【文章內(nèi)容簡介】 (或多組 )資料的變異程度。 第 5節(jié) 三種重要分布的漸進(jìn)關(guān)系（略） 當(dāng) n→∞ ，二項分布 B (k。 n, p)以泊松分布 P (k。 λ ) 為極限分布； 當(dāng) n→∞ ，二項分布 B (k。 n, p)以正態(tài)分布 N (np, npq )為極限分布； 當(dāng) n→∞ ，泊松分布 P (k。 λ ) 以正態(tài)分布 N(λ。 λ ) 為極限分布。 例： 第 3講 隨機(jī)抽樣、抽樣分布和總體的參數(shù)估計 第 1節(jié) 隨機(jī)抽樣 總體： 研究對象的全體，組成總體的每個單元稱為個體。 樣本： 在一個總體 X中抽取 n個個體 X1， X2…X n，這 n個個體組成的集合稱為總體 X的一個樣本。樣本中含有個體的數(shù)目稱為 樣本容量 ，也稱樣本的大小。 簡單隨機(jī)抽樣 是指在抽取樣本單位時，總體的每一個可能的樣本被抽中的概率相同。 簡單隨機(jī)樣本 樣本 X1， X2…X n相互獨立且與總體 X有相同的分布函數(shù)，這樣的樣本稱為簡單隨 機(jī)樣本。 第 2節(jié) 樣本的數(shù)字特征 統(tǒng)計量： 設(shè) X1, X2…X n為總體 X的一個樣本， g(X1， X2…X n)為一個樣本函數(shù)，如 果 g中 不含有任何未知參數(shù) ，則稱 g為一個統(tǒng)計量。 特點： (1)統(tǒng)計量是樣本中 n個隨機(jī)變量 X1 ,X2 ,… ,Xn的函數(shù)，它是完全由樣本決 定的量，仍是一個隨機(jī)變量。 (2)統(tǒng)計量不包含任何未知參數(shù)。 例如： 幾種常見統(tǒng)計量 樣本均數(shù) 樣本方差、標(biāo)準(zhǔn)差、變異系數(shù)（相對標(biāo)準(zhǔn)差） 注意：分母為 n1。 由于樣本方差中的均數(shù)是樣本的，是總體的一部分，其離差平 方和一定變小，所以若以 n為分母， S2一般比總體方差小（有偏估計）。而分母改 為 n1后，經(jīng)數(shù)學(xué)證明， S2總在總體方差周圍波動（無偏估計），另外， S2 的 自 由度 正好是 n1。 樣本的標(biāo)準(zhǔn)誤 SD與 SE的區(qū)別： SD是描述個體觀察值變異程度的大小，樣本標(biāo)準(zhǔn)差越小，樣本均 數(shù)對一組樣本觀察值的代表性就越好； SE是描述 樣本均數(shù)變異程 度和抽樣誤差的大小 ，樣本標(biāo)準(zhǔn)誤越小，用樣本均數(shù)估計總體均 數(shù)可靠性就越高。 在實際中，一般 用樣本標(biāo)準(zhǔn)差與樣本均數(shù)結(jié)合 ，用于描述樣本觀察值的分布范 圍； 樣本標(biāo)準(zhǔn)誤與樣本均數(shù)結(jié)合 ，用于估計總體均數(shù)可能出現(xiàn)的范圍。 第 3節(jié) 抽樣分布 統(tǒng)計量是樣本隨機(jī)變量的函數(shù)，也是一個隨機(jī)變量，因而也有自己的概率分布， 這種統(tǒng)計量的分布叫做 抽樣分布 。 以下介紹幾種在已知 總體為正態(tài)分布 條件下，常見統(tǒng)計量的抽樣分布。 u分布 這說明 樣本均數(shù)的期望與總體的期望相等 ，而 方差為總體方差的 1/n倍 ?？梢姡? 樣本均值估計總體均值無系統(tǒng)偏差，且 n越大越精確。 樣本均值分布的應(yīng)用 : 其標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量 u主要用于單正態(tài)總體、方差已知、小樣本條件下數(shù)學(xué)期望的 u檢驗。 2.?2分布 (卡方分布 ) 設(shè) X1,X2,… ,Xn相互獨立 ,都服從 N(0,1),則稱隨機(jī)變量： 所服從的分布為 自由度為 n的 ?2分布，記為 ?2～ ?2(n)。 自由度： 指統(tǒng)計量中獨立變量的個數(shù)。計算公式為 df=nk， n為樣本容量， k為約 束條件個數(shù)。