【文章內(nèi)容簡介】 21dB，如果在通帶和阻帶之間增加一個采樣點，阻帶的最小衰減可以提高到65dB，如果增加兩個采樣點，阻帶的最小衰減可以提高到75dB，如果增加3個采樣點，阻帶的最小衰減可以提高到85dB至95dB。 線性相位FIR濾波器的優(yōu)化設(shè)計在使用窗函數(shù)法設(shè)計濾波器時，如果使用矩形窗，則設(shè)計出的FIR濾波器是積分平方誤差最小意義下的最佳FIR濾波器。但由于Gibbs現(xiàn)象的存在，使得設(shè)計出濾波器在阻帶的衰減一般不能滿足要求。為解決這個問題可以采用其他的窗函數(shù)，但得到的濾波器不是最小誤差意義下的最優(yōu)FIR濾波器。設(shè)表示要逼近的理想濾波器的幅度函數(shù)。表示設(shè)計出的線性相位FIR濾波器的幅度函數(shù)。優(yōu)化設(shè)計的基本思想就是要確定線性相位FIR濾波器的系數(shù)，使得和的誤差在范圍內(nèi)達到最小。與的加權(quán)誤差函數(shù)定義為 (318)其中，是由設(shè)計者定義的加權(quán)函數(shù)。 一種常用的誤差準(zhǔn)則稱為最大誤差最小準(zhǔn)則，又稱切比雪夫準(zhǔn)則，定義為 (319)其中I表示濾波器在范圍內(nèi)各頻率帶區(qū)間構(gòu)成的集合。切比雪夫準(zhǔn)則意義下的優(yōu)化設(shè)計就是要確定FIR濾波器H(z)的系數(shù)，使得上式定義的誤差達到最小。 在FIR濾波器的階數(shù)M固定的條件下，利用切比雪夫誤差準(zhǔn)則設(shè)計出的FIR濾波器的幅度響應(yīng)在通帶和阻帶都會呈現(xiàn)等波紋的波動。所以這類濾波器稱為等波紋FIR濾波器。等波紋FIR濾波器的設(shè)計方法是由ParksMcClellan提出。在解決問題過程中使用了數(shù)學(xué)優(yōu)化中的Remez交換算法。 利用Remez交換算法，等波紋線性相位FIR濾波器的設(shè)計步驟可歸結(jié)為：（1）用Kaiser提出的經(jīng)驗公式估計濾波器的階數(shù) (320) 確定J的值。（2）選定初始極值點。（3）計算。（4）為尋找新的極值點，計算函數(shù)在I中的抽樣值。為了減少計算誤差，抽樣間隔應(yīng)足夠小。通常選擇抽樣點數(shù)為16M。（5）尋找新的極值點。（6）如果，執(zhí)行（7）。否則用交換回到（3）。（7）獲得g[k]。（8）由g[k]求出h[k]。4 利用Matlab實現(xiàn)FIR濾波器設(shè)計在利用Matlab設(shè)計FIR濾波器時，分別采用窗函數(shù)法、頻率取樣法和優(yōu)化設(shè)計方法去設(shè)計所需的濾波器。在設(shè)計的過程中，用設(shè)計的濾波器對加有噪聲的語音信號或不同頻率疊加的正弦輸入信號進行濾波，對比輸入前后的圖像，以此驗證濾波器的性能。在程序繪制的圖像中，有濾波器的特性圖、輸入信號的時域頻域圖和輸出信號的時域頻域圖。 窗函數(shù)法的Matlab實現(xiàn)在窗函數(shù)法的Matlab實現(xiàn)中，程序中經(jīng)常使用的函數(shù)有fir1和kaiserord。 程序中fir1函數(shù)的用法：b=fir1(n,Wn,’ftype’,window)①n為濾波器的階數(shù)②Wn為濾波器的截止頻率，它是一個0到1的數(shù)。