。 FIR數字濾波器的設計方法主要有三種：窗函數法、 頻率抽樣法以及切比雪夫等波紋逼近法。前面已經敘述過前兩種，現在說說切比雪夫等波紋逼近法 。 在數據采集系統(tǒng)中，輸入信號均含有種種噪聲和干擾，它們來自被測 信號源 本身、傳感器 和環(huán)境等。為了進行準確測量和控制，必須消除被測信號中 的噪聲和干擾。工程上常用的軟件濾波方法有：算術平均值法、滑動平均值法、防脈沖干擾平均 畢業(yè)論文（ 設計） 22 值法等。但對周期性干擾尤其是工頻干擾和白噪聲抑制作用較差，而且平滑度不高。 切比雪夫等波紋逼近方法是 FIR濾波器設計方法之一。 FIR（ Finite Impulse Response）濾波器：有限長單位沖激響應濾波器，是數字信號處理系統(tǒng)中最基本的元件，它可以在保證任意幅頻特性的同時具有嚴格的線性相頻特性，同時其單位抽樣響應是有限長的，因而濾波器是穩(wěn)定的系統(tǒng)。因此， FIR濾波器在通信、圖像處理、模式識別等領域都有著廣泛的應用。它 采用 “ 最大誤差最小化 ” 優(yōu)化準則，即 min（ max|E（ ω） |） ，其中權函數誤差 E（ ω） =W（ ω） [Hd（ ω） H（ ω） ]，W（ ω） 為加權函數 ， Hd（ ω） 為期望頻率響應， H（ ω） 為實際頻率響應。應用這種方法設計的濾波器能夠獲得較好的通帶和阻帶性能，并能準確地指定通帶和阻帶邊緣。由于該濾波器在通帶和阻帶的誤差是均勻分布的，因此其頻率響應在通帶和阻帶內顯示出等波紋性，階次可以比較低。 決定切比雪夫等波紋逼近低通濾波器系數的參數主要有：濾波器長度 M，通帶和阻帶截止頻率 Wp、 Ws，相應頻帶的幅度 m，權系數 w。其中權系 數 w由通帶和阻帶波動 Ap、 Ar決定。使用權系數 w，是考慮在設計濾波器時對通帶和阻帶常要求不同的逼近精度，故乘以不同的權系數，以統(tǒng)一使用最小化最大誤差。 不同的窗函數 數生成的過渡帶寬和阻帶最小衰減是不同的 ， 窗函數有截短和平滑的作用，窗函數選擇的好，可以在相同階次的情況下，提高濾波器的性能，或是在滿足設計要求的情況下，減少濾波器階數 。 對于一個無限長的序列，用頻率采樣法必然有一定的逼近誤差 ,誤差的大小取決于理想頻響曲線的形狀 ，所以一般均選用窗函數法設計數字濾波器。