【文章內容簡介】 來逼近理想低通濾波器。“最平響應”即由此而來。 （ 2）通帶，阻帶下降的單調性。這種濾波器具有良好的相頻特性。 （ 3） 3dB 的不變性：隨著 N 的增加，頻帶邊緣下降越陡峭，越接近理想特性，但不管 N 是多少，幅頻特性都通過 3dB 點。當Ω≥ c? 時，特性以 20NdB/dec 速度下降。 圖 不同階數(shù) N 的巴特沃斯濾波器特性 現(xiàn)根據(jù)式（ ）求巴特沃斯濾波器的系統(tǒng)函數(shù) Ha（ s）。令Ω =s/j，帶入式（ ） NcNNcNcaajsa jsjjssHsHjH 22222)()()(11)()()(?????????? ?? 對應的極點： ? ? 022 ??? NcN js ? ? ? ? ?????? ??????? 2122 12 21 ??kNjcNck ejs () ks 即為 ? ? ? ?sHsH aa ? 的極點，此極點分布有下列特點： (1) ? ? ? ?sHsH aa ? 的 2N 個極點以 π/N 為間隔均勻分布在半徑為 c? 的圓周上，這個圓稱為巴特沃斯圓。 (2)所有極點以 jΩ軸為對稱軸成對稱分布， jΩ軸上沒有極點。 10 (3)當 N 為奇數(shù)時，有兩個極點分布在 cs ??? 的實軸上； N 為偶函數(shù)時，實軸上沒有極點。所有復數(shù)極點兩兩呈共軛對稱分布。圖 畫出了 N=3 時的 ? ? ? ?sHsH aa ?極點分布。全部零點位于 s=∞處。 圖 N=3 時 Ha（ s） Ha（ s）極點分布 為得到穩(wěn)定的 ??sHa ，取全部左半平面的極點。 ? ? ? ??????Nk kNca sssH1 （ ） 當 N 為偶數(shù)時 ? ?? ?? ? ????? ?????? ???????? ??????????212221 2212c o s2Nk ccNckNk kNcasNkssssssH?? （ ） 當 N 為奇數(shù)時 ? ?? ???????????? ???????? ??????211222212c os2NkcccNcassNkssH?? （ ） 為使用方便把式（ ）和式（ ）對 c? 進 行歸一化處理，為此，分子分母各除以 Nc? ，并令css ??? ， s? 稱為歸一化復頻率： c? jΩ δ c?? 11 ? ? ? ??? ?????? ???????? ??????Nka sNkssH12 12212c o s21??（ N 為偶數(shù)） （ ） ? ?? ? ? ???????????? ???????? ??????2112 112212c o s21NkassNkssH?? （ N 為奇數(shù)）（ ） 用歸一化頻率 c????? / 表示的頻率特性稱為原型濾波特性（Ω ? 即歸一化復頻率 s 的虛部）。對式（ ）所示的低通巴特沃斯特性用 Ω ? 表示 得到： ? ? ? ? Na jH 22 1 1? ???? ? （ ） 稱 ? ???jHa 為巴特沃斯低通原型濾波器幅頻特性。在低通原型濾波頻率特性上，截止頻率 c? =1。 若給出模擬低通濾波器的設計性能指標要求：通帶邊界頻率 p? ，阻帶邊界頻率s? ，通帶波紋 )(dBRp ，阻帶衰減 )(dBRS ，要確定 butterworth ,，低通濾波器最小階數(shù) N 及截止頻率 )3( dBC ?? 。 p? ， S? ， SR ， PR 的意義如圖所示。 當 ? = P? 時 ， 2020)( PRjH ??? 即 2)H(j lg10 ???RP，以截至頻率 c? （幅值下降 3dB）為 1，化 ? 為相對 ? 為相對c?的相對頻率 ??c由上式可寫為???????????????????NcPpR210)(11lg10??。 同理，當 ? = c? 時， 2020)( SRjH ??? ，?????????????????NCPSR210)(11lg10?? 。 由此可見 ??)(l o g2)110)(110(1010/10/spRR PPN????? N 應向上取整N RpcP2 10/ )110( ?? ?? ， 12 N RScS2 10/ )110( ???? 再用 MATLAB 編程計算濾波器最小階數(shù) N 和截止頻率 c? 。 切比雪夫濾波器及最小階數(shù)的選擇 巴特沃斯濾波器的頻率特性曲線，無論在通帶和阻帶都是頻率的單調函數(shù)。當通帶邊界處滿足指標要求時，通帶內肯定會有余量。因此，更有效的設計方法應該是將精確度均勻地分布在整個通帶內。這可通過選擇具有等波紋特性的逼近函數(shù)來達到。 切比雪夫濾波器的振幅特性就是具有這種等波紋特性。它有兩種型式：振幅特性在通帶內是等波紋的，在阻帶內是單調的切比雪夫 I 型濾波器；振幅特性在通帶內是單調的，在阻帶內是等波紋的切比雪夫 II 型濾波器。采用何種型式切比雪夫濾波器取決于實際用途。 這種濾波器的幅頻特性模平方為： ? ????????????????????????????cNaTjH22211? （ ） 式中 ε是決定通帶內起伏的等波紋參數(shù)， ??xTN 是第一類切比雪夫多項式，定義為： ??xTN = ? ?? ?????? ?? 