【文章內(nèi)容簡介】 2023/9/25 ? 通過不在同一直線上的三點 P P P3可確定一個圓及三點間的圓弧，其圓心為 OR,半徑為 R，圓弧所在平面與基礎(chǔ)坐標系平面的交線分別為 AB、 BC、 CA。 ? 建立圓弧平面插補坐標系，即把 ORXRYRZR坐標系原點與圓心 OR重合，設(shè) ORXRYR平面為圓弧所在平面，且保持 ZR為外法線方向。 ? 求解兩坐標系的轉(zhuǎn)換矩陣。 令 TR表示由圓弧坐標 ORXRYRZR 至基礎(chǔ)坐標系 OX0Y0Z0的轉(zhuǎn)換矩陣。 2023/2/4 25 2023/2/42023/2/4 25 25 工業(yè)機器人技術(shù)基礎(chǔ) 2023/9/25 ? 若 ZR軸與基礎(chǔ)坐標系 Z0軸的夾角為 ?，XR軸與基礎(chǔ)坐標系的夾角為 θ，則可完成下述步驟： ? ①將 XRYRZR的原點 OR放到基礎(chǔ)原點 O上； ? ②繞 ZR軸轉(zhuǎn) θ， 使 X0與 XR平行； ? ③再繞 XR軸轉(zhuǎn) ?角，使 Z0與 ZR平行。 2023/2/4 26 2023/2/4 26 26 工業(yè)機器人技術(shù)基礎(chǔ) 2023/9/25 ? 這三步完成了 XRYRZR向 X0Y0Z0的轉(zhuǎn)換，故總轉(zhuǎn)換矩陣應(yīng)為 ( , , ) ( , ) ( , )c o s s i n c o s s i n c o ss i n c o s c o s c o s s i n0 s i n c o s0 0 0 1R R RRRRR O O OOOOX Y Z Z XXYZ??? ? ? ? ?? ? ? ? ?????????????????T T R R2023/2/4 27 2023/2/42023/2/4 27 27 工業(yè)機器人技術(shù)基礎(chǔ) 2023/9/25 ? 欲將基礎(chǔ)坐標系的坐標值表示在ORXRYRZR坐標系，則要用到 TR的逆矩陣 ? ?? ?? ?1co s sin 0 co s sinsin co s co s co s sin sin co s co s co s sinsin sin co s sin co s sin sin co s sin co s0 0 0 1RRR R RR R ROOO O ORO O OXYX Y ZX Y Z? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ????? ? ? ????? ? ? ?????T2023/2/4 28 2023/2/4 28 28 工業(yè)機器人技術(shù)基礎(chǔ) 2023/9/25 三、關(guān)節(jié)空間插補 ? 路徑點 (結(jié)點 )通常用工具坐標系相對于工件坐標系位姿來表示。為了求得在關(guān)節(jié)空間形成所要求的軌跡，首先用運動學(xué)反解將路徑點轉(zhuǎn)換成關(guān)節(jié)矢量角度值，然后對每個關(guān)節(jié)擬合一個光滑函數(shù)，使之從起始點開始，依次通過所有路徑點，最后到達目標點。 2023/2/4 29 2023/2/42023/2/4 29 29 工業(yè)機器人技術(shù)基礎(chǔ) 2023/9/25 ? 對于每一段路徑， 各個關(guān)節(jié)運動時間均相同，這樣保證所有關(guān)節(jié)同時到達路徑點和終止點， 從而得到工具坐標系應(yīng)有的位置和姿態(tài)。但是，盡管每個關(guān)節(jié)在同一段路徑中的運動時間相同，各個關(guān)節(jié)函數(shù)之間卻是相互獨立的。 三、關(guān)節(jié)空間插補 2023/2/4 30 2023/2/4 30 30 工業(yè)機器人技術(shù)基礎(chǔ) 2023/9/25 ? 在關(guān)節(jié)空間中進行軌跡規(guī)劃，需要給定機器人在起始點、終止點手臂的形位。 ? 對關(guān)節(jié)進行插值時，應(yīng)滿足一系列約束條件，在滿足所要求的約束條件下，可以選取不同類型的關(guān)節(jié)插值函數(shù)生成不同的軌跡。 三、關(guān)節(jié)空間插補 2023/2/4 31 2023/2/42023/2/4 31 31 工業(yè)機器人技術(shù)基礎(chǔ) 2023/9/25 ? 