如果Wn是一個含有兩個數(shù)的向量，則函數(shù)返回一個帶通濾波器③ftype為濾波器的類型，ftype=’high’時，設(shè)計的是高通濾波器；ftype=’stop’時，設(shè)計的是帶阻濾波器；沒有此參數(shù)時，設(shè)計的是低通濾波器④window為指定的窗函數(shù)，矩形窗為boxcar(n)，漢寧窗為hanning(n)，海明窗為hamming(n)，布萊克曼窗為blackman(n)，凱撒窗為kaiser(n,beta)，沒有此參數(shù)時，默認為hamming窗程序中kaiserord函數(shù)的用法：[n,Wn,beta,ftype]=kaiserord(f,a,dev,Fs)①f是一個向量，為設(shè)計濾波器過渡帶的起始點和結(jié)束點②a是一個向量，指定頻率段的幅度值②dev是一個向量，長度和a相同，為各個通帶和阻帶內(nèi)容許的幅度最大誤差④n為能夠滿足要求的濾波器的最小階數(shù)⑤Wn為濾波器的截止頻率⑥ftype為根據(jù)待設(shè)計濾波器的要求得到的濾波器的類型(1) 利用窗函數(shù)法設(shè)計低通濾波器設(shè)計要求：①使用hamming窗，采樣頻率2000Hz②，③，阻帶衰減大于等于50dB程序參見附錄二中的1（1）利用窗函數(shù)法設(shè)計低通濾波器圖41 窗函數(shù)法設(shè)計低通濾波器的增益響應(yīng)從參考程序及圖41可以得到所設(shè)計出濾波器的參數(shù)如下：①濾波器的采樣頻率為2000Hz，濾波器的階數(shù)為266② ， ， ③，阻帶衰減為53dB 對比設(shè)計要求與所設(shè)計出濾波器的參數(shù)可知，其各項參數(shù)均滿足設(shè)計指標(biāo)，所設(shè)計出的濾波器即為設(shè)計所要求的濾波器。圖42 信號濾波前的時域圖和頻域圖圖43 信號濾波后的時域圖和頻域圖從圖42和圖43的圖像中可以看到：輸入信號是由兩個不同頻率的正弦信號疊加而成，信號頻域圖中位于濾波器通帶內(nèi)的頻率分量保留了下來，位于濾波器阻帶內(nèi)的頻率分量被濾除，濾波器的效果符合設(shè)計要求。（2） 利用窗函數(shù)法設(shè)計帶通濾波器設(shè)計要求：①使用Kaiser窗，采樣頻率8000Hz②，③阻帶衰減大于等于40dB，程序參見附錄二中的1（2）利用窗函數(shù)法設(shè)計帶通濾波器圖44 窗函數(shù)法設(shè)計帶通濾波器的增益響應(yīng)從參考程序及圖44可以得到所設(shè)計出濾波器的參數(shù)如下：①濾波器的采樣頻率為8000Hz，濾波器的階數(shù)為90②，③阻帶衰減為40dB，對比設(shè)計要求與所設(shè)計出濾波器的參數(shù)可知，其各項參數(shù)均滿足設(shè)計指標(biāo)，所設(shè)計出的濾波器即為設(shè)計所要求的濾波器。圖45 信號濾波前的時域圖和頻域圖圖46 信號濾波后的時域圖和頻域圖從圖45和圖46的圖像中可以看到：輸入信號是由四個不同頻率的正弦信號疊加而成，信號頻域圖中位于濾波器通帶內(nèi)的頻率分量保留了下來，位于濾波器阻帶內(nèi)的頻率分量被濾除，濾波器的效果符合設(shè)計要求。 (3) 利用窗函數(shù)法設(shè)計多通帶濾波器設(shè)計要求：①使用Kaiser窗，采樣頻率200Hz②、、③阻帶衰減大于等于30dB，程序參見附錄二中的1（3）利用窗函數(shù)法設(shè)計多通帶濾波器圖47 窗函數(shù)法設(shè)計多通帶濾波器的增益響應(yīng)從參考程序及圖47可以得到所設(shè)計出濾波器的參數(shù)如下：①濾波器的采樣頻率為200Hz，濾波器的階數(shù)為46②、 、③阻帶衰減為38dB，對比設(shè)計要求與所設(shè)計出濾波器的參數(shù)可知，其各項參數(shù)均滿足設(shè)計指標(biāo)，所設(shè)計出的濾波器即為設(shè)計所要求的濾波器。圖48 信號濾波前的時域圖和頻域圖圖49 信號濾波后的時域圖和頻域圖從圖48和圖49的圖像中可以看到：輸入信號是由六個不同頻率的正弦信號疊加而成，信號頻域圖中位于濾波器通帶內(nèi)的頻率分量保留了下來，位于濾波器阻帶內(nèi)的頻率分量被濾除，濾波器的效果符合設(shè)計要求。 