【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 21dB，如果在通帶和阻帶之間增加一個(gè)采樣點(diǎn)，阻帶的最小衰減可以提高到65dB，如果增加兩個(gè)采樣點(diǎn)，阻帶的最小衰減可以提高到75dB，如果增加3個(gè)采樣點(diǎn)，阻帶的最小衰減可以提高到85dB至95dB。 線性相位FIR濾波器的優(yōu)化設(shè)計(jì)在使用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)濾波器時(shí)，如果使用矩形窗，則設(shè)計(jì)出的FIR濾波器是積分平方誤差最小意義下的最佳FIR濾波器。但由于Gibbs現(xiàn)象的存在，使得設(shè)計(jì)出濾波器在阻帶的衰減一般不能滿足要求。為解決這個(gè)問題可以采用其他的窗函數(shù)，但得到的濾波器不是最小誤差意義下的最優(yōu)FIR濾波器。設(shè)表示要逼近的理想濾波器的幅度函數(shù)。表示設(shè)計(jì)出的線性相位FIR濾波器的幅度函數(shù)。優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本思想就是要確定線性相位FIR濾波器的系數(shù)，使得和的誤差在范圍內(nèi)達(dá)到最小。與的加權(quán)誤差函數(shù)定義為 (318)其中，是由設(shè)計(jì)者定義的加權(quán)函數(shù)。 一種常用的誤差準(zhǔn)則稱為最大誤差最小準(zhǔn)則，又稱切比雪夫準(zhǔn)則，定義為 (319)其中I表示濾波器在范圍內(nèi)各頻率帶區(qū)間構(gòu)成的集合。切比雪夫準(zhǔn)則意義下的優(yōu)化設(shè)計(jì)就是要確定FIR濾波器H(z)的系數(shù)，使得上式定義的誤差達(dá)到最小。 在FIR濾波器的階數(shù)M固定的條件下，利用切比雪夫誤差準(zhǔn)則設(shè)計(jì)出的FIR濾波器的幅度響應(yīng)在通帶和阻帶都會(huì)呈現(xiàn)等波紋的波動(dòng)。所以這類濾波器稱為等波紋FIR濾波器。等波紋FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法是由ParksMcClellan提出。在解決問題過(guò)程中使用了數(shù)學(xué)優(yōu)化中的Remez交換算法。 利用Remez交換算法，等波紋線性相位FIR濾波器的設(shè)計(jì)步驟可歸結(jié)為：（1）用Kaiser提出的經(jīng)驗(yàn)公式估計(jì)濾波器的階數(shù) (320) 確定J的值。（2）選定初始極值點(diǎn)。（3）計(jì)算。（4）為尋找新的極值點(diǎn)，計(jì)算函數(shù)在I中的抽樣值。為了減少計(jì)算誤差，抽樣間隔應(yīng)足夠小。通常選擇抽樣點(diǎn)數(shù)為16M。（5）尋找新的極值點(diǎn)。（6）如果，執(zhí)行（7）。否則用交換回到（3）。（7）獲得g[k]。（8）由g[k]求出h[k]。4 利用Matlab實(shí)現(xiàn)FIR濾波器設(shè)計(jì)在利用Matlab設(shè)計(jì)FIR濾波器時(shí)，分別采用窗函數(shù)法、頻率取樣法和優(yōu)化設(shè)計(jì)方法去設(shè)計(jì)所需的濾波器。在設(shè)計(jì)的過(guò)程中，用設(shè)計(jì)的濾波器對(duì)加有噪聲的語(yǔ)音信號(hào)或不同頻率疊加的正弦輸入信號(hào)進(jìn)行濾波，對(duì)比輸入前后的圖像，以此驗(yàn)證濾波器的性能。在程序繪制的圖像中，有濾波器的特性圖、輸入信號(hào)的時(shí)域頻域圖和輸出信號(hào)的時(shí)域頻域圖。 