【文章內(nèi)容簡介】 性比較 bij i與 j同等重要 1 i比 j稍重要 3 i比 j重要 5 i比 j明顯重要 7 i比 j絕對重要 9 相鄰兩級間 2,4,6,8 判斷矩陣 B具有如下性質(zhì)： (1) bii=1 (2) bij與 bji互為倒數(shù) 2．構(gòu)造判斷矩陣 B b11 … b1n B=(bij)n n = … … bn1 … bnn ??????第五節(jié) 層次分析法 (AHP) 45 例如： 相對于投資合理性 ， 將風(fēng)險小 、 利潤高和易轉(zhuǎn)產(chǎn)之間的重要性進(jìn)行兩兩比較 。 如 b21=3， 表示利潤高比風(fēng)險小稍微重要 。 同理 ， 相對于風(fēng)險小 、 利潤高 、 易轉(zhuǎn)產(chǎn) ， 第三層各有一個方案之間滿意度兩兩比較矩陣 。 這樣 ， 本問題共有四個判斷矩陣 。 1 1/5 1/2 B3 5 1 3 B2 2 1/3 1 B1 B3 B2 B1 A B= 選擇合理投資方向A 風(fēng)險小 B1 家用電器C1 利潤高 B2 易轉(zhuǎn)產(chǎn) B3 緊俏產(chǎn)品C2 傳統(tǒng)產(chǎn)品C3 第五節(jié) 層次分析法 (AHP) 46 層次單排序： 根據(jù)判斷矩陣計算出某層次各要素相對于上一層次中某要素的相對權(quán)重 。 設(shè)有 n個事物構(gòu)成的一個整體 W，其分量為： W=[w1, w2, …, wn] 其總體和為 1。為了得到每個事物在總體和中的權(quán)重，就需兩兩比較其分量： 3．層次單排序及一致性檢驗(yàn) 一致性： 設(shè)矩陣 A＝ (aij)n n滿足對任意 i,j,k=1,2,… ,n,有 aik akj=aij,則稱 A為一致性矩陣 。 第五節(jié) 層次分析法 (AHP) 47 1 1 1122 2 21212......... ... ... ......nnn n nnw w ww w ww w ww w wAw w ww w w???????????????????????A具有如下性質(zhì)： ① aii＝ 1 ② aij與 aji互為倒數(shù) ③ 完全一致性，即 aik akj= aij, i, j, k =1,…, n 第五節(jié) 層次分析法 (AHP) 48 根據(jù)矩陣?yán)碚?， 一致性矩陣 A的最大特征值等于矩陣 A的階數(shù) n。 以 n個事物為元素的向量 W是矩陣 A對應(yīng)于 n的特征向量 ， 它表示 n個事物在總量和中的權(quán)重 。 也就是說 ， 矩陣A的最大特征值 n所對應(yīng)的特征向量即為被比較事物的權(quán)重。 1 1 111222 2 21212......... ... ... ......nnn n nnnw w www w www w ww w wA W n Ww w www w w???????????????????? ????????????????????????第五節(jié) 層次分析法 (AHP) 49 特征根法 基本思想： 當(dāng)矩陣 A為一致性矩陣時，其特征根問題AW=λW的最大特征值所對應(yīng)的特征向量歸一化后即為排序權(quán)重向量。 結(jié)論： 求 A的重要性權(quán)重就可以歸結(jié)為求 A的最大特征值所對應(yīng)的特征向量 。 第五節(jié) 層次分析法 (AHP) 50 ① A的元素按列歸一化 ， 即 ② 將歸一化后的各列相加再除以 n， 即為權(quán)重向量 。 111, 1 , 2, , ( 1 )niji njkjkaw i nna??????權(quán)重向量的近似算法 (算術(shù)平均法 ) 1, ( 1 , 2, , )ijnkjkajna???第五節(jié) 層次分析法 (AHP) 51 步驟 ① 按行求乘積開 n次方根 ② 將 歸一化為 wi, 得權(quán)重向量 W=(w1,w2, … ,wn). iw11( ) , 1 , 2 , ,nni ijjw a i n????1ii niiwww???歸一化公式 : (幾何平均法 ) 11111(), 1 , 2, , ( 2 )()nnijji nnnijijaw i na????????第五節(jié) 層次分析法 (AHP) 52 求和法 列歸一 ??????????列相加 除以 3 A B1 B2 B3 B＝ B1 1 1/3 2 B2 3 1 5 B3 1/2 1/5 1 例 2 分別使用求和法與方根法計算要素 B1,B2,B3關(guān)于要素A的相對權(quán)重 。 第五節(jié) 層次分析法 (AHP) 53 方根法 連乘 2/3 15 1/10 歸一化 開 3次方 A B1 B2 B3 B＝ B1 1 1/3 2 B2 3 1 5 B3 1/2 1/5 1 第五節(jié) 層次分析法 (AHP) 54 B與 A都表示元素重要性比值 ， 但 A是按定義構(gòu)造 ， 而 B是由主觀判斷獲得 ， 因此兩者數(shù)學(xué)性質(zhì)并不完全一致 ， 表現(xiàn)在 A具有完全一致性 ③ ， 從而其判斷矩陣的最大特征根 λ=n。 