【文章內(nèi)容簡介】 、 K0，描述，則由特征方程 注意幾點(diǎn)： M0及 K0 是近似的 M0及 K0 根據(jù)特征方程式計(jì)算所得的特征值矩陣 Λ 0及模態(tài)矩陣 Φ 0也是不可能與真實(shí)結(jié)構(gòu)的特征值矩陣 Λ 及模態(tài)矩陣 Φ 相一致。 實(shí)際結(jié)構(gòu) 的質(zhì)量矩陣及剛度矩陣分別 M,K。它們均為 NXN矩陣。實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析給出了該結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的前 s個特征值以及相應(yīng)的特征向量 λ r， Φ r（ r=1,2, …,s), 并構(gòu)成特征值矩陣及模態(tài)矩陣 Λ 和 Φ 。 Institute of Vibration Engineering 振動工程研究所 21 很顯然 M、 K、 A 、 Φ 應(yīng)使特征方程得到滿足，即 式中 M 、 K 就是我們所求的未知矩陣或經(jīng)過修正后的質(zhì)量矩陣與剛度矩陣 。 ? 再次提醒： A ( s x s）、 Φ （ N xs） 是非完備的。以此為基礎(chǔ)修正 M0和 K0得到 修止后 的 M 、 K 與實(shí)際結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣．與剛度矩陣的吻合程度 如何 呢？ ? 檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)： 對于非完備模態(tài)，用少于結(jié)構(gòu)自由度數(shù)的特征對修正結(jié)構(gòu)的物理參數(shù)，最終得到的數(shù)學(xué)模型應(yīng)具有這樣的動力特性，即在實(shí)驗(yàn)頻段范圍與實(shí)際結(jié)構(gòu)系統(tǒng)等價，而不一定滿足高階時的等價關(guān)系。 ? 矩陣攝動法和誤差矩陣范數(shù)極小化方法 均是 基于以上標(biāo)準(zhǔn)發(fā)展起來的。 1） 矩陣攝動法 從模態(tài)正交性條件出發(fā)，利用初始模型特征對與相應(yīng)的實(shí)測特征對之差進(jìn)行攝動，從而獲得修正結(jié)果 M 、 K。該方法的缺點(diǎn)是在非完備模態(tài)情況下，不能滿足特征方程 ，需要再做修正處理 2） 誤差矩陣范數(shù)極小化方法 則通過構(gòu)造誤差矩陣（ M 一 M0）、（ K 一 K0），并以不同方式加權(quán)誤差矩陣形成范數(shù)，在滿足正交條件及特征方程前提下，極小化該范數(shù)，從而獲得相應(yīng)于不同加權(quán)方式的修正結(jié)果。這種方法的缺點(diǎn)在于破壞了矩陣 M 、 K 的帶狀稀疏性。 本方法先從正交性條件出發(fā)，通過待定矩陣 M(sxs) ， K(sxs)的確定，導(dǎo)出滿足正交性條件的 M 與 K ，然后調(diào)整矩陣 M 及 K ，進(jìn)而使特征方程得到滿足。 Institute of Vibration Engineering 振動工程研究所 22 1） 矩陣攝動法 先從正交性條件出發(fā)，通過待定矩陣 M(sxs) ， K(sxs)的確定，導(dǎo)出滿足正交性條件的 M與 K ，然后調(diào)整矩陣 M 及 K ，進(jìn)而使特征方程得到滿足。 對于待求的矩陣 M 和 K 應(yīng)與特征對 Λ 及 Φ 一起滿足正交性條件，即 假設(shè) M,K與 M0與 K0滿足如下關(guān)系 式中 分別為 sxs階的待定矩陣。上式表示假定修正模型的 M 和 K 可分別表示為初始 模型 M0、 K0與各自的修正量 之和。待定矩陣 的確定應(yīng)使 M 、 K 分 別滿足上面兩式。易得 令 顯然 B矩陣是 sxs階的對稱矩陣。由于振型的獨(dú)立性，故 B又是滿秩矩陣因此 B有逆陣，便可得 KM及Institute of Vibration Engineering 振動工程研究所 23 進(jìn)一步求得 滿足正交性條件 的 M與 K (1) (2) 眾所周知，在非完備模態(tài)集情況下，僅僅滿足正交條件的 M 與 K 既不唯一，又不滿足特征方程。因此，若將上兩式確定的 M 、 K 矩陣作為最終結(jié)果進(jìn)行特征值運(yùn)算時，將不能求得與實(shí)測值相吻合的特征頻率與振型。 將上兩式右邊分別乘以 Φ Λ 和 Φ ，考慮到 可得 (a) (b) 由上兩式可見，顯然 (c) Institute of Vibration Engineering 振動工程研究所 24 即 M 、 K 不滿足特征方程。由于推導(dǎo)只利用了正交性條件，故式（ c）的存在是意料之中的。但完備模態(tài)集的情況就不同了。此時 B 之逆陣可寫成 (d) （當(dāng)非完備情況時， Φ 1不存在，故上式不成立） 將式（ d）代入（ a）（ b）得 (e) (f) 得 (g) 或 (h) 上式即特征方程式。由此可見，對完備模態(tài)集而言，由正交性條件解出的 M 、 K ，亦滿足特征方程。而式（ c ）則說明，在非完備模態(tài)集情況下，滿足正交性條件并不一定滿足特征方程。 利用部分試驗(yàn)?zāi)B(tài)來修正結(jié)構(gòu)的物理參數(shù)時，如何滿足特征方程（或擬合特征方程）？ 現(xiàn)在的間題是能否充分利用僅僅滿足正交性一結(jié)果，然后進(jìn)一步修正其中的 K 或 M ，使它們滿足特征方程?；卮鹗强隙ǖ?。分別調(diào)整 K和 M的兩種方案，現(xiàn)介紹如下： Institute of Vibration Engineering 振動工程研究所 25 2） 誤差矩陣范數(shù)極小化方法 方案一 保留式（ 1），調(diào)整式（ 2） ，即認(rèn)為剛度修正結(jié)果式（ 2）不準(zhǔn)確，導(dǎo)致式（ 2）左右 兩邊不相等。 以 KA表示（ 2）式右端項(xiàng) KA與 K之間的誤差矩陣用 EK表示 式中 EK是待求的未知矩陣，它對 KA的修正應(yīng)使 K滿足特征方程。現(xiàn)構(gòu)造 EK 的歐氏范數(shù)如下：