【文章內(nèi)容簡介】 標(biāo)的物 、相同的到期日 、 相同的執(zhí)行價格 ?簡單一期模型 ?連續(xù)復(fù)利 Tr feSpc ???? 000 ?買一份股票，買一份看跌期權(quán)，再賣一份看漲期權(quán)，在到期日，該證券組合的收益為 ?有紅利時歐式期權(quán)的平價關(guān)系 ?美式期權(quán)不存在平價關(guān)系 6 關(guān)于期權(quán)價格界的定理 ?看漲期權(quán)價格的界。 –定理 1：以不支付紅利的股票為標(biāo)的物的美式看漲期權(quán)不會提前執(zhí)行。 ? 證明：買一份歐式看漲期權(quán)，買面值為 K 債券，再賣空一份股票。 –定理 2：當(dāng)標(biāo)的股票支付紅利時，美式看漲期權(quán)可能被提前執(zhí)行。 –定理 3：無論標(biāo)的股票是否支付紅利，美式看跌期權(quán)都有可能提前執(zhí)行。 1S22S 7 期權(quán)定價理論 —— 二項式方法 ?BlackScholes 模型 ?等價鞅測度模型 ?二項分布方法 – 在應(yīng)用這種方法時，最重要的是 套期保值 的概念。套期保值最形象、最簡單的例子是有關(guān)保險中的定價問題 。 –可用于對美式期權(quán)的定價 –可用于對標(biāo)的物有紅利的期權(quán)定價 ?假設(shè) 1：標(biāo)的股票不支付紅利 ?假設(shè) 2：證券市場是無摩擦的和完全競爭的，且不存在套利機會。 ?A. 以股票為標(biāo)的物的看漲期權(quán)的簡單二項模型 – 標(biāo)的股票的價格服從二項分布產(chǎn)生的過程： ? ? 圖 9 一期二項式生成過程 S uSdSq q?1 ?這里 =股票現(xiàn)在的價格 =股票價格上漲的概率 =一期的無風(fēng)險利率 =股票價格上漲的幅度 =股票價格 =下跌的幅度 Sqfrud – 例子： ? ? 20?S 24?uS ?dSq q?1 ?fr 21?K ?d ?注：對 的假設(shè)，在這個假設(shè)之下，不管經(jīng)過多少期，股票的價格永遠(yuǎn)不會跌到零以下。但是，對股票價格上漲的界沒有限制。 d ?每期的無風(fēng)險利率為 。對 的限制為 ，這是無套利條件。直觀地可以看出，無論是 （這時，無風(fēng)險利率總比股票的風(fēng)險回報率高）還是 （這時，無風(fēng)險利率總比股票的風(fēng)險回報率低），都存在套利機會。不失一般性，假設(shè) 。 fr fr dru f ??? 1 dur f ???1 frdu ??? 10?fr ?以股票為標(biāo)的物的歐式看漲期權(quán)，執(zhí)行價格為 ，到期日為一期，它的現(xiàn)價以 表示。該期權(quán)在到期日的支付如下圖 ? ? 圖 10 歐式看漲期權(quán)的支付 Kc q q?1c ? ?KuSc u ?? ,0ma x ? ?KdScd ?? ,0ma x – 構(gòu)造無風(fēng)險套期保值證券組合：以價格 買一份股票，寫 份以股票為標(biāo)的物的看漲期權(quán)（ 稱為套期保值比率）。下圖說明了這個套期保值證券組合的到期支付。如果這個套期保值證券組合在每種狀態(tài)下的到期支付都相等，則這個證券組合是無風(fēng)險的。 – 圖 11 套期保值證券組合的到期支付 Smmq q?1 mcS ? umcuS ?dmcdS ? ?讓支付相等，得到： ? = ?從上式中解出看漲期權(quán)的份數(shù) ： ? (21) ?把例子里的數(shù)字代入，得到 = ?因此，無風(fēng)險套期保值證券組合包括買一份股票，寫。在兩個狀態(tài)下的支付相等，如下表： 不確定狀態(tài) 證券組合 支付 好狀態(tài) (20元 )(3元 )= 壞狀態(tài) (20元 )(0元 )= umcuS ? dmcdS ?m? ?du ccduSm???m umcuS ? ddS ?因為套期保值證券組合是無風(fēng)險的，它的終端支付應(yīng)該等于它的現(xiàn)價乘以 ，即， 從這個式子得出期權(quán)的價格： ? (22) ?設(shè) ?則 fr?1? ?? ? uf mcuSmcSr ????1? ? ? ?ffdfurdurucdudrcc?????????????????????111? ?dudrP f???? 1 ? ?duruP f????? 11 ? ? ?fdurpcpcc????11 ?這里定義 的總是大于 0而小于 1，具有概率的性質(zhì)，我們稱之為 套期保值概率 。 ?從 的定義可以看出，無套利條件 成立當(dāng)且僅當(dāng) 大于 0而小于 1（即，保證 是概率）。 P dru f ??? 1P P ? 是當(dāng)市場達(dá)到均衡時，風(fēng)險中性者所認(rèn)為的 值，即，股票價格上漲的概率。作為風(fēng)險中性者，投資者僅僅需要投資在風(fēng)險股票上的回報率為無風(fēng)險利率： ?從中解出值，得到： ?所以，對一個風(fēng)險中性者來說， = ，而 (24)式中看漲期權(quán)的價格可以解釋為，在一個風(fēng)險中性環(huán)境中，期權(quán)的期望終端支付的折現(xiàn)值。 Pq? ? dSqquSSr f )1(1 ????? ?dudrq f???? 1Pq ?在求得看漲期權(quán)價格的過程中，有兩點是至關(guān)重要的： –套期保值證券組合的存在性； –無風(fēng)險的套期保值證券組合的的回報率為無風(fēng)險利率。 ? 看漲期權(quán)的定價公式具有以下三個有趣的特征： 1．該公式不依賴于股票價格上漲的概率。這使得，即使投資者對的預(yù)期不一致，只要他們對別的參數(shù)的估計一致（包括 ），他們就會有一樣的定價公式。 2．該公式的獲得不依賴個體對風(fēng)險的偏好。所需的假設(shè)僅僅只是無套利。 3．該公式依賴的唯一隨機變量是標(biāo)的股票。（例如，與市場證券組合無關(guān)） frKSdu ,