為什么用單位圓上點的坐標定義任意角的三角函數(shù)(編輯修改稿)
2024-10-24 19:16 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ─微積分緊密結合，人們在研究行星運動的各種問題時，需要確定函數(shù)的Fourier展開式，而這種展開式（三角級數(shù)）的系數(shù)是用定積分表示的．所以，銳角三角函數(shù)是研究三角形各種幾何量之間的關系而發(fā)展起來的，任意角三角函數(shù)是研究現(xiàn)實中的周期現(xiàn)象而發(fā)展起來的．它們研究的對象不同，表現(xiàn)的性質(zhì)也不同．我們既不能把任意角的三角函數(shù)看成是銳角三角函數(shù)的推廣（或一般化），又不能把銳角三角函數(shù)看成是任意角的三角函數(shù)在銳角范圍內(nèi)的“限定”．4．用“單位圓定義法”的理由用單位圓上點的坐標定義任意角的三角函數(shù)有許多優(yōu)點．（1）簡單、清楚，突出三角函數(shù)最重要的性質(zhì)──周期性．采用“單位圓定義法”，對于任意角a，它的終邊與單位圓交點P(x，y)唯一確定，這樣，正弦、余弦函數(shù)中自變量與函數(shù)值之間的對應關系，即角a（弧度）對應于點P的縱坐標y──正弦，角a（弧度）對應于點P的橫坐標x──余弦，可以得到非常清楚、明確的表示，而且這種表示也是簡單的．另外，“x= cosa，y= sina是單位圓的自然的動態(tài)（解析）描述，由此可以想到，正弦、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)就是圓的幾何性質(zhì)（主要是對稱性）的解析表述”，其中，單位圓上點的坐標隨著角a每隔2π（圓周長）而重復出現(xiàn)（點繞圓周一圈而回到原來的位置），非常直觀地顯示了這兩個函數(shù)的周期性．“終邊定義法”需要經(jīng)過“取點──求距離──求比值”等步驟，對應關系不夠簡潔；“比值”作為三角函數(shù)值，其意義（幾何含義）不夠清晰； “從角的集合到比值的集合”的對應關系與學生熟悉的一般函數(shù)概念中的“數(shù)集到數(shù)集”的對應關系不一致，而且“比值”需要通過運算才能得到，任意一個角所對應的比值的唯一性（即與點的選取無關）也需要證明；“比值”的周期性變化規(guī)律也需要經(jīng)過推理才能得到．以往的教學實踐表明，許多學生在結束了三角函數(shù)的學習后還對三角函數(shù)的對應關系不甚了了，與“終邊定義法”的這些問題不無關系．（2）有利于構建任意角的三角函數(shù)的知識結構．“單位圓定義法”以單位圓為載體，自變量a與函數(shù)值x，y的意義非常直觀而具體，單位圓中的三角函數(shù)線與定義有了直接聯(lián)系，從而使我們能方便地采用數(shù)形結合的思想討論三角函數(shù)的定義域、值域、函數(shù)值符號的變化規(guī)律、同角三角函數(shù)的基本關系式、誘導公式、周期性、單調(diào)性、最大值、最小值等．例如：● P(x，y)在單位圓上|x|≤1，|y|≤1，即正弦、余弦函數(shù)的值域為[－1，1]；● |OP|2=1sin2a +cos2a =1；● 對于圓心的中心對稱性sin(π+a)=－sina，cos(π+a)=－cosa；● 對于x軸的軸對稱性sin(－a)=－sina，cos(－a)=cosa；● 對于y軸的軸對稱性sin(π－a)=sina，cos(π－a)=－cosa；● 對于直線y=x的軸對稱性sin(－a)=cosa，cos(－a)=sina；● s
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