【文章內(nèi)容簡介】 這樣兩種表面性質(zhì)完全不同的事物之間建立了無差別類比的運算關(guān)系 ,體現(xiàn)了人對于不確定事件的 “ 把握 ” 與 “ 判斷 ” 。 前者是確定的結(jié)局 ,后者則具有多種可能的結(jié)果 。 這種將隨機性的情形化成等價的確定性情形的過程 ,實際上構(gòu)成了基于效用函數(shù)理論的決策分析方法的理論基礎 。 下面的定理進一步說明任一有 n種可能結(jié)果的事態(tài)體還可化為一個無差別的簡單事態(tài)體 ,從而也可無差別于一個必然事件 。 ? ?第 10章 定理 （ 簡化性 ） 任一有 ｎ 種可能結(jié)果的事態(tài)體(θ1,…, θn 。 p1, …, pn)無差于某一簡單事態(tài)體 (θ*, θ*。 p)， 即 (θ1, …, θn。 p1, …, pn)~(θ*, θ*。 p) （ ） 其中 , 為 θj關(guān)于 θ*與 θ*的無偏概率 , 。 證明 θ* θj θ*, 且 qj為 θj關(guān)于 θ*與 θ*的無偏概率 ,所以根據(jù)定理 , θj ~(θ*, θ*。 qj) j=1, 2, …, n （ ） ???njjj qpp1? ?第 10章 對 T中所有可能的結(jié)果都利用上式進行無差代換 ,即 T=(θ1, …, θn。 p1, …, pn) ~((θ*, θ*。 q1), (θ*, θ*, q2), …, (θ*, θ*。 qn)。 p1, p2, …, pn) ~(θ*, θ*, θ*, θ*, …, θ*, θ*。 p1q1, p1(1q1), p2q2, p2(1q2), …, pnqn, pn(1qn)) 因為 ,代入上式可得 ))1(,。,(~11** ?????njjjnjjj qpqp??11???njjp)1,。,(~11** ?????njjjnjjj qpqpT ??第 10章 定理得證 。 圖 。 第 10章 圖 簡化性的樹形圖 ～～T ～～p1(1 － q1) ＋ p2(1 － q2) ＋ … ＋pn(1 － qn)p1q1＋ p2q2＋ … ＋pnqn?*?*p2(1 － q2)pn(1 － qn)p1(1 － q1)…p1q1p2q2pnqn?*?*?*?*?*?*?1?2?n…p1p2pn?*?*?*?*?*?*…p1p2pnqnq2q1第 10章 這個定理告訴我們 ,任意一個標準事態(tài)體都可以轉(zhuǎn)化成一個簡單事態(tài)體 ,從而任意兩個有多種可能結(jié)果的標準事態(tài)體之間的比較可以轉(zhuǎn)化成與之無差的兩個簡單事態(tài)體的比較 ,且這兩個事態(tài)體具有相同的結(jié)果 ,即可由假設 果 。 基于無差關(guān)系和偏好關(guān)系的傳遞性 ,對于多個事態(tài)體的排序 ,也可由此方法完成 。 上述三個假設和兩個定理作為決策分析的理論基礎具有十分重要的意義 。 在求解含有不確定因素的決策問題中 ,每個方案因不確定的自然狀態(tài)都有若干種可能的結(jié)果 ,因此可被看成一個個的事態(tài)體 。 當它們滿足前面三個假設時 ,由上面的兩個定理可知 ,這些事態(tài)體都是可以進行比較的 ,因而這類決策問題的備選方案都可以排出優(yōu)劣順序 。 第 10章 也就是說 ,對于理性的決策者 ,決策總可由這樣一個結(jié)構(gòu)化的過程完成 ,具體地說 ,對于方案集 A={A1, …, Am}, Ai=(θi1, …, θin。 p1, …, pn) i=1, 2, …,m （ ） 其中 （ ） 比較 (i=1, 2, …,m)之間的大小即可對方案集進行排序 ,從而定出最優(yōu)方案 。 )。*,(~1* ??njijji qpA ??（ ） )。*,(~ * ijij q?????njijjqp1第 10章 由此可以看出 ,對于方案集中各個備選方案 Ai的評價與排序 ,關(guān)鍵在于給出一個便于確定無差概率 qij的一般方法和技巧 。 式 （ ） 反映了 θ*、 θ*固定時 ,θij與 qij對應的變化關(guān)系 。 按式 (),當 θij為不同優(yōu)越關(guān)系的結(jié)果時 ,所估計出的 qij必定取不同的值 , θij較優(yōu) ,則 θij的值較大 , θij較劣 ,則 θij值較小 。 于是 , θij值便可看作是以 θij為自變量 、 值域為實數(shù)區(qū)間 ［ 0,1］ 的函數(shù) ,即 qij=u(θij) 。 