【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 這樣兩種表面性質(zhì)完全不同的事物之間建立了無(wú)差別類(lèi)比的運(yùn)算關(guān)系 ,體現(xiàn)了人對(duì)于不確定事件的 “ 把握 ” 與 “ 判斷 ” 。 前者是確定的結(jié)局 ,后者則具有多種可能的結(jié)果 。 這種將隨機(jī)性的情形化成等價(jià)的確定性情形的過(guò)程 ,實(shí)際上構(gòu)成了基于效用函數(shù)理論的決策分析方法的理論基礎(chǔ) 。 下面的定理進(jìn)一步說(shuō)明任一有 n種可能結(jié)果的事態(tài)體還可化為一個(gè)無(wú)差別的簡(jiǎn)單事態(tài)體 ,從而也可無(wú)差別于一個(gè)必然事件 。 ? ?第 10章 定理 （ 簡(jiǎn)化性 ） 任一有 ｎ 種可能結(jié)果的事態(tài)體(θ1,…, θn 。 p1, …, pn)無(wú)差于某一簡(jiǎn)單事態(tài)體 (θ*, θ*。 p)， 即 (θ1, …, θn。 p1, …, pn)~(θ*, θ*。 p) （ ） 其中 , 為 θj關(guān)于 θ*與 θ*的無(wú)偏概率 , 。 證明 θ* θj θ*, 且 qj為 θj關(guān)于 θ*與 θ*的無(wú)偏概率 ,所以根據(jù)定理 , θj ~(θ*, θ*。 qj) j=1, 2, …, n （ ） ???njjj qpp1? ?第 10章 對(duì) T中所有可能的結(jié)果都利用上式進(jìn)行無(wú)差代換 ,即 T=(θ1, …, θn。 p1, …, pn) ~((θ*, θ*。 q1), (θ*, θ*, q2), …, (θ*, θ*。 qn)。 p1, p2, …, pn) ~(θ*, θ*, θ*, θ*, …, θ*, θ*。 p1q1, p1(1q1), p2q2, p2(1q2), …, pnqn, pn(1qn)) 因?yàn)? ,代入上式可得 ))1(,。,(~11** ?????njjjnjjj qpqp??11???njjp)1,。,(~11** ?????njjjnjjj qpqpT ??第 10章 定理得證 。 圖 。 第 10章 圖 簡(jiǎn)化性的樹(shù)形圖 ～～T ～～p1(1 － q1) ＋ p2(1 － q2) ＋ … ＋pn(1 － qn)p1q1＋ p2q2＋ … ＋pnqn?*?*p2(1 － q2)pn(1 － qn)p1(1 － q1)…p1q1p2q2pnqn?*?*?*?*?*?*?1?2?n…p1p2pn?*?*?*?*?*?*…p1p2pnqnq2q1第 10章 這個(gè)定理告訴我們 ,任意一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)事態(tài)體都可以轉(zhuǎn)化成一個(gè)簡(jiǎn)單事態(tài)體 ,從而任意兩個(gè)有多種可能結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)事態(tài)體之間的比較可以轉(zhuǎn)化成與之無(wú)差的兩個(gè)簡(jiǎn)單事態(tài)體的比較 ,且這兩個(gè)事態(tài)體具有相同的結(jié)果 ,即可由假設(shè) 果 。 基于無(wú)差關(guān)系和偏好關(guān)系的傳遞性 ,對(duì)于多個(gè)事態(tài)體的排序 ,也可由此方法完成 。 上述三個(gè)假設(shè)和兩個(gè)定理作為決策分析的理論基礎(chǔ)具有十分重要的意義 。 在求解含有不確定因素的決策問(wèn)題中 ,每個(gè)方案因不確定的自然狀態(tài)都有若干種可能的結(jié)果 ,因此可被看成一個(gè)個(gè)的事態(tài)體 。 