窗函數(shù)法的Matlab實(shí)現(xiàn)在窗函數(shù)法的Matlab實(shí)現(xiàn)中，程序中經(jīng)常使用的函數(shù)有fir1和kaiserord。 程序中fir1函數(shù)的用法：b=fir1(n,Wn,’ftype’,window)①n為濾波器的階數(shù)②Wn為濾波器的截止頻率，它是一個(gè)0到1的數(shù)。如果Wn是一個(gè)含有兩個(gè)數(shù)的向量，則函數(shù)返回一個(gè)帶通濾波器③ftype為濾波器的類型，ftype=’high’時(shí)，設(shè)計(jì)的是高通濾波器；ftype=’stop’時(shí)，設(shè)計(jì)的是帶阻濾波器；沒有此參數(shù)時(shí)，設(shè)計(jì)的是低通濾波器④window為指定的窗函數(shù)，矩形窗為boxcar(n)，漢寧窗為hanning(n)，海明窗為hamming(n)，布萊克曼窗為blackman(n)，凱撒窗為kaiser(n,beta)，沒有此參數(shù)時(shí)，默認(rèn)為hamming窗程序中kaiserord函數(shù)的用法：[n,Wn,beta,ftype]=kaiserord(f,a,dev,Fs)①f是一個(gè)向量，為設(shè)計(jì)濾波器過(guò)渡帶的起始點(diǎn)和結(jié)束點(diǎn)②a是一個(gè)向量，指定頻率段的幅度值②dev是一個(gè)向量，長(zhǎng)度和a相同，為各個(gè)通帶和阻帶內(nèi)容許的幅度最大誤差④n為能夠滿足要求的濾波器的最小階數(shù)⑤Wn為濾波器的截止頻率⑥ftype為根據(jù)待設(shè)計(jì)濾波器的要求得到的濾波器的類型(1) 利用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)低通濾波器設(shè)計(jì)要求：①使用hamming窗，采樣頻率2000Hz②，③，阻帶衰減大于等于50dB程序參見附錄二中的1（1）利用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)低通濾波器圖41 窗函數(shù)法設(shè)計(jì)低通濾波器的增益響應(yīng)從參考程序及圖41可以得到所設(shè)計(jì)出濾波器的參數(shù)如下：①濾波器的采樣頻率為2000Hz，濾波器的階數(shù)為266② ， ， ③，阻帶衰減為53dB 對(duì)比設(shè)計(jì)要求與所設(shè)計(jì)出濾波器的參數(shù)可知，其各項(xiàng)參數(shù)均滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)，所設(shè)計(jì)出的濾波器即為設(shè)計(jì)所要求的濾波器。圖42 信號(hào)濾波前的時(shí)域圖和頻域圖圖43 信號(hào)濾波后的時(shí)域圖和頻域圖從圖42和圖43的圖像中可以看到：輸入信號(hào)是由兩個(gè)不同頻率的正弦信號(hào)疊加而成，信號(hào)頻域圖中位于濾波器通帶內(nèi)的頻率分量保留了下來(lái)，位于濾波器阻帶內(nèi)的頻率分量被濾除，濾波器的效果符合設(shè)計(jì)要求。（2） 利用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)帶通濾波器設(shè)計(jì)要求：①使用Kaiser窗，采樣頻率8000Hz②，③阻帶衰減大于等于40dB，程序參見附錄二中的1（2）利用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)帶通濾波器圖44 窗函數(shù)法設(shè)計(jì)帶通濾波器的增益響應(yīng)從參考程序及圖44可以得到所設(shè)計(jì)出濾波器的參數(shù)如下：①濾波器的采樣頻率為8000Hz，濾波器的階數(shù)為90②，③阻帶衰減為40dB，對(duì)比設(shè)計(jì)要求與所設(shè)計(jì)出濾波器的參數(shù)可知，其各項(xiàng)參數(shù)均滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)，所設(shè)計(jì)出的濾波器即為設(shè)計(jì)所要求的濾波器。