而 B不具備性質(zhì) ③ ， λ大于 n， 從而把 A推廣到 B所得的結(jié)論也有一定誤差 。 為使特征根法仍能適用 ， 須對誤差進(jìn)行檢驗(yàn) ， 若誤差在允許范圍內(nèi) ， 則對 B所求的特征向量可近似表示權(quán)重 。 這一檢驗(yàn)環(huán)節(jié)稱 一致性檢驗(yàn) （ 相容性檢驗(yàn) ） 。 例如： 例 2中的判斷矩陣 B就不滿足完全一致性 =2 1/5 ＝ 2/5， b12 = 1/3 ， ≠ b12 第五節(jié) 層次分析法 (AHP) 55 前述 A的最大特征值為 n， 而判斷矩陣 B的最大特征值 λmaxn， 可以認(rèn)為這是 B不滿足 ③ 而產(chǎn)生的結(jié)果 ， B越是不滿足 ③ ，λmaxn越大 ， 因此 ， 將這一誤差值作為衡量 A滿足完全一致性的程度 。 m ax..1nCIn? ???一致性指標(biāo) (Consistency Index) ?? ?m ax 1()1 n ii iBWnw?其中 第五節(jié) 層次分析法 (AHP) 56 考慮到 n越大 ， 判斷矩陣 B越難滿足一致性 ， 所以應(yīng)對不同階數(shù)的矩陣給予不同的誤差限 ， 為此引入 隨機(jī)一致性指標(biāo) .（ 1000個樣本得到的平均 ） ： n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 . 0 0 一致性比率 (Consistency Ratio): .=./. 若 .，判斷矩陣 B具有 滿意一致性 。 若 .≥，判斷矩陣 B不具有滿意一致性，需要重新構(gòu)造，直到滿意為止。 第五節(jié) 層次分析法 (AHP) 57 ? ?? ? ??m ax 48 3. . 24,12nCIn?m ax 0 8 8 00.367.1 ( ) 483 122? ? ? ? ?? ? ?. . 24. . . . RI A B1 B2 B3 B＝ B1 1 1/3 2 B2 3 1 5 B3 1/2 1/5 1 1 1/3 2 BW= 3 1 5 1/2 1/5 1 ???????????????????? = 例 3 對例 2中的判斷矩陣 B進(jìn)行一致性檢驗(yàn) 。 故此判斷矩陣具有滿意一致性。 第五節(jié) 層次分析法 (AHP) 58 4． 層次總排序 及一致性檢驗(yàn) b1 b2 … bm … C層次總排序 C1 C2 … Cn c11 c12 … c1m c21 c22 … c2m … … … 1 2 … m B1 B2 … Bm 層次 B要素 總排序值 單排序值 層次 C要素 11m iiibc?? 21m iii?1m iinibc??層次總排序： 計算各層要素相對于最高層 (總目標(biāo) )的總權(quán)重，并據(jù)此對方案等排序。 第五節(jié) 層次分析法 (AHP) 59 采用同一層次中所有層次單排序的結(jié)果，就可計算對上一層次而言的本層次所有要素重要性的數(shù)值。總排序過程從上到下逐層進(jìn)行，直到得出最后一層的總排序。 設(shè)以第 k1層的第 j個要素為準(zhǔn)則的一致性指標(biāo)為 ，相應(yīng)的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)為 , (j=1,2,…, nk1)，那么第 k層的綜合指標(biāo)分別為 綜合一致性檢驗(yàn) 第五節(jié) 層次分析法 (AHP) 60 1( ) ( 1 ) ( 1 )12. . ( . . , . . , , . . ) . .kk k k k k k kn j jR I R I R I R I W w R I????? ?1( ) ( 1 ) ( 1 ). . ( . . , . . , , . . ) . .kk k k k k k kn j jC I C I C I C I W w C I? ?()()()......kkkCICRRI? 當(dāng) .(k)，認(rèn)為層次結(jié)構(gòu)在第 k層以上的判斷具有整體滿意一致性，否則，認(rèn)為層次結(jié)構(gòu)在第 k層以上的判斷不具有整體滿意一致性。但在實(shí)際應(yīng)用中，整體一致性檢驗(yàn)常常不必進(jìn)行。 第五節(jié) 層次分析法 (AHP) 61 1 ( 1 )11kn kkjjjww? ???1( 1 ) ( 1 ) ( 1 )12kk k knX X X?? ? ?1( 1 ) ( 1 ) ( 1 )kk k knw w w?? ? ?11111 12 121 22 212kkk k k kk k knk k knk k kn n n nw w ww w ww w w???()()()12kkkknXXX1 ( 1 )21knj? ??1 ( 1 )1kkkkn j jjww? ??? 以第 k1層要素為準(zhǔn)則的一致性指標(biāo) 平均隨機(jī)一致性 指標(biāo) 第 k層總排序 第 k1層要素 第 k1層總排序值 單排序值 第 k層要素 112. . . . . . kk k knC I C I C I?( 1 ) ..kkjjw C I?? 1() R I?1. . . . . . kk k knR I