20xx北師大版選修2-1高中數(shù)學(xué)342-343圓錐曲線的共同特征、直線與圓錐曲線的交(編輯修改稿)
2024-12-22 23:21 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 =??2( 3 ??2 ??2)??2+ 3 ??2. 從而 |x1 x2|= ( ??1+ ??2)2 4 ??1??2= 6 ??2c??2+ 3 ??2 24 ??2( 3 ??2 ??2)??2+ 3 ??2=4 ?? ??2??2+ 3 ??2. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 則由弦長(zhǎng)公式 ,得 | MN | =4 ?? ??2??2+ 3 ??2 1 + 3 =4 ??5. 化簡(jiǎn) ,得 a2= 3 b2.② 聯(lián)立 ①② ,得 a2= 6 , b2= 2 . 故橢圓 C 的方程為??26+??22= 1 . 反思 解決直線與圓錐曲線的交點(diǎn)弦問(wèn)題常用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長(zhǎng)公式 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 【典型例題 6 】 已知斜率為 2 的直線被雙曲線??23???22= 1 所截得的弦長(zhǎng)為 4 , 求直線 l 的方程 . 思路分析 :設(shè)出直線方程 ,列方程組 ,利用弦長(zhǎng)公式求解 . 解 :設(shè)直線 l 方程 y= 2 x+ b , 設(shè) l 與雙曲線??23???22= 1 的交點(diǎn)為 A ( x1, y1), B ( x2, y2) . 由 ??23??22= 1 ,?? = 2 ?? + ?? , 化簡(jiǎn)得 10 x2+ 12 b x+ 3 ( b2+ 2 ) = 0 , 則 x1+x2= 6 ??5, x1x2=3 ( ??2+ 2 )10. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 由 | A B | = 4 得 ( ??1 ??2)2+ ( ??1 ??2)2= 4 , 化簡(jiǎn)整理得 5 [( x1+x2)2 4 x1x2] = 16 , ∴ 5 6 ??5 2 4 3 ( ??2+ 2 )10 = 16 , 解得 b2=703, ∴ b = 177。 2103. ∴ 所求直線 l 的方程為 y= 2 x177。 2103. 點(diǎn)評(píng) 涉及直線與圓錐曲線弦的有關(guān)問(wèn)題時(shí) ,常將直線與圓錐曲線方程聯(lián)立 ,消元后借助根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 中點(diǎn)弦問(wèn)題 1 .關(guān)于弦中點(diǎn)問(wèn)題常有兩種方法 : ( 1 ) 根與系數(shù)的關(guān)系法 若直線 l : y= kx+ b 與曲線 F ( x , y ) 相交于 A ( x1, y1), B ( x2, y2), 聯(lián)立兩方程得一個(gè)關(guān)于 x ( 或 y ) 的一元二次方程 Ax2+ B x+ C = 0 ( A ≠ 0 ), 設(shè) M ( x0, y0) 是弦 AB 的中點(diǎn) ,則 ??0=??1+ ??22= ??2 ??,??0= k ??0+ b = ?? ??2 ??+ b . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 ( 2 ) 點(diǎn)差法 ① AB 是橢圓??2??2+??2??2= 1 ( a b 0 ) 的一條弦 ,中點(diǎn) M 坐標(biāo)為 ( x0, y0) .運(yùn)用點(diǎn)差法求 AB 的斜率 ,設(shè) A ( x1, y1), B ( x2, y2)( x1≠ 177。x2, y1≠ 177。y2), A , B 都在橢圓上 , ∴ ??12??2+??12??2= 1 ,??22??2+??22??2= 1 ,兩式相減得??12 ??22??2+??12 ??22??2= 0 . ∴( ??1 ??2)( ??1+ ??2)??2+( ??1 ??2)( ??1+ ??2)??2= 0 , 即??1 ??2??1 ??2= ??2( ??1+ ??2)??2( ??1+ ??2)= ??2??0??2??0.故 kAB= ??2??0??2??0. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 ② 運(yùn)用類(lèi)比的手法可以推出 :已知 AB 是雙曲線?? 2?? 2??? 2??2= 1 的弦 ,中點(diǎn)M ( x 0 , y 0 ), 則 k AB =??2?? 0?? 2 ??0。 已知拋物線 y2= 2 px ( p 0 ) 的弦 AB 的中點(diǎn) M ( x 0 , y 0 ), 則 k AB =????0. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 2 .這類(lèi)問(wèn)題常見(jiàn)的有兩種類(lèi)型 : ( 1 ) 已知斜率 ,求平行弦的中點(diǎn)的軌跡方程 。 ( 2 ) 過(guò)某定點(diǎn)作圓錐曲線的 割線 ,求截得弦的中點(diǎn)的軌跡方程 . 上述兩種類(lèi)型均與弦的中點(diǎn)有關(guān) ,因此 ,可采用點(diǎn)差法 ( 設(shè)而不解 ,兩式相減法 ) 來(lái)求解 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 【典型例題 7 】 已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為 F1( 0 , 2 2 ), F2( 0 , 2 2 ), 離心率e=2 23. ( 1 ) 求橢圓方程 . ( 2 ) 一條不與坐標(biāo)軸平行的直線 l 與橢圓交于不同的兩點(diǎn) M , N , 且線段MN 中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 12, 求直線 l 傾斜角的取值范圍 . 思路分析 :涉及與中點(diǎn)弦有關(guān)的問(wèn)題 ,不妨嘗試用 “ 點(diǎn)差法 ”. 解 : ( 1 ) ∵ c= 2 2 , e=????=2 23, ∴ a= 3 , c= 2 2 . ∴ b2= 1 . ∴ 橢圓方程為??29+x2= 1 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 ( 2 ) 設(shè)點(diǎn) M ( x1, y1), N ( x2, y2), 且 MN 的中點(diǎn)為 P 12, ??0 , kMN=k ( k ≠ 0 ), 則??129+ ??12= 1 ,??229+ ??22= 1 . 兩式相減 ,得( ??1 ??2)( ??1+ ??2)9+ ( x1 x2)( x1+x2) = 0 . ∴??1 ??2??1 ??2= 9 ( ??1+ ??2)??1+ ??2. ∴ y0=92 ??. 由于點(diǎn) 12,92 ?? 在橢圓??29+x2= 1 的內(nèi)部 , ∴92( 2 ?? )219+14 1 ,化簡(jiǎn)得 k2 3 . 解得 k 3 或 k 3 . ∴ 直線 l 傾斜角的取值范圍是
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