圖45 信號(hào)濾波前的時(shí)域圖和頻域圖圖46 信號(hào)濾波后的時(shí)域圖和頻域圖從圖45和圖46的圖像中可以看到：輸入信號(hào)是由四個(gè)不同頻率的正弦信號(hào)疊加而成，信號(hào)頻域圖中位于濾波器通帶內(nèi)的頻率分量保留了下來(lái)，位于濾波器阻帶內(nèi)的頻率分量被濾除，濾波器的效果符合設(shè)計(jì)要求。 (3) 利用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)多通帶濾波器設(shè)計(jì)要求：①使用Kaiser窗，采樣頻率200Hz②、、③阻帶衰減大于等于30dB，程序參見附錄二中的1（3）利用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)多通帶濾波器圖47 窗函數(shù)法設(shè)計(jì)多通帶濾波器的增益響應(yīng)從參考程序及圖47可以得到所設(shè)計(jì)出濾波器的參數(shù)如下：①濾波器的采樣頻率為200Hz，濾波器的階數(shù)為46②、 、③阻帶衰減為38dB，對(duì)比設(shè)計(jì)要求與所設(shè)計(jì)出濾波器的參數(shù)可知，其各項(xiàng)參數(shù)均滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)，所設(shè)計(jì)出的濾波器即為設(shè)計(jì)所要求的濾波器。圖48 信號(hào)濾波前的時(shí)域圖和頻域圖圖49 信號(hào)濾波后的時(shí)域圖和頻域圖從圖48和圖49的圖像中可以看到：輸入信號(hào)是由六個(gè)不同頻率的正弦信號(hào)疊加而成，信號(hào)頻域圖中位于濾波器通帶內(nèi)的頻率分量保留了下來(lái)，位于濾波器阻帶內(nèi)的頻率分量被濾除，濾波器的效果符合設(shè)計(jì)要求。 頻率取樣法的Matlab實(shí)現(xiàn)(1) 利用頻率取樣法設(shè)計(jì)低通濾波器設(shè)計(jì)要求：①，②阻帶衰減大于等于15dB程序參見附錄二中的2（1）利用頻率取樣法設(shè)計(jì)低通濾波器圖410 頻率取樣法設(shè)計(jì)低通濾波器的增益響應(yīng)從參考程序及圖47可以得到所設(shè)計(jì)出濾波器的參數(shù)如下：①濾波器的階數(shù)為63②，③阻帶衰減為17dB對(duì)比設(shè)計(jì)要求與所設(shè)計(jì)出濾波器的參數(shù)可知，其各項(xiàng)參數(shù)均滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)，所設(shè)計(jì)出的濾波器即為設(shè)計(jì)所要求的濾波器。圖411 信號(hào)濾波前的時(shí)域圖和頻域圖圖412 信號(hào)濾波后的時(shí)域圖和頻域圖從圖411和圖412的圖像中可以看到：輸入信號(hào)是由三個(gè)不同頻率的正弦信號(hào)疊加而成，信號(hào)頻域圖中位于濾波器通帶內(nèi)的頻率分量保留了下來(lái)，位于濾波器阻帶內(nèi)的頻率分量被濾除，濾波器的效果符合設(shè)計(jì)要求。（2）利用頻率取樣法設(shè)計(jì)高通濾波器設(shè)計(jì)要求：①，②阻帶衰減大于等于15dB程序參見附錄二中的2（2）利用頻率取樣法設(shè)計(jì)高通濾波器圖413 頻率取樣法設(shè)計(jì)高通濾波器的增益響應(yīng)從參考程序及圖47可以得到所設(shè)計(jì)出濾波器的參數(shù)如下：①濾波器的階數(shù)為32②，③阻帶衰減為18dB對(duì)比設(shè)計(jì)要求與所設(shè)計(jì)出濾波器的參數(shù)可知，其各項(xiàng)參數(shù)均滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)，所設(shè)計(jì)出的濾波器即為設(shè)計(jì)所要求的濾波器。