頻率取樣法的Matlab實現(xiàn)(1) 利用頻率取樣法設(shè)計低通濾波器設(shè)計要求：①，②阻帶衰減大于等于15dB程序參見附錄二中的2（1）利用頻率取樣法設(shè)計低通濾波器圖410 頻率取樣法設(shè)計低通濾波器的增益響應(yīng)從參考程序及圖47可以得到所設(shè)計出濾波器的參數(shù)如下：①濾波器的階數(shù)為63②，③阻帶衰減為17dB對比設(shè)計要求與所設(shè)計出濾波器的參數(shù)可知，其各項參數(shù)均滿足設(shè)計指標(biāo)，所設(shè)計出的濾波器即為設(shè)計所要求的濾波器。圖411 信號濾波前的時域圖和頻域圖圖412 信號濾波后的時域圖和頻域圖從圖411和圖412的圖像中可以看到：輸入信號是由三個不同頻率的正弦信號疊加而成，信號頻域圖中位于濾波器通帶內(nèi)的頻率分量保留了下來，位于濾波器阻帶內(nèi)的頻率分量被濾除，濾波器的效果符合設(shè)計要求。（2）利用頻率取樣法設(shè)計高通濾波器設(shè)計要求：①，②阻帶衰減大于等于15dB程序參見附錄二中的2（2）利用頻率取樣法設(shè)計高通濾波器圖413 頻率取樣法設(shè)計高通濾波器的增益響應(yīng)從參考程序及圖47可以得到所設(shè)計出濾波器的參數(shù)如下：①濾波器的階數(shù)為32②，③阻帶衰減為18dB對比設(shè)計要求與所設(shè)計出濾波器的參數(shù)可知，其各項參數(shù)均滿足設(shè)計指標(biāo)，所設(shè)計出的濾波器即為設(shè)計所要求的濾波器。圖414 信號濾波前的時域圖和頻域圖圖415 信號濾波后的時域圖和頻域圖從圖414和圖415的圖像中可以看到：輸入信號是由三個不同頻率的正弦信號疊加而成，信號頻域圖中位于濾波器通帶內(nèi)的頻率分量保留了下來，位于濾波器阻帶內(nèi)的頻率分量被濾除，濾波器的效果符合設(shè)計要求。 優(yōu)化設(shè)計的Matlab實現(xiàn)在優(yōu)化設(shè)計的Matlab實現(xiàn)中，程序中經(jīng)常使用remez函數(shù)，這種函數(shù)的使用方法為： b=remez(n,f,a,w,’ftype’)①n為待設(shè)計濾波器的階數(shù)；f是一個向量，它是一個0到1的正數(shù)②a是一個向量，指定頻率段的幅度值；w對應(yīng)于各個頻段的加權(quán)值③函數(shù)的返回值b是設(shè)計出的濾波器的系數(shù)組成的一個長度為n+1的向量(1) 利用Remez函數(shù)設(shè)計等波紋低通濾波器設(shè)計要求：①， , 采樣頻率2000Hz②阻帶衰減大于等于40dB，程序參見附錄二中的3（1）利用Remez函數(shù)設(shè)計等波紋低通濾波器圖416 等波紋低通濾波器的增益響應(yīng)從參考程序及圖416可以得到所設(shè)計出濾波器的參數(shù)如下：①濾波器的采樣頻率為2000Hz，濾波器的階數(shù)為22②，③阻帶衰減為40dB，對比設(shè)計要求與所設(shè)計出濾波器的參數(shù)可知，其各項參數(shù)均滿足設(shè)計指標(biāo)，所設(shè)計出的濾波器即為設(shè)計所要求的濾波器。圖417 信號濾波前的時域圖和頻域圖圖418 信號濾波后的時域圖和頻域圖從圖417和圖418的圖像中可以看到：輸入信號是由兩個不同頻率的正弦信號疊加而成，信號頻域圖中位于濾波器通帶內(nèi)的頻率分量保留了下來，位于濾波器阻帶內(nèi)的頻率分量被濾除，濾波器的效果符合設(shè)計要求。