當(dāng)它們滿(mǎn)足前面三個(gè)假設(shè)時(shí) ,由上面的兩個(gè)定理可知 ,這些事態(tài)體都是可以進(jìn)行比較的 ,因而這類(lèi)決策問(wèn)題的備選方案都可以排出優(yōu)劣順序 。 第 10章 也就是說(shuō) ,對(duì)于理性的決策者 ,決策總可由這樣一個(gè)結(jié)構(gòu)化的過(guò)程完成 ,具體地說(shuō) ,對(duì)于方案集 A={A1, …, Am}, Ai=(θi1, …, θin。 p1, …, pn) i=1, 2, …,m （ ） 其中 （ ） 比較 (i=1, 2, …,m)之間的大小即可對(duì)方案集進(jìn)行排序 ,從而定出最優(yōu)方案 。 )。*,(~1* ??njijji qpA ??（ ） )。*,(~ * ijij q?????njijjqp1第 10章 由此可以看出 ,對(duì)于方案集中各個(gè)備選方案 Ai的評(píng)價(jià)與排序 ,關(guān)鍵在于給出一個(gè)便于確定無(wú)差概率 qij的一般方法和技巧 。 式 （ ） 反映了 θ*、 θ*固定時(shí) ,θij與 qij對(duì)應(yīng)的變化關(guān)系 。 按式 (),當(dāng) θij為不同優(yōu)越關(guān)系的結(jié)果時(shí) ,所估計(jì)出的 qij必定取不同的值 , θij較優(yōu) ,則 θij的值較大 , θij較劣 ,則 θij值較小 。 于是 , θij值便可看作是以 θij為自變量 、 值域?yàn)閷?shí)數(shù)區(qū)間 ［ 0,1］ 的函數(shù) ,即 qij=u(θij) 。 第 10章 所謂 θij的優(yōu)劣 ,其實(shí)質(zhì)是指該結(jié)果對(duì)于決策主體所能提供的作用或價(jià)值大小 。 如果我們把某種滿(mǎn)足人們需要的功能稱(chēng)之為效用 ,那么 ,結(jié)果 θij對(duì)于決策主體所能提供的作用或價(jià)值 ,也就可以轉(zhuǎn)化成它對(duì)決策者的效用 。這樣 , qij也就成了衡量這種效用大小的數(shù)值 ,稱(chēng)為效用值 ,u(θij)稱(chēng)為效用函數(shù) 。 因此 ,在求解決策問(wèn)題時(shí) ,如果能夠知道這樣的效用函數(shù) ,無(wú)論這樣的函數(shù)是用圖像表示或是用數(shù)學(xué)分析式表示的 ,都可以被用來(lái)由 θij確定出qij的值 。 由此 ,上述關(guān)于估計(jì) m n個(gè) qij值的問(wèn)題就歸結(jié)為如何導(dǎo)出效用函數(shù)的問(wèn)題 。 我們?cè)谙乱还?jié)中對(duì)效用函數(shù)及其確定進(jìn)行詳細(xì)的論述 。 第 10章 定義 對(duì)于一個(gè)決策問(wèn)題中同一目標(biāo)準(zhǔn)則下的 n個(gè)可能結(jié)果所構(gòu)成的后果集 J={θ1, …, θn},假設(shè)其中定義了偏好關(guān)系 “ ” ,且滿(mǎn)足上節(jié)中的三個(gè)假設(shè) 。 θ* maxθi, θ* minθi 如果定義在集 Θ={a|θ* a θ*}上的實(shí)值函數(shù) u(a)滿(mǎn)足 : (1) 單調(diào)性： u(a)≥u(b)當(dāng)且僅當(dāng) a b； u(a)=u(b)當(dāng)且僅當(dāng) a~b。 ??? ?第 10章 (2) u(θ*)=1, u(θ*)=0。 (3) 若 c~(a, b。 