第 10章 所謂 θij的優(yōu)劣 ,其實質(zhì)是指該結(jié)果對于決策主體所能提供的作用或價值大小 。 如果我們把某種滿足人們需要的功能稱之為效用 ,那么 ,結(jié)果 θij對于決策主體所能提供的作用或價值 ,也就可以轉(zhuǎn)化成它對決策者的效用 。這樣 , qij也就成了衡量這種效用大小的數(shù)值 ,稱為效用值 ,u(θij)稱為效用函數(shù) 。 因此 ,在求解決策問題時 ,如果能夠知道這樣的效用函數(shù) ,無論這樣的函數(shù)是用圖像表示或是用數(shù)學分析式表示的 ,都可以被用來由 θij確定出qij的值 。 由此 ,上述關(guān)于估計 m n個 qij值的問題就歸結(jié)為如何導出效用函數(shù)的問題 。 我們在下一節(jié)中對效用函數(shù)及其確定進行詳細的論述 。 第 10章 定義 對于一個決策問題中同一目標準則下的 n個可能結(jié)果所構(gòu)成的后果集 J={θ1, …, θn},假設其中定義了偏好關(guān)系 “ ” ,且滿足上節(jié)中的三個假設 。 θ* maxθi, θ* minθi 如果定義在集 Θ={a|θ* a θ*}上的實值函數(shù) u(a)滿足 : (1) 單調(diào)性： u(a)≥u(b)當且僅當 a b； u(a)=u(b)當且僅當 a~b。 ??? ?第 10章 (2) u(θ*)=1, u(θ*)=0。 (3) 若 c~(a, b。 p), u(c)=pu(a)+(1p)u(b) 其中 a, b, c∈ Θ, 那么稱函數(shù) u(a)為效用函數(shù) 。 特別地 , 若取 a=θ*,b=θ*, 則 θ~(θ*, θ*。 p),u(θ)=pu(θ*)+(1p)u(θ*)=p 效用函數(shù)定義中的條件 (3） 亦可換成： (3)′ u(θ) θ~(θ*, θ*。 u(θ)) 第 10章 定義了效用函數(shù) ,要比較 m Ai=(θi1, …, θin 。 p1,…, pn) i=1, 2, …, m 的優(yōu)劣 ,由上節(jié)定理 , Ai ~(θ*,θ*。 ) ,其中 qij滿足 θij~(θ*, θ*。 qij),根據(jù)效用函數(shù)的定義 ,u(θij)=qij,從而 的大小 。稱其為方案 Ai的期望效用值 ,記為 E(Ai)。 至此我們建立了方案評價與排序的標準 。 ??njijjqp1??njijjup1)(?第 10章 我們知道 ,效用函數(shù)的定義沒有限制其惟一性 ,效用函數(shù)沒有正誤之分 ,只體現(xiàn)決策者的主觀偏好；但是 ,在具體的環(huán)境下 ,方案后果的效用值是可以確定的 ,而且效用值的大小最終取決于決策者的估算 。 但若對每一個結(jié)果的效用值都由決策者估算 ,顯然是繁瑣甚至是不可能的 。 根據(jù)經(jīng)驗我們發(fā)現(xiàn) ,決策者對效用值的估計 ,主要決定于其對風險的態(tài)度 ,并且有一定的模式和類型 。 確定效用函數(shù)的思路是： 對于方案空間 ,首先找到?jīng)Q策者最滿意和最不滿意的后果值 θ*和 θ*, 令 u(θ*)=1, u(θ*)=0； 第 10章 然后對一有代表性的效用值 u,通過心理實驗的方法 ,由決策者反復回答提問 ,找到其對應的后果值 θu,它滿足效用函數(shù)的性質(zhì) 3,即與 (θ*, θ*。 u)無差： θu~(θ*, θ*。 u)。這樣就找到了效用曲線上的三個點 。 重復這一步驟 ,對u(θ*)、 u(θu)之間的有代表性的另外一個效用值 u′找到其對應的后果值 θ u′。 反復進行 ,直到找到足夠多的點 ,將它們用平滑曲線連接起來 ,便可得到效用曲線 。 下面以一個例子具體說明 。 第 10章 例 為設計鮮花 ,考慮某人對一束鮮花中花的數(shù)目的效用函數(shù) ， 我們的后果值空間是 ［ 0,100］ ,該決策者對其定義的偏序關(guān)系 “ ” 等價于 “ ”。 設計一系列問題供決策者回答 ,根據(jù)其答案確定效用曲線 。 第一步 ,確定最優(yōu)及最差的后果值 。 顯然 ,θ*=100, θ*=0。 第二步 ,確定 0枝與 100枝之間的若干個點的效用值 ,并對決策者進行問答 ,以測定決策者對不同方案的反應 。 第 10章 (1） 假設有兩個方案： ① 決策者可獲贈一束 50枝的鮮花； ② 以 100枝的鮮花 ,或沒有 , 簡寫為 (100, 0。 ),供決策者選擇 。 回答： 選擇方案 ① 。 得出 50枝的鮮花的效用優(yōu)