圖414 信號(hào)濾波前的時(shí)域圖和頻域圖圖415 信號(hào)濾波后的時(shí)域圖和頻域圖從圖414和圖415的圖像中可以看到：輸入信號(hào)是由三個(gè)不同頻率的正弦信號(hào)疊加而成，信號(hào)頻域圖中位于濾波器通帶內(nèi)的頻率分量保留了下來(lái)，位于濾波器阻帶內(nèi)的頻率分量被濾除，濾波器的效果符合設(shè)計(jì)要求。 優(yōu)化設(shè)計(jì)的Matlab實(shí)現(xiàn)在優(yōu)化設(shè)計(jì)的Matlab實(shí)現(xiàn)中，程序中經(jīng)常使用remez函數(shù)，這種函數(shù)的使用方法為： b=remez(n,f,a,w,’ftype’)①n為待設(shè)計(jì)濾波器的階數(shù)；f是一個(gè)向量，它是一個(gè)0到1的正數(shù)②a是一個(gè)向量，指定頻率段的幅度值；w對(duì)應(yīng)于各個(gè)頻段的加權(quán)值③函數(shù)的返回值b是設(shè)計(jì)出的濾波器的系數(shù)組成的一個(gè)長(zhǎng)度為n+1的向量(1) 利用Remez函數(shù)設(shè)計(jì)等波紋低通濾波器設(shè)計(jì)要求：①， , 采樣頻率2000Hz②阻帶衰減大于等于40dB，程序參見附錄二中的3（1）利用Remez函數(shù)設(shè)計(jì)等波紋低通濾波器圖416 等波紋低通濾波器的增益響應(yīng)從參考程序及圖416可以得到所設(shè)計(jì)出濾波器的參數(shù)如下：①濾波器的采樣頻率為2000Hz，濾波器的階數(shù)為22②，③阻帶衰減為40dB，對(duì)比設(shè)計(jì)要求與所設(shè)計(jì)出濾波器的參數(shù)可知，其各項(xiàng)參數(shù)均滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)，所設(shè)計(jì)出的濾波器即為設(shè)計(jì)所要求的濾波器。圖417 信號(hào)濾波前的時(shí)域圖和頻域圖圖418 信號(hào)濾波后的時(shí)域圖和頻域圖從圖417和圖418的圖像中可以看到：輸入信號(hào)是由兩個(gè)不同頻率的正弦信號(hào)疊加而成，信號(hào)頻域圖中位于濾波器通帶內(nèi)的頻率分量保留了下來(lái)，位于濾波器阻帶內(nèi)的頻率分量被濾除，濾波器的效果符合設(shè)計(jì)要求。(2) 利用Remez函數(shù)設(shè)計(jì)等波紋帶通濾波器設(shè)計(jì)要求：①、 ②阻帶衰減大于等于40dB③④采樣頻率2000Hz程序參見附錄二中的3（2）利用Remez函數(shù)設(shè)計(jì)等波紋帶通濾波器圖419 等波紋帶通濾波器的增益響應(yīng)從參考程序及圖419可以得到所設(shè)計(jì)出濾波器的參數(shù)如下：①濾波器的采樣頻率為2000Hz，濾波器的階數(shù)為22②、③阻帶衰減為40dB，對(duì)比設(shè)計(jì)要求與所設(shè)計(jì)出濾波器的參數(shù)可知，其各項(xiàng)參數(shù)均滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)，所設(shè)計(jì)出的濾波器即為設(shè)計(jì)所要求的濾波器。