p), u(c)=pu(a)+(1p)u(b) 其中 a, b, c∈ Θ, 那么稱(chēng)函數(shù) u(a)為效用函數(shù) 。 特別地 , 若取 a=θ*,b=θ*, 則 θ~(θ*, θ*。 p),u(θ)=pu(θ*)+(1p)u(θ*)=p 效用函數(shù)定義中的條件 (3） 亦可換成： (3)′ u(θ) θ~(θ*, θ*。 u(θ)) 第 10章 定義了效用函數(shù) ,要比較 m Ai=(θi1, …, θin 。 p1,…, pn) i=1, 2, …, m 的優(yōu)劣 ,由上節(jié)定理 , Ai ~(θ*,θ*。 ) ,其中 qij滿(mǎn)足 θij~(θ*, θ*。 qij),根據(jù)效用函數(shù)的定義 ,u(θij)=qij,從而 的大小 。稱(chēng)其為方案 Ai的期望效用值 ,記為 E(Ai)。 至此我們建立了方案評(píng)價(jià)與排序的標(biāo)準(zhǔn) 。 ??njijjqp1??njijjup1)(?第 10章 我們知道 ,效用函數(shù)的定義沒(méi)有限制其惟一性 ,效用函數(shù)沒(méi)有正誤之分 ,只體現(xiàn)決策者的主觀偏好；但是 ,在具體的環(huán)境下 ,方案后果的效用值是可以確定的 ,而且效用值的大小最終取決于決策者的估算 。 但若對(duì)每一個(gè)結(jié)果的效用值都由決策者估算 ,顯然是繁瑣甚至是不可能的 。 根據(jù)經(jīng)驗(yàn)我們發(fā)現(xiàn) ,決策者對(duì)效用值的估計(jì) ,主要決定于其對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度 ,并且有一定的模式和類(lèi)型 。 確定效用函數(shù)的思路是： 對(duì)于方案空間 ,首先找到?jīng)Q策者最滿(mǎn)意和最不滿(mǎn)意的后果值 θ*和 θ*, 令 u(θ*)=1, u(θ*)=0； 第 10章 然后對(duì)一有代表性的效用值 u,通過(guò)心理實(shí)驗(yàn)的方法 ,由決策者反復(fù)回答提問(wèn) ,找到其對(duì)應(yīng)的后果值 θu,它滿(mǎn)足效用函數(shù)的性質(zhì) 3,即與 (θ*, θ*。 u)無(wú)差： θu~(θ*, θ*。 u)。這樣就找到了效用曲線上的三個(gè)點(diǎn) 。 重復(fù)這一步驟 ,對(duì)u(θ*)、 u(θu)之間的有代表性的另外一個(gè)效用值 u′找到其對(duì)應(yīng)的后果值 θ u′。 反復(fù)進(jìn)行 ,直到找到足夠多的點(diǎn) ,將它們用平滑曲線連接起來(lái) ,便可得到效用曲線 。 下面以一個(gè)例子具體說(shuō)明 。 第 10章 例 為設(shè)計(jì)鮮花 ,考慮某人對(duì)一束鮮花中花的數(shù)目的效用函數(shù) ， 我們的后果值空間是 ［ 0,100］ ,該決策者對(duì)其定義的偏序關(guān)系 “ ” 等價(jià)于 “ ”。 設(shè)計(jì)一系列問(wèn)題供決策者回答 ,根據(jù)其答案確定效用曲線 。 第一步 ,確定最優(yōu)及最差的后果值 。 顯然 ,θ*=100, θ*=0。 第二步 ,確定 0枝與 100枝之間的若干個(gè)點(diǎn)的效用值 ,并對(duì)決策者進(jìn)行問(wèn)答 ,以測(cè)定決策者對(duì)不同方案的反應(yīng) 。 第 10章 (1） 假設(shè)有兩個(gè)方案： ① 決策者可獲贈(zèng)一束 50枝的鮮花； ② 以 100枝的鮮花 ,或沒(méi)有 , 簡(jiǎn)寫(xiě)為 (100, 0。 ),供決策者選擇 。 回答： 選擇方案 ① 。 得出 50枝的鮮花的效用優(yōu)