(2) 利用Remez函數(shù)設(shè)計等波紋帶通濾波器設(shè)計要求：①、 ②阻帶衰減大于等于40dB③④采樣頻率2000Hz程序參見附錄二中的3（2）利用Remez函數(shù)設(shè)計等波紋帶通濾波器圖419 等波紋帶通濾波器的增益響應(yīng)從參考程序及圖419可以得到所設(shè)計出濾波器的參數(shù)如下：①濾波器的采樣頻率為2000Hz，濾波器的階數(shù)為22②、③阻帶衰減為40dB，對比設(shè)計要求與所設(shè)計出濾波器的參數(shù)可知，其各項參數(shù)均滿足設(shè)計指標(biāo)，所設(shè)計出的濾波器即為設(shè)計所要求的濾波器。圖420 信號濾波前的時域圖和頻域圖圖421 信號濾波后的時域圖和頻域圖從圖420和圖421的圖像中可以看到：輸入信號是由四個不同頻率的正弦信號疊加而成，信號頻域圖中位于濾波器通帶內(nèi)的頻率分量保留了下來，位于濾波器阻帶內(nèi)的頻率分量被濾除，濾波器的效果符合設(shè)計要求。(3) 利用Remez函數(shù)設(shè)計等波紋帶阻濾波器設(shè)計要求：①、 ②阻帶衰減大于等于15dB③④采樣頻率2000Hz 程序參見附錄二中的3（3）利用Remez函數(shù)設(shè)計等波紋帶阻濾波器圖422 等波紋帶阻濾波器的增益響應(yīng)從參考程序及圖422可以得到所設(shè)計出濾波器的參數(shù)如下：①濾波器的采樣頻率為2000Hz，濾波器的階數(shù)為22②、③阻帶衰減為15dB，對比設(shè)計要求與所設(shè)計出濾波器的參數(shù)可知，其各項參數(shù)均滿足設(shè)計指標(biāo)，所設(shè)計出的濾波器即為設(shè)計所要求的濾波器。圖423 信號濾波前的時域圖和頻域圖圖424 信號濾波后的時域圖和頻域圖從圖423和圖424的圖像中可以看到：輸入信號是由四個不同頻率的正弦信號疊加而成，信號頻域圖中位于濾波器通帶內(nèi)的頻率分量保留了下來，位于濾波器阻帶內(nèi)的頻率分量被濾除，濾波器的效果符合設(shè)計要求。 利用濾波器處理加有噪聲的音頻波形（1） 利用窗函數(shù)法設(shè)計的低通濾波器處理加有噪聲的音頻波形程序參見附錄二4（1）利用窗函數(shù)法設(shè)計的低通濾波器處理加噪聲的音頻波形圖425 加噪前錄音波形的時域圖和頻域圖圖426 加噪后錄音波形的時域圖和頻域圖圖427 窗函數(shù)法設(shè)計低通濾波器的增益響應(yīng)圖428 濾波后錄音波形的時域圖和頻域圖從參考程序及以上的四個圖像中可以得到如下結(jié)論：①從錄音波形的頻域圖可以看到其頻率分量主要在0到6000Hz之間，噪聲的頻率分量主要集中在7000Hz，利用通帶截頻為6000Hz的低通濾波器可以濾除噪聲。對比figure（1）和figure（4）濾波前后的波形和頻譜，可以看到波形得到了重現(xiàn)②濾波器的采樣頻率為22050Hz，濾波器的階數(shù)為266③，④，阻帶衰減約為53dB（2） 利用優(yōu)化設(shè)計的低通濾波器處理加有噪聲的音頻波形程序參見附錄二中4（2）利用優(yōu)化設(shè)計的低通濾波器處理加有噪聲的音頻波形圖429 加噪前錄音波形的時域圖和頻域圖圖430 加噪后錄音波形的時域圖和頻域圖圖431 等波紋低通濾波器的增益響應(yīng)圖432 濾波后錄音波形的時域圖和頻域圖從參考程序及以上的四個圖像中可以得到如下結(jié)論：①從錄音波形的頻域圖可以看到其頻率分量主要在0到6000Hz之間，噪聲的頻率分量主要集中在7000Hz，利用通帶截頻為6000Hz的低通濾波器可以濾除噪聲。對比figure（1）和figure（4）濾波前后的波形和頻譜，可以看到波形得到了重現(xiàn)②濾波器的采樣頻率為22050Hz，濾波器的階數(shù)為24③，④阻帶衰減為40dB，參考文獻[1]，2006[2]徐明遠，[3]鄒鯤，袁俊泉， [4]張明照，劉政波，[5]劉波，[6]William , Shanmugan,Theodore ,Kurt ，楊光松，許芳，[7][8]Oppenheim A V,Sc