如統(tǒng)計量 ，變量獨立無約束條件，所以自由 度為 n。而樣本方差 ，其中有 n個變量 ，但 這說明變量間有一個約束條件，所以其自由度為 n1. 性質(zhì)： (1)一種非對稱分布。當(dāng) n較大時，曲線近似對稱，趨于正態(tài)分布。 (2)一個以自由度 n為參數(shù)的分布族， 自由度 n決定了分布的形狀，對于 不同的 n有不同的分布。 (3)均值為 n， 方差為 2n。 定理 ：若 X1， X2… Xn為正態(tài)總體 的一個樣本，則有 設(shè) X～ N(0,1),Y～ ?2(n),且 X與 Y相互獨立 ， 則稱隨機(jī)變量 所服從的分 布為自由度為 n的 t分布 ， 記為 t～ t(n)。 性質(zhì)： (1) t分布是對稱分布，與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布相比， t分布的中心部分較低，2個尾部較高。 (2)均值為 0, 方差為 n/(n2)。 (3)當(dāng)樣本容量 n較小時， t分布的方差大于 1；當(dāng) n逐漸增大時， t分布的方差就接近 1， t分布也就趨近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。 t分布是統(tǒng)計學(xué)中十分重要的分布，應(yīng)用最為廣泛，其應(yīng)用的依據(jù)是下面 2個定理： (1) 設(shè) X1， X2…Xn 為正態(tài)總體 的一個樣本，則 (2) 設(shè) X1， X2…X n1和 Y1， Y2…Y n2分別是從 同方差 的總體 和 中所抽取的樣本，它們是相互獨立，則 其中， S1和 S2分別是這兩個樣本的標(biāo)準(zhǔn)差。 設(shè) X~ ?2(n1), Y～ ?2(n2), X與 Y相互獨立，則稱統(tǒng)計量 為服從自由度 n1和 n2的 F分布，記為 F～ F(n1,n2)。 n1為分子隨機(jī)變量 X的自由度 ,稱為分子自由度， n2為分母隨機(jī)變量 Y的自由度，稱為分母自由度。 性質(zhì) :(1) 非對稱偏左側(cè)的分布；當(dāng) n較大時，曲線近似對稱，趨于正態(tài)分布。 (2)是以自由度 n1和 n2為參數(shù)的分布族，不同自由度決定了 F 分布的形狀。 概率分布的擬合及其應(yīng)用不做要求。 第 4節(jié) 總體的參數(shù)估計 統(tǒng)計推斷： 用樣本的信息去推斷總體的信息。 參數(shù)估計：用樣本統(tǒng)計量去估計總體參數(shù)的大小。 假設(shè)檢驗：用樣本統(tǒng)計量大小去推斷總體參數(shù)是否有差異。 （略） 直接用樣本統(tǒng)計量大小代替總體參數(shù)。同一總體參數(shù)可用多個統(tǒng)計量來估計，衡 量其好壞的指標(biāo)有三個： 無偏性 、 有效性 、 一致性 。 （易出選擇題或填空題） 缺陷： (1)點估計值不一定是參數(shù)的真值，即使與真值相等也無法肯定這種相等 （總體參數(shù)本身是未知的）。 ? (2)點估計值只是未知參數(shù)的一個近似值，沒有給出它與真值之間的誤差范 圍（可靠程度），把握不大。 實例： 估計全省 18歲女孩的平均身高。若根據(jù)實際樣本，通過 點估計法 可能得到 女孩的平均身高估計值為 162cm。而實際上，女孩的平均身高可能大于或小 于 162cm。若能給出一 區(qū)間 ，能以 較大概率 相信這個區(qū)間包含身高的真值， 將會 更有價值 。 區(qū)間估計 在給定可靠程度 1α 下，用樣本值通過合適統(tǒng)計量，估計總體參數(shù) θ 所在區(qū)間的 方法。 置信區(qū)間與置信度 設(shè) θ 是總體的未知參數(shù)，若由樣本 X1,X2,… Xn 確定的兩個統(tǒng)計量 : 對給定 α (0α 1),滿足 則稱 是 θ 在 置信度 (置信水平、置信概率 )1α 下的 置信區(qū)間 (CI)。 