【文章內(nèi)容簡介】 2 習題討論課 第九章 梁的應力 上章討論了梁的內(nèi) 力，本 章主要解決 梁 在 外 力 作 用 下 截 面 上 任 一 點 的 應 力及強度計算。 基本概念 (1) 1. 平面彎曲的外力特點 外力作用線通過彎曲中心， 并垂直于梁軸 ；外力作用平面與形心主慣性平面重合或平行。 2. 純彎曲和橫力彎曲 在桿件橫截面上僅有內(nèi)力彎矩， 無剪力， 桿件的這種受力狀態(tài)稱純彎曲， 純彎曲時， 梁的橫截面上剪力為零，彎矩為常數(shù)。 在桿件橫截面上的內(nèi)力除彎矩外，尚有剪力，桿件的這種受力狀態(tài)稱橫力彎曲。 3. 平面假定 假設(shè)整個橫截面在變形后仍是平面稱為平面假定 4. 中性層和中性軸 當桿件彎曲變形時，沿軸線方向既不伸長又不縮短的一層稱中性軸。 中性層和橫截面的交線，即橫截面上正應力為零的各點的連線，稱為中性 軸。 當 平 面 彎 曲 時 ， 直 梁 的 中 性 軸 通 過 橫 截 面 的 形 心 且 垂 直 于 載 荷 作 用 面 。 曲 桿 的 中 性 軸 不通過橫截面的形心，而是向曲桿中心移動但垂直于載荷作用面。 基本概念（ 2） 5. 梁的合理截面 為 了 減 輕 梁 的 自 重 和 節(jié) 省 用 料 ， 應 該 在 滿 足 所 需 要 的 WZ前提下，為橫截面選擇適當?shù)男?狀 ， 使 得 WZ與橫截面面積 A 的比值盡可能地大。 在面積 A 相 同 的 情 況 下 ， 用 工 字 形 截 面比矩形截面合理； 矩形截面豎放比平放合理； 環(huán)形截面比圓形截面合理。 對塑性材料制成的梁應該選擇對稱的截面形狀，對脆性材料制成的梁宜做成不對稱截面。 6. 一點的應力狀態(tài) 過點 A 的所有各方位上的應力情況。 7. 梁的主應力和主平面 最大正應力和最小正應力作用面為主平面，主平面上的正應力為主應力。 主應力 ?????στατσσσσ22t an22022m i nm a x??????????? 8. 梁的最大剪應力和作用平面 ????τ2σβ2ta nτ2σττ022m i nm a x?????????? 基本概念（ 3） 9 . 慣性矩 ????????2 是橫截面對中性軸的慣性矩。 其中 矩形截面123????? 圓形截面644???π? 10. 抗彎截面模量 m a x?????? 其中 矩形截面6212223????????????? 圓形截面32264234????????ππ??? 如果是型鋼，可查型鋼表。 1 1 . 梁的曲率公式 ?????ρ1 其中 ???稱為抗彎剛度。 圓形截面32264234????????ππ??? 如果是型鋼，可查型鋼表。 解題要點 1. 求靜定梁的支反力； 2. 畫靜定梁的 Q 、 M 圖； 3. 判斷危險截面和危險點； 4. 截面圖形幾何性質(zhì)的計算； 5. 強度計算。強度計算可解決三方面的問題， 一是強度校核，二是設(shè)計截面，三是求許用荷載。 注意點 ? ?對 受 彎 曲 的 梁 來 說 ， 一 般 彎 矩 是主 要 的 ， 所 以 無 論 強 度 校 核 還 是設(shè) 計 截 面 ， 首 先 按 正 應 力 強 度 條件 進 行 ， 然 后 進 行 剪 應 力 校 核 。 ? ?正確判斷危險截面和危險點。 ? ?注意各公式的適用條件。 重點與難點（ 1） 1. 梁橫截面上的正應力推導 ( 1 ) 矩形截面等直梁的實驗觀察 縱向線變成了相互平行的圓弧線；橫向線傾斜了一 個 角 度 ， 但 仍 保 持 為 直 線 ， 且 處 處 與 彎曲后的縱向線垂直。 ( 2 ) 假設(shè)和推導 平面假設(shè)；假設(shè)各縱向纖維之間是純彎曲而無擠壓 作 用 ； 在 橫 截 面 的 同 一 高 度 上 所 有 纖 維的變形是相同的。 ( 3 ) 應變分布規(guī)律 應變與中性層曲率半徑成反比，與該纖維到中性層的距 離 成 正 比 ， 與 Z 方向的位置無關(guān)。 ( 4 ) 應力分布規(guī)律正應力沿梁高度線性分布，中性軸上等于零，外邊緣上最大。 ( 5 ) 正應力公式的推導 ( 略 ) 直梁的正應力公式 ?????σ 重點和難點（ 2） 正應力的大小和該點至中性軸的距離成正比，中性軸一側(cè)為拉應力。另一側(cè)為壓應力。 橫截面上最大正應力 ????m a xσ 直梁的正應力公式只能在滿足以下三個條件時才能使用： ( a ) 平面彎曲； ( b ) 純彎曲或5???的剪切彎曲，這兒 h 為 梁 的 高 度 ， l 為跨度； ( c ) 應力小于比例極限。 ( 2 ) 梁截面上的剪應力 ① 矩形截面的剪應力公式 ??????*m a xτ ? 剪應力的大小沿梁高度呈拋物線分布，最大剪應力發(fā)生在截面中性軸處。剪應力方向和截面 上剪力方向一致。 橫截面上最大剪 應力??????*m a xm a x?τ 對矩形截面???23m a x?τ 應 當 指 出 ： 矩 形 截 面 的 剪 應 力 公 式 的 應 用 條 件 除 和 彎 曲 正 應 力 相 同 外 ， 還 要 另 加 矩形截面高度大于寬度這一條件。 重點和難點（ 3） ②其它截面的最大剪應力 對工字形截面 ????m a xτ（這是近似公式） 圓形截面 ??34m a x?τ ( 3 ) 強度條件 彎曲正應力強度條件 ? ?στ ?????m a x 其中 M 所求橫截面上的彎矩； ?? 梁的抗彎截面模量； ? ?σ 材料的許用應力。 彎曲剪應力強度條件? ?ττ*m a xm a x???????? 重點和難點（ 4） 其中 Q 所求橫截面上的剪力； ?? 橫截面對中性軸的慣性矩； *?? 距中性軸 y 處 的 橫 線 以 下 ( 或以上 ) 的面積*?對中性軸的靜矩 ( 有正有負 ) ； b 橫截面的面積； ? ?τ 材料的許用剪應力。 矩形截面上的剪應力最大值是平均剪應力的 1 . 5 倍即： ??max?τ 圓形截面上的剪應力最大值是平均剪應力的 1 . 3 3 倍即： 3m a x34??πτ ?? 工字形截面上的剪應力最大值由剪應力公式來求。 ( 4 ) 二向應力狀態(tài) ①二向應力狀態(tài)時任一斜截面上的應力、主應力和主平面方位： 任一斜截面上的應力 ? ? ? ?? ? α2co sτα2s i nσσ21τα2s i nτα2co sσσ21σσ21σαα???????????????? 重點和難點（ 5） 主應力大小 ? ?? ?? ?? ?222221421421??????????τσσσσστσσσσσ?????????? 主平面方位 ?????σστα???22 其中 αατσ . 斜截面上的正應力和剪應力； ????ττσσ ... 單元體 x 、 y 面上的正應力和剪應力； )(..321321σσσσσσ ?? 應力單元體上的主應力。 ②二向應力狀態(tài)下的強度條件 強度理論 第一強度理論 強度條件是? ?σσ ?1 第二強度理論 強度條件是? ? ? ?σσσμσ ???321 第三強度理論 強度條件是? ?σσσ ??31 第四強度理論 強度條件是 ? ?σσσσσ ???312321 基本要求 1. 