1,c o s hc o s h 1,c o sc o s xxNa r xxn a r （ ） 表 列出了對應不同階數(shù) N 時的切比雪夫多項式 ??xTN 。圖（ ）畫出了 ??xT1 — ??xT4多項式特性曲線，從這組特性曲線可以看出：│ x│≤ 1 時， ??xTN 在177。 1 之間波動；N 不論為何值都有 ??1NT =1；當 x1， ??xTN 單調上升。此外，切比雪夫多項式滿足下列遞推公式 ? ? ? ? ? ?xTxxTxT NNN 11 2 ?? ?? N=1， 2 ? （ ） 圖 （ a）是按式（ ）畫出的切比雪夫等波紋濾波器的幅頻特性，圖 （ b）是通帶內起伏與 ? ???NT 的關系。 13 切比雪夫濾波器的濾波特性具有下列特點： （ 1） 所有曲線在Ω = c? 時通過211?? 點，因而把 c? 定義為切比雪夫濾波器的截止角頻率。 （ 2） 在通帶內│Ω / c? │≤ 1， ? ??jHa 在 1 和211?? 之間變化；在通帶外，│Ω / c? │ 1，特性呈單調下降，下降速度為 20NdB/dec。 （ 3） N 為奇數(shù)， ? ?0jHa =1； N 為偶數(shù)， ? ?0jHa =211?? 。通帶內誤差分布是均勻的，實際上這種逼近稱為最佳一致逼近。 （ 4） 由于濾波器通帶內有起伏，因而使通帶內的相頻特性也有相應的起伏波動。即相位是非線性的，這給信號傳輸時帶來線性畸變，所以在要求群時延為常數(shù)時不宜采用這種濾波器。 現(xiàn)根據(jù)式（ ）求切比雪夫濾波器的系統(tǒng)函數(shù) ??sHa 。將Ω =js帶入式（ ） ? ? ? ????????? ????jsTsHsHNaa2211? （ ） 為求極點分布需求解方程： 01 22 ????????? ??cN jsT? （ ） 表 N=0~7 時切比雪夫多項式 TN（ x） N TN(x) N TN(x) 0 1 1 x 4 5 188 24 ?? xx xxx 52020 35 ?? 14 2 3 122?x xx 343? 6 7 1184832 246 ??? xxx xxxx 75611264 357 ??? 考慮到cjs? 是復變量，為解出切比雪夫多項式，設： cjs? = ? ? ?????? jj ?????? c o s hc o sc o sc o s （ ） 另把cjs? =cosθΩ ? ??jHa 1 211?? c? N=4 N=5 (a) 1 1 o 1 1 1 1 ?? ?? o ? ?2??jHa ????5T 211?? (b) 圖 切比雪夫濾波特性及內波紋 ? ???NT 關系 1 1 1 1 x T1(x) 1 1 1 1 x T2(x) 1 1 1 1 x T3(x) 1 1 1 1 x T4(x) 圖 T1— T4 切比雪夫特性曲線 15 代入式（ ）， 并 且 令 此 式 等 于?1j?，求解 α ， β ：? ? ?????????? ?????????? ? ?Nj sN arj sTccNc osc osc os ?1j? （ 2. 20） 解的滿足上式的 α， β為 ??????????????????????1sinh1212arNNk （ ） 把 α， β值代回式（ ），求的極點值： ???????????? ??????? ??? 1s i nh1s i nh2 12s i n arNNkjs ckkk + ???????????? ?? ?? 1s i nh12 12c os arNc is hNkj c ， k=1,2,?， 2N () ks 就是切比雪夫濾波器 ? ? ? ?sHsH aa ? 的極點，給定 N， c? ， ε即可求的 2N個極點分布。由式（ ）實部與虛部的正弦和余弦函數(shù)平方約束關系可以看出，此極點分布滿足橢圓方程，其短軸和長軸分別為 ?????????????????????????1a r c s in1c o s h1a r c s in1s in hhNbhNacc （ ） 圖 畫出了 N=3 時切比雪夫濾波器的極點分布。 a b ζ jΩ 圖 16 極點所在的橢圓可以和半徑為 a 的圓和半徑為 b 的圓聯(lián)系起來，這兩個圓分別稱為巴特沃斯小圓和巴特沃斯大圓。 N 階切比雪夫濾波器極點的縱坐標，而橫坐標等于N 階巴特沃斯小圓極點的橫坐標取左半平面的極點： ????????????? ????????? ??????nkbNkakk212c o s212s in k=1,2?， N （ ） 則切比雪夫濾波器的系統(tǒng)函數(shù)： ? ? ???? Nk ka ssAsH1)( （ ） 其中 kkk js ???? ，常數(shù) A=12 ????Njc cN? 。因而切比雪夫濾波器的系統(tǒng)函數(shù)表示為： ? ? ? ????????Nk kNNca sssH112/ ? （ ） 切比雪夫濾波器的截