在操作臂運動的過程中，由于相應(yīng)于起始點的關(guān)節(jié)角度 ?0是已知的．而終止點的關(guān)節(jié)角?f可以通過運動學(xué)反解得到，因此，運動軌跡的描述，可用起始點關(guān)節(jié)角與終止點關(guān)節(jié)角度的一個平滑插值函數(shù) ? (t)來表示。 ? (t)在 t0=0時刻的值是起始關(guān)節(jié)角度 ?0，終端時刻 tf的值是終止關(guān)節(jié)角度 ?f。 2023/2/4 32 2023/2/42023/2/4 32 32 工業(yè)機器人技術(shù)基礎(chǔ) 2023/9/25 ? 為實現(xiàn)單個關(guān)節(jié)的平穩(wěn)運動，軌跡函數(shù) ? (t)至少需要滿足四個約束條件，即 兩端點位置約束 和 兩端點速度約束 。 ? 端點位置約束是指起始位姿和終止位姿分別所對應(yīng)的關(guān)節(jié)角度。 ? (t)在時刻 t0=0時的值是起始關(guān)節(jié)角度 ?0，在終端時刻 tf時的值是終止關(guān)節(jié)角度 ?f，即 ? ?? ?0ff0t???????????2023/2/4 33 2023/2/4 33 33 工業(yè)機器人技術(shù)基礎(chǔ) 2023/9/25 ? 為滿足關(guān)節(jié)運動速度的連續(xù)性要求，兩外還有兩個約束條件，即在 起始點和終止點的關(guān)節(jié)速度要求。 為了滿足關(guān)節(jié)運動速度連續(xù)性的要求，起始點和終止點的關(guān)節(jié)速度可簡單地設(shè)定為零。 ? ?? ?f000t???? ??? ?? 2023/2/4 34 2023/2/4 34 34 工業(yè)機器人技術(shù)基礎(chǔ) 2023/9/25 ? 上面給出的四個約束條件可以惟一地確定一個三次多項式 ?? 230 1 2 3t a at at at? ? ? ? ?運動過程中的關(guān)節(jié)速度和加速度則為 ? ?? ?21 2 3232326t a a t a tt a a t???? ? ? ???? ??2023/2/4 35 2023/2/42023/2/4 35 35 工業(yè)機器人技術(shù)基礎(chǔ) 2023/9/25 為求得三次多項式的系數(shù) a0， a1， a2和 a3，代以給定的約束條件，有方程組 0023f 0 1 f 2 f 3 f121 2 f 3 f00 2 3aa a t a t a taa a t a t??? ??? ? ? ? ??? ??? ? ??求解該方程組，可得 ? ?? ?0012 f 02f3 f 03f032aaatat?????? ???????? ???? ? ? ???2023/2/4 36 2023/2/4 36 36 工業(yè)機器人技術(shù)基礎(chǔ) 2023/9/25 對于起始速度及終止速度為零的關(guān)節(jié)運動 ，滿足連續(xù)平穩(wěn)運動要求的三次多項式插值函數(shù)為 230 f 0 f 023ff32( ) ( ) ( )t t ttt? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?關(guān)節(jié)角速度和角加速度的表達式為 2f 0 f 023fff 0 f 023ff66( ) ( ) ( )6 1 2( ) ( ) ( )t t ttttttt? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?這里再次指出： 這組解只適用于關(guān)節(jié)起始、終止速度為零的運動情況。 2023/2/4 37 2023/2/4 37 37 工業(yè)機器人技術(shù)基礎(chǔ) 2023/9/25 圖 三次多項式插值的關(guān)節(jié)運動軌跡 三次多項式插值的關(guān)節(jié)運動軌跡曲線如圖 示。由圖可知，其速度曲線為拋物線，相應(yīng)的加速度曲線為直線。 2023/2/4 38 2023/2/4 38 38 工業(yè)機器人技術(shù)基礎(chǔ) 2023/9/25 例：設(shè)有一