明確純彎曲和橫力彎曲和概念， 了 解推導梁彎曲正應力公式的方法。 2. 熟練掌握彎曲正應力的計算，彎 曲 正應力強度條件及應用。 3. 理解矩形截面梁彎曲剪應力公式 的 推導過程，掌握相應的剪應力分布規(guī)律。 4. 掌握常見截面梁橫截面上最大剪 應 力的計算 和強度校核方法。 5. 知道彎曲中心的概念。 6. 了解提高梁剛度的一些主要措施。 7. 了解一點應力狀態(tài)、主應力和主平面 、單 元 體 等 基 本 概 念 ，知 道 四 個 強 度 理 論 。 本章講課學時分配表 2 167。 9 1 梁 內(nèi) 正 應 力 、 正應力強度條件 2 167。 9 2 梁 內(nèi) 剪 應 力 、 剪應力強度條件 167。 9 3 梁的合理截面和變截面梁 第九章 梁的應力 6學時 2 167。 9 4 梁 的 主 應力 、 主 應力 跡 線 167。 9 5 二 向 應力 狀 態(tài) 下的 強 度 條 件 — 強 度 理 論 第十章 梁的變形 梁在外力作用下除了限制其應力，使使其滿足強度條件外，還必須限制它的變形，即必須具有足夠的剛度，滿足剛度條件。 基本概念 1. 撓曲線 撓曲線方程 彎曲后的梁軸線稱為梁的撓曲線（彈性曲線） ，有時也 稱為梁的撓曲線軸或梁的彈性曲線。當梁發(fā)生平面彎曲時，梁的撓曲線可用方程 )( ??? ? 來表示 。 2. 撓度和轉(zhuǎn)角 彎曲變形時的位移有兩種， 一 種是橫 截面形心在變形后軸線垂直方向的位移叫撓度 。 另一 種是橫截面轉(zhuǎn)動的角度叫轉(zhuǎn)角。撓度的正負號規(guī)定， 以向 下為正，向上為負；轉(zhuǎn)角的正負號規(guī)定為順時針轉(zhuǎn)為正，反之為負。 梁的變形可用撓度和轉(zhuǎn)角兩個量 來度 量， 在建筑工程中梁的撓度是度量梁的變形的主要指 標，要求將 其限制在一定的范圍之內(nèi) 重點和難點 1. 撓曲線近似微分方程 在小變形條件下 ???????? )(22?? 積分后得梁的撓度（積分常數(shù)由邊界條件求得） 。 2. 用疊加法求梁的轉(zhuǎn)角和撓度 在 多 個 載 荷 作 用 下 ， 梁 的 任 一 截 面 的 轉(zhuǎn) 角 和 撓 度 等 于 各 個 載 荷 情 況 下 的 等 截 面 轉(zhuǎn) 角 、 撓 度 方 程 。 3. 梁的剛度條件? ?? ?θθ ??m a xm a x?? 4. 提高梁剛度的主要措施 ( 1 ) 增大梁的抗彎剛度即增大 E I 增 大 截 面 慣 性 矩 I 可 增 加 截 面 尺 寸 ， 也 可 改 變 截 面 形 狀 。 如 果 將 圓 形 改 為 工 字 形 、 槽 形 或 箱 形 ，可 使 得 截 面 面 積 A 較 小 而 截 面 慣 性 矩 I 較 大 。 另 外 ， 還 可 提 高 材 料 的 彈 性 模 量 E ， 對 鋼 材 來 講 ，高 強 度 鋼 與 普 通 低 碳 鋼 的 彈 性 模 量 E 值 是 很 接 近 的 ， 因 此 ， 改 用 高 強 度 鋼 雖 然 增 加 強 度 ，但不能增加剛度。 ( 2 ) 調(diào)整梁的跨長和改變結(jié)構(gòu)形式 基本要求 ，深刻理解梁撓曲線近似微分方程的建立過程 。 法。 的主要措施。 本章講課學時分配表 第十章 梁的變形 2 學時 167。 10 1 梁 撓 曲 線 的近似微分方程 167。 10 2 用 積 分 法 求梁的變形 167。 10 3 疊加法求梁的變形 167。 10 4 梁 的 剛 度