圖420 信號(hào)濾波前的時(shí)域圖和頻域圖圖421 信號(hào)濾波后的時(shí)域圖和頻域圖從圖420和圖421的圖像中可以看到：輸入信號(hào)是由四個(gè)不同頻率的正弦信號(hào)疊加而成，信號(hào)頻域圖中位于濾波器通帶內(nèi)的頻率分量保留了下來(lái)，位于濾波器阻帶內(nèi)的頻率分量被濾除，濾波器的效果符合設(shè)計(jì)要求。(3) 利用Remez函數(shù)設(shè)計(jì)等波紋帶阻濾波器設(shè)計(jì)要求：①、 ②阻帶衰減大于等于15dB③④采樣頻率2000Hz 程序參見附錄二中的3（3）利用Remez函數(shù)設(shè)計(jì)等波紋帶阻濾波器圖422 等波紋帶阻濾波器的增益響應(yīng)從參考程序及圖422可以得到所設(shè)計(jì)出濾波器的參數(shù)如下：①濾波器的采樣頻率為2000Hz，濾波器的階數(shù)為22②、③阻帶衰減為15dB，對(duì)比設(shè)計(jì)要求與所設(shè)計(jì)出濾波器的參數(shù)可知，其各項(xiàng)參數(shù)均滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)，所設(shè)計(jì)出的濾波器即為設(shè)計(jì)所要求的濾波器。圖423 信號(hào)濾波前的時(shí)域圖和頻域圖圖424 信號(hào)濾波后的時(shí)域圖和頻域圖從圖423和圖424的圖像中可以看到：輸入信號(hào)是由四個(gè)不同頻率的正弦信號(hào)疊加而成，信號(hào)頻域圖中位于濾波器通帶內(nèi)的頻率分量保留了下來(lái)，位于濾波器阻帶內(nèi)的頻率分量被濾除，濾波器的效果符合設(shè)計(jì)要求。 利用濾波器處理加有噪聲的音頻波形（1） 利用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)的低通濾波器處理加有噪聲的音頻波形程序參見附錄二4（1）利用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)的低通濾波器處理加噪聲的音頻波形圖425 加噪前錄音波形的時(shí)域圖和頻域圖圖426 加噪后錄音波形的時(shí)域圖和頻域圖圖427 窗函數(shù)法設(shè)計(jì)低通濾波器的增益響應(yīng)圖428 濾波后錄音波形的時(shí)域圖和頻域圖從參考程序及以上的四個(gè)圖像中可以得到如下結(jié)論：①?gòu)匿浺舨ㄐ蔚念l域圖可以看到其頻率分量主要在0到6000Hz之間，噪聲的頻率分量主要集中在7000Hz，利用通帶截頻為6000Hz的低通濾波器可以濾除噪聲。對(duì)比f(wàn)igure（1）和figure（4）濾波前后的波形和頻譜，可以看到波形得到了重現(xiàn)②濾波器的采樣頻率為22050Hz，濾波器的階數(shù)為266③，④，阻帶衰減約為53dB（2） 利用優(yōu)化設(shè)計(jì)的低通濾波器處理加有噪聲的音頻波形程序參見附錄二中4（2）利用優(yōu)化設(shè)計(jì)的低通濾波器處理加有噪聲的音頻波形圖429 加噪前錄音波形的時(shí)域圖和頻域圖圖430 加噪后錄音波形的時(shí)域圖和頻域圖圖431 等波紋低通濾波器的增益響應(yīng)圖432 濾波后錄音波形的時(shí)域圖和頻域圖從參考程序及以上的四個(gè)圖像中可以得到如下結(jié)論：①?gòu)匿浺舨ㄐ蔚念l域圖可以看到其頻率分量主要在0到6000Hz之間，噪聲的頻率分量主要集中在7000Hz，利用通帶截頻為6000Hz的低通濾波器可以濾除噪聲。對(duì)比f(wàn)igure（1）和figure（4）濾波前后的波形和頻譜，可以看到波形得到了重現(xiàn)②濾波器的采樣頻率為22050Hz，濾波器的階數(shù)為24③，④阻帶衰減為40dB，參考文獻(xiàn)[1]，2006[2]徐明遠(yuǎn)，[3]鄒鯤，袁俊泉， [4]張明照，劉政波，[5]劉波，[6]William , Shanmugan,Theodore ,Kurt ，楊光松，許芳，[7][8]Oppenheim A V,Sc