注意： 置信區(qū)間 的長度反映了估計的精度， 長度越小，估計的精度越高 。置信度 則反映了估計的可靠程度， 置信度越大，估計的可靠性越大 。 置信度與精確度是一對矛盾，如何處理？ 兩者矛盾時，應(yīng)在 保證可靠度條件下盡 可能提高精度 。 σ 已知 設(shè) X1, X2,… ,Xn是取自正態(tài)總體 N(μ ,σ 2)的樣本，且 σ 2已知 ，求參數(shù) μ 的置信 度為 1α 的置信區(qū)間。 解： (1)選 μ 的點估計 (2)取函數(shù) (3)對給定的置信度 1α ，查正態(tài)分布表得 Uα /2， (4)變形 所以 μ 在置信度 1α 的置信區(qū)間為： 簡記為 α 常取值 ，而 例 X～ N(μ ,1)，從中抽取樣本容量為 16的樣本 ,且樣本均數(shù)為，求 μ 的置信度為 95%和 99%的置信區(qū)間。 解 :由題意易得 n=16,σ =1（總體方差已知） ? 當(dāng) 1α =， α =；查表得 ? 當(dāng) 1α =， α =, 查表得， ? 則置信度為 95%的置信區(qū)間為 ? 既為（ ,）。同樣計算方法可得 99%的置信區(qū)間為（ ,）。 ? 可以看到， 99%的置信區(qū)間要比 95%的置信區(qū)間寬， 雖然可靠性更強，但是精確度更低。 σ 未知 設(shè) X1,… ,Xn是取自 N(μ ,σ 2) 的樣本，且 σ 2未知 ，求參數(shù) μ 的置信度為 1α的置信區(qū)間。 思考：應(yīng)選擇何種分布函數(shù)？ 解： (1)選 μ 的點估計 (2)取函數(shù) (3)對給定的置信度 1α ， (4) 所以 μ 在置信度 1α 的置信區(qū)間為： 簡記為 例 6只貓，靜脈注射麻醉后，收集支氣管內(nèi)分泌物 ,分泌量為 , , , , ，若分泌量服從正態(tài)分布，求該批貓支氣管內(nèi)平均分泌 量的 95%的置信區(qū)間。 解： n=6,df=5,總體方差未知。當(dāng) 1α = ,α =,查表得 (5)= 95%的置信區(qū)間為 ，既為 (, )。 注意：在大樣本下， tα /2(n1)≈u α /2，即 t分布近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，這時 ,μ 的置信水平 1α 的置信區(qū)間為 大樣本： 50 正態(tài)總體總體均數(shù)之差的區(qū)間估計、正態(tài)總體方差的區(qū)間估計（略）。 離散型總體參數(shù)的區(qū)間估計不作要求。 第 4講 總體參數(shù)的假設(shè)檢驗 第 1節(jié) 假設(shè)檢驗的基本思想 問題的提出 從吸煙人群和非吸煙人群中各抽取 n=100的樣本，分別記為 A樣本和 B樣本。 A樣本 收縮壓為 150mmHg， B樣本為 130mmHg。 原因有兩種可能： (1) 兩個 總體均數(shù)不相同 (2) 抽樣誤差 （兩個總體均數(shù)相同） 假設(shè)檢驗的基本思想 (1)反證法 (2)小概率原理： 認(rèn)為小概率事件在一次抽樣中是不可能發(fā)生的。 先假定一個假設(shè) H0： μ 1=μ 2成立，如果由此導(dǎo)出一個不合理現(xiàn)象的發(fā)生（即出現(xiàn) 一個小概率事件），就拒絕這個假設(shè)；如果沒有導(dǎo)出不合理的現(xiàn)象發(fā)生，就不能 拒絕這個假設(shè)。 假設(shè)檢驗的基本步驟 (1)建立假設(shè) H0： 181。1= 181。2 （原 假設(shè)） H1： 181。1≠ 181。2 （備擇假設(shè)） 注意： 假設(shè)是針對總體，而不是樣本 (2)確定檢驗水準(zhǔn) 顯著性水準(zhǔn)，判定差別有無統(tǒng)計學(xué)意義的概率水準(zhǔn)，確定了 小概率事件的標(biāo)準(zhǔn) 。 通常取 α =。 P ≤ α 小概率事件 (3)選定檢驗方法，計算檢驗統(tǒng)計量 根據(jù)研究目的、資料類型選用合適的檢驗方法； 統(tǒng)計量都